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Zmn-0558 黄汝广:代李鸿仪先生答反对伊战Zmn-0554第三点

已有 460 次阅读 2021-5-18 20:28 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0558 黄汝广:代李鸿仪先生答反对伊战Zmn-0554第三点

【编者按。下面是黄汝广先生的文章。是对反对伊战先生《Zmn-0554》文章的评论.现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

代李鸿仪先生答反对伊战Zmn-0554第三点

黄汝广

 

为了方便讨论,我们把康托尔关于[0,1]不可数的论证,简述如下:

将(0,1)的每一个数用十进制无限小数表示,可得到一包含(0,1)全体的无穷序列,两者完全等价,因此“假设(0,1)可数”等价于“假设该无穷序列可数”,从“假设该无穷序列可数”推出的结论,也同样适用于“假设(0,1)可数”。现在,假设该序列可数,也即与自然数一一对应,并排列如下:

1→0.a11 a12 …a1n …

2→0.a21 a22 …a2n …

……

n→0.an1 an2 …ann …

         ……

然后再构造数b=0.b1 b2 …bn …(当ann=1时,取bn=2;当ann≠1时,取bn=1)。康托尔认为,b属于(0,1)却不属于该序列,矛盾,故(0,1)不可数。

仔细分析上述论证,我们不难发现,康托尔的无穷小数序列只是对(0,1)的具体展示,两者完全等价:因此,属于(0,1)的一定也属于该序列,这个事实是如此不言自明,以至于康托尔都没有想到要交代一下。实际上,正是由于康托尔潜意识里一直坚持着这个“隐性”事实,他才认为“b属于(0,1)却不属于该序列”是矛盾。

然而,无穷小数序列与(0,1)两者完全等价,只能是意味着:根本不可能存在“属于(0,1)却不属于该序列”的数b!不然的话,那就只能否定上述已经植根于康托尔潜意识的“隐性”事实,也即承认该序列只是(0,1)的真子集,或者说并非属于(0,1)的任何一个实数都能够写成无限小数的形式,整个实数理论都需要改写了。

问题到底出在哪里?事实上,康托尔构造的所谓新数b既属于(0,1)也属于该序列,根本不存在任何矛盾!很显然,“b属于(0,1)”的结论,是纯粹由b=0.b1 b2 …bn …自身形式决定的,应该不存在任何异议。那么,康托尔认为b“却不属于该序列”,是什么原因呢?这就要从构造数b的对角线法说起。

笔者认为,单纯依据对角线构造法,康托尔只能说b在对角线之外(不被贯穿),而不能进一步推论b“却不属于该序列”。要推论b“却不属于该序列”,以下一个隐性假设是不可或缺的:康托尔对角线能够贯穿该序列的任何一个,也即可以遍历整个序列,不存在漏项问题。在这里,康托尔大概是被对角线的无限延伸性给迷惑了,以为对角线的无限延伸性,可以确保其遍历性。

然而事实并非如此。对于十进制小数,每一数位上都有十种不同的取值可能,这一事实注定对角线必然要漏项。先考虑属于(0,1)的所有n位小数,其序列只有n列但远远不止n行,而对角线却仅能贯穿n列n行,占总行数的比例很小;再令n趋于无穷大,即得到康托尔的无穷序列,但此时上述比例极限却为0:换言之,对角线无限延伸时,其漏项率几乎100%,而数b仅仅是其中之一;再形象点说,即b这条鱼虽然漏在了对角线这张渔网之外,但它仍然留在作为池子的无穷序列里。

换句话说,康托尔所谓的新数实际上并不新,它早就在序列之中了,但是由于数的进制问题,对角线并不能遍历整个序列,而康托尔错误地把该序列中不能被对角线贯穿的数,认为是所谓新数了。(这里进制是关键:一进制无法实施对角线法的取反操作,要取反就必须至少是二进制,二一旦进制大于等于二,对角线必然存在不能遍历整个序列的问题!)

最后再次强调:假设(0,1)可数,只能是假设(0,1)全体可数,而不能是(0,1)的一部分可数,因此康托尔的无穷小数序列必须包含所有(0,1)的数,否则其无穷序列就不满足假设条件,后面的一切推理实际上都属于否定前件谬误。既然康托尔认为自己构造出了序列之外的新数,那就恰恰证明了他的无穷序列不满足其假设条件(也即康托尔的无穷序列并不是(0,1)全体,因此,以“假设该无穷序列可数”为前提的结论,并不适用于“假设(0,1)可数”),拿不满足假设条件的推论来否定假设,纯粹是张冠李戴了!





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