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Zmn-0564 薛问天：「集合」同「序列」不同，正确理解和表述康托尔定理的证明。评黄汝广先生的《0558》。

已有 2888 次阅读 2021-5-24 21:06 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0564 薛问天：「集合」同「序列」不同，正确理解和表述康托尔定理的证明。评黄汝广先生的《0558》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对黄汝广先生的《0558》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

「集合」同「序列」不同，正确理解和表述康托尔定理的证明。

评黄汝广先生的《0558》。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-s.jpg 㸔了黄汝广先生【康托尔关于[0,1]不可数的论证】的简述，发现他对有些数学概念的确切含义还未完全搞清。我认为首先必须对这些概念完全认识清楚无误了，问题才能讨论清楚。另外对康托尔定理证明和理解和陈述，还存在一些问题。下面來具体分析。

1，必须弄清「序列」和「集合」的不同及其相互关系。

什么是「序列」，「序列」也称无穷序列，是一种特殊的无穷「集合」，并不是所有的无穷「集合」，都是「序列」。通常我们把可数的集合，其元素可以同自然数建立一一对应，从而其元素可以表示为｛A1,A2,A3,...｝的集合，称为是「无穷序列」。显然由于集合中，存在着不可数的集合，所以存在着不是序列的集合。因而一定要区别这两者的不同。在该说是「集合」的时候，不要把它随意说成是「序列」。

2，正确理解实数表达的等价性。

黄汝广先生所说的【将(0,1)的每一个数用十进制无限小数表示，可得到一包含(0,1)全体的无穷序列，两者完全等价，】

这句话就说错了，这里指的是「集合」，不能随意说它是「序列」。正确的应说是〖将(0,1)中的每一个实数用十进制无限小数表示，因而(0,1)中全体实数的集合，同全体十进制无限小数的集合，两者是完全等同的集合，〗

我们知道实数有好几种等价的表达。有柯西序列，戴德金分割，区间套，...等。十进制或二进制的无穷小数也是其中等价表示的一种。这次黄汝广先生没有提到，在讨论实数的无穷小数的等价性时，还有个关于有穷小数的一数两码的问题要妥善处理。但〖(0,1)中全体实数的集合，同全体十进制无限小数的集合，两者是完全等同的集合，〗这个等价性是完全正确的。

当然这个实数表示的等价性，在康托尔定理的证明中，是已经承认的事实。这正是黄汝广先生所讲的【不言自明，以至于康托尔都没有想到要交代一下。实际上，正是由于康托尔潜意识里一直坚持着这个“隐性”事实。】

3，要正确理解和表述反证法证明中的【实数可数】的假定。

黄汝广先生接着的一句话【因此“假设(0,1)可数”等价于“假设该无穷序列可数”，从“假设该无穷序列可数”推出的结论，也同样适用于“假设(0,1)可数”。现在，假设该序列可数，也即与自然数一一对应，并排列如下：】这句话也不对，应改为〖因此“假设(0,1)中全体实数集合可数”等价于“假设全体十进制无穷小数集合可数”，从其可数可推出与自然数一一对应，可排列成如下无穷序列：〗

也就是说反证法的假定是〖(0,1)中全体实数集合可数〗它等价于〖全体十进制无穷小数集合可数〗。而不是【该无穷序列可数】。要知道如果你认为该集合是【无穷序列】，它就是【可数集合】了，不需要再作假定。事实上是我们要证明实数集合不可数，不是序列，我们才用反证法假定实数可数，即假定它可排成序列。对此反证法的假定一定要理解和表述清楚，不可含混。

黄汝广先生说【然而，无穷小数序列与(0,1)两者完全等价，只能是意味着：根本不可能存在“属于(0,1)却不属于该序列”的数b！不然的话，那就只能否定上述已经植根于康托尔潜意识的“隐性”事实，也即承认该序列只是（0，1）的真子集，或者说并非属于（0，1）的任何一个实数都能够写成无限小数的形式，整个实数理论都需要改写了。】

在这里黄先生把实数表示的等价性，同反证法的实数可数的假定混在一起了。实数表示的等价性，说的是〖(0,1)中全体实数的集合，同全体十进制无限小数的集合，两者是完全等同的集合，〗这是绝对正确的事实。只是在反证法假定【(0,1)中全体实数的集合可数】的假定下，才证明了存在“属于(0,1)却不属于该序列”的数b，才产生了矛盾。这个矛盾是由「反证法的假定」引起的，而不是由「实数表示的等价性」引起的。

4，对构造的b不在无穷小数的序列中的证明的有效性，要有正确的认识。

黄汝广先生提出，b的构造是无穷小数的形式，b属于序列【应该不存在任何异议。那么，康托尔认为b“却不属于该序列”，是什么原因呢？】

康托尔的证明说得很清楚，因为序列中任何编号为i的实数ai的第i位aii不等于b的第i位bi。所以任何ai不等于b，即b不属于该序列。

黄汝广先生对此提出了质疑。他说【要推论b“却不属于该序列”，以下一个隐性假设是不可或缺的：康托尔对角线能够贯穿该序列的任何一个，也即可以遍历整个序列，不存在漏项问题。】黄先生的质疑显然没有必要。对角线的行和列用的都是自然数。列是位数，众所周知无穷小数的位数是以自然数为编号的。行是实数的序列，这个序列是根据反证法实数可数的假定，由自然数编号排列而成的。既然行列都是自然数，就不存在任何问题，满足黄汝广先生的要求【康托尔对角线能够贯穿该序列的任何一个，也即可以遍历整个序列，不存在漏项问题。】

黄汝广先生所说的【然而事实并非如此。对于十进制小数，每一数位上都有十种不同的取值可能，这一事实注定对角线必然要漏项。】这不能作为推论的准确根据。而证明是根据实数可数的假定，存在实数同自然数间的双射，要知道双射滿足无重复和无遗漏的特性。不会产生漏项。

另外黄汝广先生还说【先考虑属于(0,1)的所有n位小数，其序列只有n列但远远不止n行，而对角线却仅能贯穿n列n行，占总行数的比例很小；再令n趋于无穷大，即得到康托尔的无穷序列，但此时上述比例极限却为0：】这些对于有穷小数的规律，不能作为论证无穷小数规律的根据。只是一些主观的臆想，可以作为预想和猜些，不能作为数学推论的根据正式提出。

此外，黄先生还说【康托尔所谓的新数实际上并不新，它早就在序列之中了，但是由于数的进制问题，对角线并不能遍历整个序列，而康托尔错误地把该序列中不能被对角线贯穿的数，认为是所谓新数了。】也是不对的，因为说【对角线并不能遍历整个序列，】这句话没有任何根据。

我们还要注意的是，b不在实数序列中的矛盾是由反证法的假定推出的。在实数可数的假定下，由行和列都由自然数构成的对角线，是可以遍历整个序列。当然如果不在此假定下，是推不出这个结论的。

5，对反证法的思路要有正确的认识。

反证法的思路是这样的。为了证明乛A(实数不可数)，先做一个假定A(实数可数)。在这个假定下推出一个命题B(无穷小数序列(1)是全体实数序列)。然后构造实数b不在序列(1)中。推出否定命题:乛B(无穷小数序列(1)不是全体实数)。由于B和乛B是矛盾，所以推翻了假定A，最后证明了乛A(实数不可数)。

在反证法的证明中所做的假定，并不是要证明这个假设是正确的成立的，而是要推翻这个假定，要证明这个假定是假的是错误的。因而由此假定引出相互矛盾的命题B和乛B，正是我们所要求的。正是由于推出了矛盾，才最后推翻了这个假的命题，证明了真正正确的结论。

也就是说，康托尔在【假设(0,1)全体可数】的假定下，既推出了【无穷小数序列必须包含所有(0,1)的数】(B)，又【构造出了序列之外的新数，】【那就恰恰证明了】【他的无穷序列并不是(0,1)全体】(乛B)。而正是这个矛盾推翻了【(0,1)全体实数可数】的假定，证明了【(0,1)全体实数不可数】的结论。

而黄汝广先生却把这个推理理解成【以“假设该无穷序列可数”为前提的结论，并不适用于“假设(0,1)可数”，拿不满足假设条件的推论来否定假设，纯粹是张冠李戴了！】这样的理解说明没有正确理解反证法的基本思路。

参考文献

Zmn-0558 黄汝广：代李鸿仪先生答反对伊战Zmn-0554第三点

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zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录