Zmn-0556 一阳生：关于构造性操作与非构造性操作的认识

【编者按。下面是一阳生先生的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

关于构造性操作与非构造性操作的认识

一阳生

设计一个最简单直接的操作：

点A经历1秒时间，期间经历一些特别的时点：0秒、1/2秒、2/3秒、3/4秒、4/5秒、…、1秒。问点A经历了多少个这些特别的时点？

首先我们要在1秒时间段内找到这些点，如何找有两种方法。

方法一

如果把1秒时间段看成一个集合，根据集合论公理存在一个由一些特别时点组成的集合{0,秒1/2秒,2/3秒,3/4秒,4/5秒,…,1秒}。因为该集合可与自然数集合一一对应，所以点A经历了无穷个特别的时点。

方法二

用自然数计数1秒时间段中这些特别的时点，0秒对应1个，1/2秒对应2个，2/3秒对应3个，3/4秒对应4个，…。因自然数的后继数是自然数，在1秒之前个数将处于不断增加的过程中，可描述为“不断增加的有限”个。但1秒无自然数对应，即在1秒时间段结束时无法知道计数了多少时点。

可见自然数计数仅能达成有限，即使给予足够的时间空间或持续不断的计数下去。当然我们不必担心如果自然数计数没有完结，时间将达不到1秒。因为这是无效推论，计数过程与时间流动毫无内在关联。

注：“不断增加的有限”不是“潜无穷”，当然也不存在潜无穷。对它只能定性的认识，不为某一确定的静止的自然数。

现在再看范老师Zmn-0544 中的例子：

【在数轴上，一个点A以阶段变速前进：

第0~1秒：0.9 米/秒 ，走了0.9米

第1~2秒：0.09 米/秒，走了0.09米

第2~3秒：0.009 米/秒，走了0.009米

第3~4秒：0.0009 米/秒，走了0.0009米

第4~5秒：0.00009 米/秒，走了0.00009米

第5~6秒：0.000009 米/秒，走了0.000009米

……

就这样一直走下去，A点到达的位置是一个动态的无限小数

0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + … = 0.999…

在数轴上，A点所经过的区间是一个半开区间 RA =[0，0.999…)，它一直在向前拓展，永不停息。】

即使时间和点A一直向前拓展，永不停息。但该操作用自然数计数每一时间阶段，无法计数到无穷秒的时间。所以

[0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + … = 0.999…＜ 1]

该式的给定为构造性操作，即0.9加0.09，再加0.009，再加0.0009，…，持续不断的加下去。“该式的左边”随着相加的数的个数不断增加，极限为1，但不为1。

现在看薛老师Zmn-0547 中的例子：

【我们可以把范秀山博士的例子改一下。在数轴上，点A以下述阶段变速前进：

第0~1/2秒：以适当的速度，走了0.9米

第1/2~2/3秒：以适当的速度，走了0.09米

第2/3~3/4秒：以适当的速度，走了0.009米

第3/4~4/5秒：以适当的速度，走了0.0009米

第4/5~5/6秒：以适当的速度，走了0.00009米

第5/6~6/7秒：以适当的速度，走了0.000009米

……

这样在1秒中A点就会走完1米，到达终点。这样A点经过和到达的位置和路程，就是闭区间[0,1]。到达的路程就是0.9+0.09+0.009+...=0.999...=1。】

通过上面我设计的模型可知，点A在1秒中经历了无穷的时间阶段，并走完了1米。但无穷的时间阶段非用自然数统计得来，而是通过集合论公理和一一对应而来。所以

[0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + … = 0.999…=1]

该式的给定为非构造性操作，即直接的一次性的给出无穷个数字，并直接的一次性的让它们相加。

发表文章是为了获得批评而进步，不是为了推销自己的观点或为了反对谁。这篇文章是最近思考所得，还请薛老师、范老师和所有老师给予批评。

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