Zmn-0575 黄汝广： 浅谈无穷与一一对应

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浅谈无穷与一一对应

黄汝广

我们知道，无穷有一个所谓的奇特性质，也即有穷不能随意推广到无穷，尤其在薛问天先生这里，这简直就是一个万能挡箭牌。

考察一下科学史，可以知道，自然数与偶数的一一对应最早是由伽利略提出的，并且他由此得出结论：利用一一对应比较大小只适用于有穷，而不适用于无穷。

所以，无穷的这一奇特性质最早大概出自伽利略，可是后来，康托尔根本就不管这些，而直接把一一对应由有穷推广到了无穷。可见，这一所谓的奇特性质并不是一成不变的，不同的人有不同的看法，比如伽利略认为不适用的康托尔就认为适用，所以薛先生认为不当的别人未必这么看；而且很显然，薛先生是支持康托尔，而我本人则是支持伽利略。

关于有穷不能随意推广到无穷，萧文强《数学证明》与路沙*彼得《无穷的玩艺》都提到一个例子：将斜边n等分，并连接成阶梯折线，则当n趋于无穷时，可以得出斜边等于二直角边之和的结论。两个数学家同时采用这样一个例子，来说明有穷不能随意推广到无穷这一观点，真是让我惊讶万分：说实话，之所以得出当n趋于无穷时斜边等于二直角边之和的结论，错误其实并不在于以有穷推无穷，而在于两位数学家使用了一个错误的隐性假设，也即对于无穷小三角形，斜边等于二直角边之和，勾股定理不再成立！

说实话，康托尔把一一对应用来比较大小，表明他根本没有明白一一对应的本质是函数法则这一根本属性，而使其退化为一一配对的连线行为。一一对应的本质是函数法则这一根本属性，在数学上之所以重要，是因为只有如此才方便实现问题的转化；一一对应并不是在两个集合之间随意进行一一配对的连线游戏，而是通过确定的函数法则由一个集合可以生成另一个集合。换话句话说，两个集合一一对应，也就是其元素之间存在一个确定的单值函数关系，从而一个是定义域而另一个是值域。

因此，康托尔所谓的有理数与自然数一一对应，其实已经完全退化为了两个已知集合之间的连线游戏，而根本不具有“生成”的功能：也即根本不存在一个确定的函数法则，对于任何一个自然数由此法则可以直接生成它所对应的有理数。而且要注意，由任何一个自然数生成其对应有理数的法则必须是相同的，如果每个自然数依据的法则不同，那其实等于没有法则。

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