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Zmn-0575 黄汝广: 浅谈无穷与一一对应

已有 673 次阅读 2021-6-12 15:57 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0575 黄汝广: 浅谈无穷与一一对应

【编者按。下面是黄汝广先生的文章。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

浅谈无穷与一一对应

汝广

 

我们知道,无穷有一个所谓的奇特性质,也即有穷不能随意推广到无穷,尤其在薛问天先生这里,这简直就是一个万能挡箭牌。

考察一下科学史,可以知道,自然数与偶数的一一对应最早是由伽利略提出的,并且他由此得出结论:利用一一对应比较大小只适用于有穷,而不适用于无穷。

所以,无穷的这一奇特性质最早大概出自伽利略,可是后来,康托尔根本就不管这些,而直接把一一对应由有穷推广到了无穷。可见,这一所谓的奇特性质并不是一成不变的,不同的人有不同的看法,比如伽利略认为不适用的康托尔就认为适用,所以薛先生认为不当的别人未必这么看;而且很显然,薛先生是支持康托尔,而我本人则是支持伽利略。

关于有穷不能随意推广到无穷,萧文强《数学证明》与路沙*彼得《无穷的玩艺》都提到一个例子:将斜边n等分,并连接成阶梯折线,则当n趋于无穷时,可以得出斜边等于二直角边之和的结论。两个数学家同时采用这样一个例子,来说明有穷不能随意推广到无穷这一观点,真是让我惊讶万分:说实话,之所以得出当n趋于无穷时斜边等于二直角边之和的结论,错误其实并不在于以有穷推无穷,而在于两位数学家使用了一个错误的隐性假设,也即对于无穷小三角形,斜边等于二直角边之和,勾股定理不再成立!

说实话,康托尔把一一对应用来比较大小,表明他根本没有明白一一对应的本质是函数法则这一根本属性,而使其退化为一一配对的连线行为。一一对应的本质是函数法则这一根本属性,在数学上之所以重要,是因为只有如此才方便实现问题的转化;一一对应并不是在两个集合之间随意进行一一配对的连线游戏,而是通过确定的函数法则由一个集合可以生成另一个集合。换话句话说,两个集合一一对应,也就是其元素之间存在一个确定的单值函数关系,从而一个是定义域而另一个是值域。

因此,康托尔所谓的有理数与自然数一一对应,其实已经完全退化为了两个已知集合之间的连线游戏,而根本不具有“生成”的功能:也即根本不存在一个确定的函数法则,对于任何一个自然数由此法则可以直接生成它所对应的有理数。而且要注意,由任何一个自然数生成其对应有理数的法则必须是相同的,如果每个自然数依据的法则不同,那其实等于没有法则。

 




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