《数学啄木鸟专栏》分享 http://blog.sciencenet.cn/u/wenqinghui 对错误的数学论点发表评论

博文

Zmn-0538 薛问天:关于对康托尔定理证明质疑的错误。评李鸿仪先生的《0531》

已有 1154 次阅读 2021-4-20 09:59 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0538 薛问天:关于对康托尔定理证明质疑的错误。评李鸿仪先生的《0531》

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对李鸿仪先生《0531》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

关于对康托尔定理证明质疑的错误。

评李鸿仪先生的《0531》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-s.jpg关于李鸿仪提出的对康托尔的【实数不可数】定理证明的质疑有四个问题,现在分述如下,並对其中的错误加以评论。

1,对角线的行列个数的问题。

李先生提出对角线证法中要求单位区间中的【实数集】,同无穷小数的【位数集】的【元素个数】相等。

我认为这种要求是不必要的。因为对角线的行列都用的自然数。取自同一个集合N,不存在个数不相等问题。

我们來详细说明。李先生质疑针对的是他叙述的这段证明。

―――――――――――――――――――――――――――

设 b=0.b11b22b33….          (2)

且  bii ≠aii,(i=1,2,3,…)      (3)

由于式(3)保证了对于"任何"一个实数 ai,b中都有一位小数bii,与该实数的第i位小数aii,不同,这就巧妙地保证了对于 "任何"一个实数ai,都有

 ai≠ b, (i=1,2,3,…)          (4)

成立,即b 是一个不在(1)内的实数,

―――――――――――――――――――――――――――

李先生对此证明提出了如下质疑。

公式(3)(中的aii-薛注)左端的下标 i 可以表示实数的数目,而右端的下标 i 则可以表示 (ai和-薛注)b 的小数位数。由于式(3)左右两端的下标相同,这就意味着符合(3)的实数数目与 b 的小数位数是精确相等的。如果思维足够严格,就不能不考察,如果它们不相等,对角线证明是否还成立?

李先生在后面还拿有限小数作了比较。

假定考虑n位小数,【位数编号集】={1,2,...,n}=Nn,【实数编号集】={1,2,...,m}=Nm,显然m=2n>n。这时对角线方法就出问题了。因为对于大于n的i,i∈Nm,ai存在。但是因为这个第i位数的i,大于n,i∉Nn,所以它的第i位数aii就不存在了。自然这样就求不出满足(3)式的b了。

我们分析对角线法失效的原因,是(3)式中aii,左端的i 属于【实数编号集】,右端的i 属于【位数编号集】。【位数编号集】={1,2,...,n}=Nn,【实数编号集】={1,2,...,m}=Nm,这两个编号集Nn和Nm不相等,存在有属于Nm中的i,有ai存在但是此i并不属于Nn,使aii不存在,于是造成了对角线法的失效。

那么我们康托尔定理的证明会不会出现这个情况呢?完全不可能。因为在这里(3)式中aii,左端的i 属于【实数编号集】,右端的i 属于【位数编号集】。【位数编号集】={1,2,...}=N,【实数编号集】={1,2,...}=N,这两个编号集都是自然数集合,是完全相等的。N中不存在i不属于它自己N。从而对角线法完全有效。

在这里李先生质疑【由于式(3)左右两端的下标相同,这就意味着符合(3)的实数数目与 b 的小数位数是精确相等的。】的错误是把要求【实数编号集】同【位数编号集】的相同,误以为是要求【实数集】和【位数集】的【元素数目】的相同。实际上【实数编号集】同【位数编号集】都是自然数集N,是完全相同的。

因而说,李先生提出对角线证法中要求单位区间中的【实数集】,同无穷小数的【位数集】的【元素个数】相等。这个要求完全是没有必要的。需要的是【实数编号集】同【位数编号集】的相同。但实际上它们都是自然数集N,是完全相同的。所以说李先生对此的质疑不成立。

 

2,我能具体说明,证明中只用到单位区间中的【实数集】同自然数集N一一对应,以及无穷小数的【位数集】同自然数集N一一对应,即可严格证明b不在(1)中,並不需要根据它们的【元素个数】相等。

李鸿仪先生提出了一个错误的定理和证明。

定理 1 无法保证 b 不在(1)之内,所以对角线没有证明实数不可数。

 证明 对角证明的可数假定只能保证(3)两端的基数相同,却不能保证(3)两端元素数目精确相等,故存在实数数目大于 b 的小数位数的可能性,即存在着一部分实数无法出现在(3)的左端的可能性。对这部分实数,无法保证以(3)为前提的(4)成立,即无法保证 b 不在(1)之内,所以对角线没有证明实数不可数。 证毕

从李先生的这个定理的证明可以看出,这不是数学证明。他说【不能保证(3)两端元素数目精确相等,故存在实数数目大于 b 的小数位数的可能性,】这里的用语【元素数目】我后面将指出这在数学上没有这个概念。对无穷集它没有意义。在数学证明中不能使用。连什么是【元素数目】相等的含义都不清楚,怎么就存在【元素数目】不相等的【可能性】。

另外,他就没有具体说明他的质疑同证明中各个论断之间的具体关系。他说【存在实数数目大于 b 的小数位数的可能性,即存在着一部分实数无法出现 在(3)的左端的可能性。】不知他质疑的是我们证明中的哪个论断。

为了严格地讨论,我现在可以一步步地给出严格的数学证明。证明在反证法【实数可数】假定下,b不在单位区间的【实数集】中。证明根本不需要用到李先生所说的【保证(3)两端元素数目精确相等】。

①,首先在证明中要用到两个一一对应。

李先生没有也不会提出质疑吧。一个是反证法假定单位区间的【实数集】同自然数集N的一一对应。一个是无穷小数的【位数集】同自然数集N的一一对应。因而【实数编号集】=N,而且【位数编号集】=N。

②,【实数集】中任何实数,都存在一个自然数i,使此实数是ai。

这是因为【实数集】同N一一对应,一一对应就有一个无遗漏无重复的双射,【实数编号集】=N。

②,ai有第i位小数aii。

这是因为ai是无穷小数,而无穷小数的【位数编号集】也是N,所以ai有以i为编号的小数位aii。这就保证了aii的存在(即对角线方法是有效的)。

③,aii的存在,保证了在构造b=0.b11b22...中的bii≠aii。从而b≠ai。

④,由于b≠ai,而ai是【实数集】中任意实数,所以证明了在反证法假定下,b不在【实数集】中。证毕。

 

在这个证明中,每一步都是严格的,有充分根据的。请问李先生,你能指出上述证明中的哪步有错吗?指不出來就必须承认我证明了李先生所提出的定理1及其证明完全是错误的。

 

3,无穷集的【元素数目】,並不存在这个数学概念。

李先生所理解的集合的【元素数目】,并不适用所有的无穷集。特别不适用于这里的【实数集】和【位数集】。因为李先生所理解的【元素数目】只能比较集合同它子集的【元素数目】,对其它无穷集,是毫无意义的。甚至连同一集合的两个不同子集间的【元素数目】都无法比较。所以李鸿仪先生提出的【实数集】和【位数集】的【元素数目】相等要求,根本是没有意义的和不知所云的要求。

李先生提出了一个论断【基数相同而元素数目却可能不相同。】这就是一个伪命题。因为其中的【元素数目】是一个没有定义的概念。你根本就不知道【元素数目】不相同是什么意思。按照李先生的理解,不同类型的元素的集合,就无法比较【元素数目】是否相同。请问你知道【偶数集】和【奇数集】的【元素数目】相同还是不同?你肯定回答不出來,因为【元素数目】是个没有定义的概念。

李先生说【数的概念是数学的基本概念,而元素的数目不过是将数的概念用到元素的计数而已,是一个清清楚楚、不需要在集合论中重新定义的概念。

这是对数学定义的严重曲解。为了保证数学的逻辑缜密性,在数学中每个概念都要严格定义,没有定义的概念是不能参与论证的。认为【元素数目】是【不需要在集合论中重新定义的概念】,是完全错误的。实际上【元素数目】是用什么【数】,对元素作怎样的【计数】,根本就没有清楚定义,请问李先生你怎么说是【清清楚楚】。你真的【清楚:】吗?讲出來大家听听。元素不相同的无穷集合,怎么比较【元素数目】的多少?

李先生所理解的【元素数目】,类似于我在《0202》中提出的「原本个数」这个概念。但它不可能适应于所有的无穷集,不可能作为所有无穷集的【元素数目】这个概念。所以说【元素数目】是个无定义的虚假概念,不知道它是什么。在数学的论证中不能使用。

 

4,我已多次指出,李鸿仪先生提出的关于证明违背【可列可加性】规律的质疑,实际上是他对康托尔定理证明的误读。

他这次还如此说:【对角线证明的全部工作,不过是企图构造一个不在(1)内的 b。 如果认为该企图一旦成功,就可以推翻可数假定的话,不管康托具体是怎么绕来绕去证明的,根据其最后结果来看,实际上就等于宣告, b 的存在,是与可数假定矛盾的。然而,根据康托自己建立的无限理论,在可数集合里,再增加一个、多个甚至无限个 b,与可数假定都无法形成必然的矛盾!

从此段话可以看出李鸿仪先生并设有看懂康托尔定理的证明。康托尔定理的证明,並不是李先生所理解的是根据【 b 的存在,是与可数假定矛盾的】來证明的。而是在反证法【实数集可数】的假定下,发现了单位区间中另有实数b不在所论述的全体实数组成的【实数集】中的矛盾,即全体【实数集】不全体的矛盾。从而证明了【实数不可数】的定理。李先生也知道【在可数集合里,再增加一个、多个甚至无限个 b,与可数假定都无法形成必然的矛盾!】怎么能作为证明的根据呢。说康托尔的证明是根据在可数集合外发现了实数b的存在,就证明实数不可数了,这是对康托定理证明的严重误读。

 

参考资料

Zmn-0531 李鸿仪:关于对角线讨论的阶段性总结

Zmn-0479 薛问天: 评李鸿仪先生《Zmn-0468》对康托定理证明的质疑。

Zmn-0468 李鸿仪: 我与薛问天、数森先生关于对角线、基数、无限等数学问题

Zmn-0436 薛问天: 这是一条可以严格证明的定理。评李鸿仪先生的《0424》

Zmn-0424 李鸿仪: 数学思维要绝对严格,决不允许引入公理外任何未加证明的命题 。评薛问天的《zmn416》

Zmn-0416 薛问天: 要正确理解康托尔定理证明中的逻辑推理。评李鸿仪先生的《0410》

Zmn-0410 李鸿仪: 评薛问天先生的《zmn_0406》

Zmn-0406 薛问天: 评李鸿仪先生质疑康托尔定理证明的几个错误论点。

Zmn-0403 李鸿仪: 对角线证明可以休矣!

Zmn-0202 薛问天:论无穷集合元素的「原本个数」-评欧阳耿先生的【元素多少】概念。




返转到

   zmn-000文清慧:发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录

       

 






https://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1282873.html

上一篇:Zmn-0537 薛问天: 「外延原则」决定了集合的元素不可改变和增加。评林益先生《0522》
下一篇:Zmn-0539 一阳生:我对薛老师Zmn-0530的回应。

1 李鸿仪

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (55 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2022-6-29 17:59

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部