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Zmn-0574 薛问天： 关系是笛卡尔乘积的子集。评一阳生先生的《0571》
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Zmn-0574 薛问天： 关系是笛卡尔乘积的子集。评一阳生先生的《0571》
【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对一阳生先生的《0571》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
关系是笛卡尔乘积的子集。
评一阳生先生的《0571》
薛问天
非常感谢一阳生先生对我的《0102》文章的关注。一阳生先生对「关系」表述的质疑，主要是对如何将「关系」定义为「笛卡尔乘积的子集」的细节还缺乏了解。当他了解了具体的细节后，一定会完全消除这些疑虑。
一阳生先生的疑点主要是【如果把“关系”替换为“集合”，则集合R(x,y)成立。集合是存在，我们通常会考虑其是否存在。而不会确认集合是否成立或者真假。】
我们把Ⅹ和Y间的一个关系R(x,y)，定义为ⅩxY这个笛卡尔乘积中的一个子集R时:。当我们考虑R(x,y)是否成立，是看〈x,y〉是否属于R。並不是考察集合R是否存在。即R(x,y)的成立当且仅当〈x,y)∈R的成立。所以这里并无【不恰当】的问题。
例如当我们把x+y=z的关系定义为NxNxN中的一个子集合R时。则R={〈x,y,z〉丨x+y=z }。
说关系1+1=2成立，即〈1,1,2〉∈R。关系1+1=3不成立，即〈1,1,3〉∉R。这都很合适。
同理【两个集合之间的关系：X∈Y】也可以这样定义:。例如自然数可以看作是自然数的集合，自然数之间可以考虑属于关系。可以把它们间的属于关系定义为NxN的子集R。
R={〈X,Y〉丨X∈Y }。于是X∈Y当且仅当〈X,Y〉∈R
这个属于关系等价于小于关系。因为m<n当且仅当m∈n={0,1,2,…n-1 }。
为了帮助一阳生先生的理解，特介绍北师大的《基础集合论》教材中有关「关系」的内容附录如后。
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