Zmn-0558 黄汝广：代李鸿仪先生答反对伊战Zmn-0554第三点

【编者按。下面是黄汝广先生的文章。是对反对伊战先生《Zmn-0554》文章的评论．现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

代李鸿仪先生答反对伊战Zmn-0554第三点

黄汝广

为了方便讨论，我们把康托尔关于[0,1]不可数的论证，简述如下：

将(0,1)的每一个数用十进制无限小数表示，可得到一包含(0,1)全体的无穷序列，两者完全等价，因此“假设(0,1)可数”等价于“假设该无穷序列可数”，从“假设该无穷序列可数”推出的结论，也同样适用于“假设(0,1)可数”。现在，假设该序列可数，也即与自然数一一对应，并排列如下：

1→0.a11 a12 …a1n …

2→0.a21 a22 …a2n …

……

n→0.an1 an2 …ann …

         ……

然后再构造数b=0.b1 b2 …bn …（当ann=1时，取bn=2；当ann≠1时，取bn=1）。康托尔认为，b属于(0,1)却不属于该序列，矛盾，故(0,1)不可数。

仔细分析上述论证，我们不难发现，康托尔的无穷小数序列只是对(0,1)的具体展示，两者完全等价：因此，属于(0,1)的一定也属于该序列，这个事实是如此不言自明，以至于康托尔都没有想到要交代一下。实际上，正是由于康托尔潜意识里一直坚持着这个“隐性”事实，他才认为“b属于(0,1)却不属于该序列”是矛盾。

然而，无穷小数序列与(0,1)两者完全等价，只能是意味着：根本不可能存在“属于(0,1)却不属于该序列”的数b！不然的话，那就只能否定上述已经植根于康托尔潜意识的“隐性”事实，也即承认该序列只是（0，1）的真子集，或者说并非属于（0，1）的任何一个实数都能够写成无限小数的形式，整个实数理论都需要改写了。

问题到底出在哪里？事实上，康托尔构造的所谓新数b既属于(0,1)也属于该序列，根本不存在任何矛盾！很显然，“b属于(0,1)”的结论，是纯粹由b=0.b1 b2 …bn …自身形式决定的，应该不存在任何异议。那么，康托尔认为b“却不属于该序列”，是什么原因呢？这就要从构造数b的对角线法说起。

笔者认为，单纯依据对角线构造法，康托尔只能说b在对角线之外（不被贯穿），而不能进一步推论b“却不属于该序列”。要推论b“却不属于该序列”，以下一个隐性假设是不可或缺的：康托尔对角线能够贯穿该序列的任何一个，也即可以遍历整个序列，不存在漏项问题。在这里，康托尔大概是被对角线的无限延伸性给迷惑了，以为对角线的无限延伸性，可以确保其遍历性。

然而事实并非如此。对于十进制小数，每一数位上都有十种不同的取值可能，这一事实注定对角线必然要漏项。先考虑属于(0,1)的所有n位小数，其序列只有n列但远远不止n行，而对角线却仅能贯穿n列n行，占总行数的比例很小；再令n趋于无穷大，即得到康托尔的无穷序列，但此时上述比例极限却为0：换言之，对角线无限延伸时，其漏项率几乎100%，而数b仅仅是其中之一；再形象点说，即b这条鱼虽然漏在了对角线这张渔网之外，但它仍然留在作为池子的无穷序列里。

换句话说，康托尔所谓的新数实际上并不新，它早就在序列之中了，但是由于数的进制问题，对角线并不能遍历整个序列，而康托尔错误地把该序列中不能被对角线贯穿的数，认为是所谓新数了。（这里进制是关键：一进制无法实施对角线法的取反操作，要取反就必须至少是二进制，二一旦进制大于等于二，对角线必然存在不能遍历整个序列的问题！）

最后再次强调：假设(0,1)可数，只能是假设(0,1)全体可数，而不能是(0,1)的一部分可数，因此康托尔的无穷小数序列必须包含所有(0,1)的数，否则其无穷序列就不满足假设条件，后面的一切推理实际上都属于否定前件谬误。既然康托尔认为自己构造出了序列之外的新数，那就恰恰证明了他的无穷序列不满足其假设条件（也即康托尔的无穷序列并不是(0,1)全体，因此，以“假设该无穷序列可数”为前提的结论，并不适用于“假设(0,1)可数”），拿不满足假设条件的推论来否定假设，纯粹是张冠李戴了！

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