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Zmn-0538 薛问天：关于对康托尔定理证明质疑的错误。评李鸿仪先生的《0531》
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Zmn-0538 薛问天：关于对康托尔定理证明质疑的错误。评李鸿仪先生的《0531》
【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对李鸿仪先生《0531》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
关于对康托尔定理证明质疑的错误。
评李鸿仪先生的《0531》
薛问天
关于李鸿仪提出的对康托尔的【实数不可数】定理证明的质疑有四个问题，现在分述如下，並对其中的错误加以评论。
1，对角线的行列个数的问题。
李先生提出对角线证法中要求单位区间中的【实数集】，同无穷小数的【位数集】的【元素个数】相等。
我认为这种要求是不必要的。因为对角线的行列都用的自然数。取自同一个集合N，不存在个数不相等问题。
我们來详细说明。李先生质疑针对的是他叙述的这段证明。
―――――――――――――――――――――――――――
设 b=0.b11b22b33…. （2）
且 bii ≠aii,（i=1,2,3,…） （3）
由于式(3)保证了对于"任何"一个实数 ai，b中都有一位小数bii，与该实数的第i位小数aii,不同，这就巧妙地保证了对于 "任何"一个实数ai，都有
ai≠ b, （i=1,2,3,…） （4）
成立，即b 是一个不在（1）内的实数，
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李先生对此证明提出了如下质疑。
【公式（3）(中的aii-薛注)左端的下标 i 可以表示实数的数目，而右端的下标 i 则可以表示 (ai和-薛注)b 的小数位数。由于式（3）左右两端的下标相同，这就意味着符合（3）的实数数目与 b 的小数位数是精确相等的。如果思维足够严格，就不能不考察，如果它们不相等，对角线证明是否还成立？ 】
李先生在后面还拿有限小数作了比较。
假定考虑n位小数，【位数编号集】=｛1,2,...,n｝=Nn，【实数编号集】=｛1,2,...,m｝=Nm，显然m=2n＞n。这时对角线方法就出问题了。因为对于大于n的i，i∈Nm，ai存在。但是因为这个第i位数的i，大于n，i∉Nn，所以它的第i位数aii就不存在了。自然这样就求不出满足(3)式的b了。
我们分析对角线法失效的原因，是(3)式中aii，左端的i 属于【实数编号集】，右端的i 属于【位数编号集】。【位数编号集】=｛1,2,...,n｝=Nn，【实数编号集】=｛1,2,...,m｝=Nm，这两个编号集Nn和Nm不相等，存在有属于Nm中的i，有ai存在但是此i并不属于Nn，使aii不存在，于是造成了对角线法的失效。
那么我们康托尔定理的证明会不会出现这个情况呢？完全不可能。因为在这里(3)式中aii，左端的i 属于【实数编号集】，右端的i 属于【位数编号集】。【位数编号集】=｛1,2,...｝=N，【实数编号集】=｛1,2,...｝=N，这两个编号集都是自然数集合，是完全相等的。N中不存在i不属于它自己N。从而对角线法完全有效。
在这里李先生质疑【由于式（3）左右两端的下标相同，这就意味着符合（3）的实数数目与 b 的小数位数是精确相等的。】的错误是把要求【实数编号集】同【位数编号集】的相同，误以为是要求【实数集】和【位数集】的【元素数目】的相同。实际上【实数编号集】同【位数编号集】都是自然数集N，是完全相同的。
因而说，李先生提出对角线证法中要求单位区间中的【实数集】，同无穷小数的【位数集】的【元素个数】相等。这个要求完全是没有必要的。需要的是【实数编号集】同【位数编号集】的相同。但实际上它们都是自然数集N，是完全相同的。所以说李先生对此的质疑不成立。
2，我能具体说明，证明中只用到单位区间中的【实数集】同自然数集N一一对应，以及无穷小数的【位数集】同自然数集N一一对应，即可严格证明b不在(1)中，並不需要根据它们的【元素个数】相等。
李鸿仪先生提出了一个错误的定理和证明。
【定理 1 无法保证 b 不在（1）之内，所以对角线没有证明实数不可数。
证明 对角证明的可数假定只能保证（3）两端的基数相同，却不能保证（3）两端元素数目精确相等，故存在实数数目大于 b 的小数位数的可能性，即存在着一部分实数无法出现在（3）的左端的可能性。对这部分实数，无法保证以（3）为前提的（4）成立，即无法保证 b 不在（1）之内，所以对角线没有证明实数不可数。 证毕】
从李先生的这个定理的证明可以看出，这不是数学证明。他说【不能保证(3)两端元素数目精确相等，故存在实数数目大于 b 的小数位数的可能性，】这里的用语【元素数目】我后面将指出这在数学上没有这个概念。对无穷集它没有意义。在数学证明中不能使用。连什么是【元素数目】相等的含义都不清楚，怎么就存在【元素数目】不相等的【可能性】。
另外，他就没有具体说明他的质疑同证明中各个论断之间的具体关系。他说【存在实数数目大于 b 的小数位数的可能性，即存在着一部分实数无法出现 在（3）的左端的可能性。】不知他质疑的是我们证明中的哪个论断。
为了严格地讨论，我现在可以一步步地给出严格的数学证明。证明在反证法【实数可数】假定下，b不在单位区间的【实数集】中。证明根本不需要用到李先生所说的【保证（3）两端元素数目精确相等】。
①，首先在证明中要用到两个一一对应。
李先生没有也不会提出质疑吧。一个是反证法假定单位区间的【实数集】同自然数集N的一一对应。一个是无穷小数的【位数集】同自然数集N的一一对应。因而【实数编号集】=N，而且【位数编号集】=N。
②，【实数集】中任何实数，都存在一个自然数i，使此实数是ai。
这是因为【实数集】同N一一对应，一一对应就有一个无遗漏无重复的双射，【实数编号集】=N。
②，ai有第i位小数aii。
这是因为ai是无穷小数，而无穷小数的【位数编号集】也是N，所以ai有以i为编号的小数位aii。这就保证了aii的存在(即对角线方法是有效的)。
③，aii的存在，保证了在构造b=0.b11b22...中的bii≠aii。从而b≠ai。
④，由于b≠ai，而ai是【实数集】中任意实数，所以证明了在反证法假定下，b不在【实数集】中。证毕。
在这个证明中，每一步都是严格的，有充分根据的。请问李先生，你能指出上述证明中的哪步有错吗？指不出來就必须承认我证明了李先生所提出的定理1及其证明完全是错误的。
3，无穷集的【元素数目】，並不存在这个数学概念。
李先生所理解的集合的【元素数目】，并不适用所有的无穷集。特别不适用于这里的【实数集】和【位数集】。因为李先生所理解的【元素数目】只能比较集合同它子集的【元素数目】，对其它无穷集，是毫无意义的。甚至连同一集合的两个不同子集间的【元素数目】都无法比较。所以李鸿仪先生提出的【实数集】和【位数集】的【元素数目】相等要求，根本是没有意义的和不知所云的要求。
李先生提出了一个论断【基数相同而元素数目却可能不相同。】这就是一个伪命题。因为其中的【元素数目】是一个没有定义的概念。你根本就不知道【元素数目】不相同是什么意思。按照李先生的理解，不同类型的元素的集合，就无法比较【元素数目】是否相同。请问你知道【偶数集】和【奇数集】的【元素数目】相同还是不同？你肯定回答不出來，因为【元素数目】是个没有定义的概念。
李先生说【数的概念是数学的基本概念，而元素的数目不过是将数的概念用到元素的计数而已，是一个清清楚楚、不需要在集合论中重新定义的概念。】
这是对数学定义的严重曲解。为了保证数学的逻辑缜密性，在数学中每个概念都要严格定义，没有定义的概念是不能参与论证的。认为【元素数目】是【不需要在集合论中重新定义的概念】，是完全错误的。实际上【元素数目】是用什么【数】，对元素作怎样的【计数】，根本就没有清楚定义，请问李先生你怎么说是【清清楚楚】。你真的【清楚:】吗？讲出來大家听听。元素不相同的无穷集合，怎么比较【元素数目】的多少？
李先生所理解的【元素数目】，类似于我在《0202》中提出的「原本个数」这个概念。但它不可能适应于所有的无穷集，不可能作为所有无穷集的【元素数目】这个概念。所以说【元素数目】是个无定义的虚假概念，不知道它是什么。在数学的论证中不能使用。
4，我已多次指出，李鸿仪先生提出的关于证明违背【可列可加性】规律的质疑，实际上是他对康托尔定理证明的误读。
他这次还如此说：【对角线证明的全部工作，不过是企图构造一个不在（1）内的 b。 如果认为该企图一旦成功，就可以推翻可数假定的话，不管康托具体是怎么绕来绕去证明的，根据其最后结果来看，实际上就等于宣告， b 的存在，是与可数假定矛盾的。然而，根据康托自己建立的无限理论，在可数集合里，再增加一个、多个甚至无限个 b，与可数假定都无法形成必然的矛盾！】
从此段话可以看出李鸿仪先生并设有看懂康托尔定理的证明。康托尔定理的证明，並不是李先生所理解的是根据【 b 的存在，是与可数假定矛盾的】來证明的。而是在反证法【实数集可数】的假定下，发现了单位区间中另有实数b不在所论述的全体实数组成的【实数集】中的矛盾，即全体【实数集】不全体的矛盾。从而证明了【实数不可数】的定理。李先生也知道【在可数集合里，再增加一个、多个甚至无限个 b，与可数假定都无法形成必然的矛盾！】怎么能作为证明的根据呢。说康托尔的证明是根据在可数集合外发现了实数b的存在，就证明实数不可数了，这是对康托定理证明的严重误读。
参考资料
Zmn-0531 李鸿仪：关于对角线讨论的阶段性总结
Zmn-0479 薛问天： 评李鸿仪先生《Zmn-0468》对康托定理证明的质疑。
Zmn-0468 李鸿仪： 我与薛问天、数森先生关于对角线、基数、无限等数学问题
Zmn-0436 薛问天： 这是一条可以严格证明的定理。评李鸿仪先生的《0424》
Zmn-0424 李鸿仪： 数学思维要绝对严格，决不允许引入公理外任何未加证明的命题 。评薛问天的《zmn416》
Zmn-0416 薛问天： 要正确理解康托尔定理证明中的逻辑推理。评李鸿仪先生的《0410》
Zmn-0410 李鸿仪： 评薛问天先生的《zmn_0406》
Zmn-0406 薛问天： 评李鸿仪先生质疑康托尔定理证明的几个错误论点。
Zmn-0403 李鸿仪： 对角线证明可以休矣！
Zmn-0202 薛问天：论无穷集合元素的「原本个数」-评欧阳耿先生的【元素多少】概念。
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zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
Zmn-0517 薛问天： 集合的元素是确定的，不可改变和增加。评林益《0492》
https://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1282873.html
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