Zmn-0563 薛问天： 【有穷】和【无穷】的不同，评一阳生先生的《0556》《0548》

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对一阳生先生的《0556》《0548》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

【有穷】和【无穷】的不同，

评一阳生先生的《0556》《0548》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，一阳生先生在《0556》中描述了【点A经历1秒时间，期间经历一些特别的时点：0秒、1/2秒、2/3秒、3/4秒、4/5秒、…、1秒。】的情况。提出了两个方法。

我认为【方法二】是正确的。方法二说【用自然数计数1秒时间段中这些特别的时点，0秒对应1个，1/2秒对应2个，2/3秒对应3个，3/4秒对应4个，…。因自然数的后继数是自然数，在1秒之前个数将处于不断增加的过程中，可描述为“不断增加的有限”个。但1秒无自然数对应，】在未到1秒之前的任何时间，所经过的时间点的集合是｛0,1/2,2/3,...,n/(n+1)｝。无论n多大，都是有限集。该集合中并无1秒。但是，在到达1秒时，才经过所有这无穷个点，经过了上述无穷个有限集的并集，即无穷集｛0,1/2,2/3,...｝中所有的点，而且也到达1秒这个点。

但是【方法一】并不正确。方法一说【如果把1秒时间段(中指定时间点)看成一个集合，根据集合论公理存在一个由一些特别时点组成的集合{0秒,1/2秒,2/3秒,3/4秒,4/5秒,…,1秒}。因为该集合可与自然数集合一一对应，所以点A经历了无穷个特别的时点。】

虽然【该集合可与自然数集合一一对应】，但是并不能按这样的顺序同自然数的顺序建立「保序的」一一对应。集合{0秒,1/2秒,2/3秒,3/4秒,4/5秒,…,1秒}的序型不是ω，而是ω+1。也就是说自然数没有最大数，不能用最后一个自然数來对应这个"1秒"。时间点的集合还是把到达1秒前的所有无穷个有限时间点集，同到达1秒后的情况分开，这种【方法二】比较合适。

问题的关键是要区分【未到达】和【到达】的区别，即【有穷】和【无穷】的区别。应该明确指出范秀山博士的错误，他的观点

【0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + … = 0.999…＜ 1】，是错误的。因为这里表达的是无穷级数，是无穷个项的相加，不是有穷个项的相加。这个无穷小数有无穷个9，而不是只有有穷个9的有穷小数。

所述说的理由【时间和点A一直向前拓展，永不停息。但该操作用自然数计数每一时间阶段，无法计数到无穷秒的时间。所以......。】正好说明并未达到无限秒。所论述的都是有限的项相加，是有穷小数。这样一直走下去，A点到达的位置是一个动态的【有穷小数】，不是【无限小数】。即

0.9＜1

0.9+0.09=0.99＜1

0.9+0.09+0.009=0.999＜1

......

0.9 + 0.09 + .:..+ 0.00...09 (有穷位) = 0.999…9(有穷位)＜1

......

这样的式子共有无穷个，但每个都是有穷位。没有达到无限位。当达到无限位时，就从＜1变成了=1。

0.9 + 0.09 + 0.009 + … (无穷级数)= 0.999…(无穷小数)= 1。

错误的关键是没有把【无穷】和【有穷】从概念上区别开來，错误地把它们混为一谈了。

这昱【无穷】和【有穷】的区别。不是【构造性】和【非构造性】的区别。关于构造性，直觉主义者的数学观，有另外的涵义。

二，关于《0548》，

1，逻辑的推理规则与公理和定理定义等构成的数学理论系统，这是两个层次的概念。逻辑规则是最基础性的，适用于各种数学理论。因而凡是在逻辑规则中可推出的就不必在公理系统中重复规定。

例如在逻辑中有同一替换规则。这【绝不是“天生”自带】的，而是逻辑规则。是说，如果x和y是同一的个体(x=y)，则对任何谓词P都有: P(x)↔P(y)。通俗讲，就是【若相同，则可以替换】。这样的规则是逻辑规则，在推理中是可以任意应用的，不必在数学公理中再去陈述。陈述了就是冗余。

在公理中需要陈述的是【两个什么样的个体是同一的】，集合论中的【外延公理】陈述的是两个集合在什么条件下是同一个集合，即如果任元素Z，Z∈X↔Z∈Y，则集合X和Y是同一的。这是【外延公理】，而不是【替换定理】。【替换定理】是说，【如果X和Y是同一个集合，则对于任何集合Z，Ⅹ∈Z↔Y∈Z。对任何元素z，z∈Ⅹ↔z∈Y。】这个【替换定理】可以由逻辑的同一替换规则直接推出，不需要在集合公理中陈述。

2，我同意一阳生先生的看法，操作次数既可用集合[次集]的元素[次]来表示，也可用集合[次集]来表示。

关键是看你怎么选定「次集」。如果你选自然数集作为「次集」。则其元素只能表示有限次的操作，只有整个「次集」才能表示无限次的操作。但如果选用序数或基数构成的集合作为「次集」，则其超穷序数元素ω就可表示无限次的操作。当然无限次的逻辑推理，是绝对不允许的。而无限次的数学演算，则要具体分析，有定义的是允许的，没有定义的，则属于禁忌之列。

3，一阳生先生的如下分析是正确的。【如果时间在半路上即没有达到无穷秒，0.999…将小于1。当然此[0.999…]中的9的个数为有限个，9的个数处在一直增加当中。】

因而范秀山的论断是错误的。范博士认为

0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + … = 0.999…く1。

这是错误的。因为这个式子表示的是无穷项的相加，是无穷级数，小数点后有无穷个9，是无穷小数。因而它的值不是小于1，而是等于1。即

0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + … = 0.999…=1。

0.9 + 0.09 + ...+ 0.0...09(有穷位)= 0.99...9(有穷位)く1。

参考文献

Zmn-0556 一阳生：关于构造性操作与非构造性操作的认识

Zmn-0548 一阳生：对薛老师 Zmn-0543的回应。

Zmn-0543 薛问天： 谈公理和定义以及有穷集和无穷集等问题，评一阳生先生《0542》和《0539》。

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