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Zmn-0577 薛问天：在「正确答案」下认错也算进步，不过需提高对函数的要素的认识。评师教民《0573》

已有 1635 次阅读 2021-6-14 14:01 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0577 薛问天：在「正确答案」下认错也算进步，不过需提高对函数的要素的认识。评师教民《0573》

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对师教民先生的《0573》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

在「正确答案」下认错也算进步，不过需提高

对函数的要素的认识。评师教民《0573》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，师教民先生虽然口头上对他的三个错误没有认错，说【仍然正确】。但实际上，在强大的「正确答案」面前，他无法狡辩，只能认错。

他的描述复合函数的第一个错误【该函数的函数关系是f】。由于「正确答案」中复合函数的函数关系是f·g，不是f，所以他终于承认【函数 f 和复合函数 f×g 由于函数关系不同，所以认为复合函数的对应法则是 f 就错了．】(《0573》5，3)②)。

他的第二个描述复合函数的错误【该函数的定义域是函数x=g(y)】。由于「正确答案」中复合函数的定义域是Dg，不是函数x=g(y)。所以他不得不说【（注意：我是把函数 x=g (y)作为 f 函数 y=f (x)[定义域为 x=g (y)]的定义域的，薛问天先生说的【把函数 x=g(y)作为复合函数的定义域】是薛问天先生编造出来后强加给我的）】(《0560》1，5)。)也就是说他也终于认为【把函数 x=g(y)作为复合函数的定义域】是错误的。

在「正确答案」面前认错，承认【复合函数的对应法则是 f 就错了】，承认【把函数 x=g(y)作为复合函数的定义域】是错误的。不能不说是一种进步。

不过要知道师先生所说的【该函数】，指的就是复合函数，师先生公开承认他所说的函数和复合函数【是同一个函数】(《0534》6)。

同一个函数当然其函数关系是相同的，定义域是相同的。这就是所谓的函数的二要素。既然【该函数】和复合函数是【同一函数】，【复合函数的对应法则是 f 】是错误的，难道【该函数的函数关系是f】就不错吗。既然【把函数 x=g(y)作为复合函数的定义域】是错误的，难道【该函数的定义域是函数x=g(y)】就不错了吗？

明显看出，这完全是说不通的。师先生为了为他的错误作辩解，就全力來攻击函数的二要素原理。即下述原理· 〖构成函数的要素是: 定义域Df及对应法则f。如果两个函数的定义域相同，而且对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的。〗

于是现在我们对师教民先生的批评，就要涉及他对「函数二要素原理」的攻击了。

至于他描述复合函数的第三个错误【可以把该函数简记做f，并且把该函数简称为f函数。】在我摆出函数记号的「正确答案」内容〖但在同一个问题中，讨论到几个不同的函数时，为了表示区别，需用不同的记号表示它们．〗师先生虽未承认他的错误，但却承认是【缺点】。他不得不说【只不过是在「表示区别」时不太明显而已．这顶多是个缺点而不能是错误。】当然他的这种说法是完全错误的，这里说得很清楚〖为了表示区别， 需用不同的记号表示它们． 〗师先生用了同f函数相同的记号是错误的。不过承认有【缺点】，也算有一定的进步。

二，师先生公开向「函数二要素原理」挑战。

师先生说【薛问天先生的前文曾经说过的，同济大学数学系编、高等教育出版社 2014 年 7 月第 7 版的《高等数学》中的原文：〖构成函数的要素是：定义域 Df 及对应法则 f．如果两个函数的定义域相同，而且对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的．〗被薛问天先生喻为「正确答案」．但是由于理由支持不足，被我多次用函数 y=|x|和 y= √(x²)为例证明了其中的错误．】

既然师先生向「函数二要素原理」提出了公开的挑战，那我们就要摆事实，讲道理來论证和说明，这个原理究竟是正确的原理，还是师先生所说的是【错误】的原理。

三，「函数二要素原理」的确切含义和重要意义。

应该说「函数二要要素原理」是对函数这个概念更进一步地深刻的解释和注解。什么是函数，函数涉及两个变量，一个是自变量一个是因变量，因变量随自变量而变化。作为函数，这种变化是有一定规律限制的。用严格的集合论语言來说，这是一种集合D到U的映射。D是函数的定义域，是自变量的变化范围，U是函数的值域，是函数因变量的变化范围。

要知道任何数学概念都有严格的数学定义。什么是映射，映射是滿足单值条件的关系。什么是关系，集合X和Y间的关系，是X和Y的笛卡尔乘积ⅩxY的子集。刚好我最近同一阳生先生在讨论这一问题，发表了文章《Zmn-0574 薛问天：关系是笛卡尔乘积的子集。》可供参考。也就是说函数关系，即映射和对应法则，是DxU这个笛卡尔乘积的一个子集。

「函数二要素原理」，说的就是任何函数都有确定的「函数关系」，和确定的「定义域」。这是构成函数的最重要的二大要素。二大要素相同就是相同的函数，只要有一个要素不同，则函数就不同。

「定义域」相同的比较，比较简单。定义域是函数自变量的变化范圈，是个集合。比较两个集合的相同与不同，就看两个集合包含的元素是否相同，如果完全相同，则集合相同，如果包含元素有所不同，则集合不同。

如何比较函数关系是否相同呢。刚才说了，函数关系，即映射和对应法则，是DxU这个笛卡尔乘积的子集。那么比较函数关系是否相同，最根本就需要比较这个DxU笛卡尔乘积的子集是否相同。仍然是比较两个集合是否相同。

四，函数 y=|x|和 y= √(x²)的函数关系是完全相同的，用此例证明不了「函数二要素原理」是错误的。

师先生说【被我多次用函数 y=|x|和 y= √(x²)为例证明了其中的错误．】师先生说函数 y=|x|和 y= √(x²)的函数关系不同，但它们是同一函数，从而证明了「函数二要素原理」的论断「如果两个函数的定义域相同，而且对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的．」是错误的。

但实际上，很简单，师先生的判断是错误的。函数 y=|x|和 y= √(x²)的函数关系是完全相同的，用此例根本证明不了「函数二要素原理」是错误的。

函数 y=|x|和 y= √(x²)的函数关系是什么，是否相同，非常清楚。函数的定义域是全体实数R，值域是大于等于0的实数R⁺。它们的函数关系是R⁺xR笛卡尔乘积下的如下〈y,x〉的集合，当ⅹ≥0时，y=x，当x＜0时，y=-x。也就是说，这两个函数的函数关系，即R⁺xR笛卡尔乘积下的子集合，是完全相同的。说它们不同及用此來证明「函数二要素原理」有错，是完全错误的。

五，师先生的关键错误是把复合函数看作是【以ⅹ=g(y)为定义域的f函数】，即认为【在f的自变量x被函数x=g(y)限制后等于复合函数】。

师先生之所以要挑战「函数二要素原则」，我认为其目的是为他以上的错误在进行口头上的狡辩。我觉得师教民先生，作为一名高校的数学教师，不可能不懂得我前面讲的这些数学道理，不可能不知道「函数二要素原理」的重要作用。更不可能不知道函数 y=|x| 和 y=√(x²) 的函数关系是完全相同的。他是在玩一种文字游戏，仔细看他的论述，他说的函数关系的【不同】是指文字表述的不同，他也认为函数 y=|x| 和 y=√(x²) 的函数关系是相同的，但他不说「相同」，说是【相等】。在这里故意玩这些文字游戏，并以此來挑战【函数二要素】，为他的错误论断辩解。既然函数 y=|x| 和 y=√(x²) 的函数关系是【相等】的，才使两个函数是同一函数，你的函数关系f和f·g既不相同又不相等，怎么你的f函数和复合函数又能成为同一函数了呢？这是根本说不通的。所以说师先生的关键错误是把复合函数看作是【以ⅹ=g(y)为定义域的f函数】。

师先生这个错误的关键是把复合函数看作是某种形式的f函数。我们知道由函数f和g构成的复合函数，是不同于f和g的第3个函数，我们称其为函数h。我们强调复合数h一般不同于复合函数的构成函数f(当然也不同于g)。而且特别强调它们的微分的不同。复合函数h的因变量微分是dy③，而函数f的因变量的微分是dy①。我们大家看得很清楚，由于师先生前面的论述中混淆了复合函数的微分和函数f的微分，混淆了dy③和dy①的区别。所以为了寻找借口，就要把复合函数硬说成是某种形式的函数f。当然这样的计谋不可能得逞。「函数的二要素原理」就是这个计谋的最大阻力。函数f的函数关系是f，而复合函数h的函数关系是f·g，两者不同怎么能是同一函数呢。

另外把复合函数看作是【以ⅹ=g(y)为定义域的f函数】，从概念上讲，也是相当混乱的。f函数以x为自变量，复合函数以y为自变量，怎么能是相同的函数。 f函数的定义域是对其自变量x的变化范围所作的规定，怎么能【以函数x=g(y)作为定义域】呢？既使不说是【定义域】，把复合函数说成是【f的自变量x被函数x=g(y)限制】也是不对的，因为由f和g构成的复合函数，已是一个新的，不同于f和g的第3个函数。把它说成是自变量x受到某种限制的f函数，仍然是f函数，也是错误的。因为它不是f函数。把不是f函数的复合函数，硬说成是f函数显然是错误的。

关于如何选用记号表示函数，教材已说得相当清楚〖为了表示区别，需用不同的记号表示它们．〗师先生用了同f函数相同的记号來表示复合函数是完全错误的。

师教民的《0573》，虽然在口头上没有承认错误。但实际上在「正确答案」的强大压力下不得不认错，也算是一种进步。不过需提高对函数的要素的认识。纠正他对「函数二要素原理」的错误态度，纠正把复合函数硬说成是【以ⅹ=g(y)为定义域的f函数】的错误。

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