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Zmn-0578 薛问天：由黄汝广《0575》文章引起的联想，我也谈谈无穷集合与一一对应。

已有 1617 次阅读 2021-6-16 19:45 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0578 薛问天：由黄汝广《0575》文章引起的联想，我也谈谈无穷集合与一一对应。

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对黄汝广先生的《0575》文章的联想。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

由黄汝广《0575》文章引起的联想，

我也谈谈无穷集合与一一对应。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

黄汝广先生在《0575》中【浅谈无穷与一一对应】，引起我一系列对此问题的联想。需要说明的是本文所评论或批评的一些观点，并不是针对黄汝广先生的。很可能黄先生还同意我的很多观点，针对的是我认为与此主题相关的一些错误观点。

1，也许有人已经看出，我不想谈抽象空洞的【无穷】，而是想谈具体的数学概念「无穷集合」。

有人说你不搞清楚【无穷】的含义，怎么能搞清楚「无穷集合」的含义。事实上并不是这样。在严格的「无穷集合」的数学定义中，并未用到抽象空洞的【无穷】的概念，却把「无穷集合」说得清清楚楚。「无穷集合」定义为非「有穷集合」的「集合」。集合是由其公理规定的原始概念，有穷集合定义为同任何自然数n表示的集合一一对应的集合，「非」是个熟知的逻辑词。所以说「无穷集合」是个有严格定义的数学概念。可以明确地讨论它所具有的严格属性。而所有这些有关「无穷集合」的数学论述，同对抽象的空洞的【无穷】概念的讨论没有任何直接关系。所以我只关心「无穷集合」的数学定义，而不关心对抽象的空洞的【无穷】概念的讨论。

2，认识和承认「无穷集合」的存在，是人类文明和数学发展的进步。

早期，人类并不承认「所有自然数」这个「无穷集合」的存在，认为自然数的生成过程永远不可能完成。从而认为「无穷集合」不是确定的集合。另外我们知道，无穷集合的所有元素不可能全部都呈现在任何个人的面前。所以人类是不可能通过感官，直接感觉到「无穷集合」的存在。

但是后來，随着人们认识的提高，终于抛棄了潛无穷观，而实无穷观得到了业界的共识。同时也认识到人类的认识是由感性认识提高到理性认识。通过理性的推理认识到「无穷集合的存在」。既然是所有自然数的集合，它的元素就是确定的，而不是变化或增长的了。自然数是确定的数，自然数不可能是非自然数，非自然数也不可能是自然数，所以所有的自然数是一个确定的集合。通过理性的推理承认了「无穷集合」的存在，这不能不说是人类文明和数学发展的一大进步。

当然我们在这里主张的是「实无穷观」，反对的是「潜无穷观」。主张是「感性认识要提高到理性认识」，反对的是「对理性认识的不自信，甚至贬低和否定。」

3，要承认「无穷集合」与「有穷集合」有不同的属性。

无穷集合与有穷集合都是集合，有些属性是相同的。但存在有不同的属性。黄汝广先生说【有穷不能随意推广到无穷，尤其在薛问天先生这里，这简直就是一个万能挡箭牌。】确切地说，我的意思是「无穷集合」与「有穷集合」存在有不同属性，确实【不能随意推广】。当然要通过具体分析。

属性「能同它自己的一些真子集一一对应」，确实是「无穷集合」所具有的而「有穷集合」不具有的一个重要不同属性。这是一个铁的亊实，是任何人都反对不了的。伽利略也反对不了这个事实。反对的不过是对这个事实的理解而已。

要知道承认「无穷集合」的存在，是人类文明的进步。承认「无穷集合」存在与「有穷集合」不同的属性，也是一种进步。

其实，由于有穷集合有【用自然数表示的元素数目】的概念，有人就认为无穷集合也有【元素数目】的概念，而且认为【集合的元素数目大于真子集的元素数目】，认为无穷集合也有【元素数目】的概念，就是一种错误，就是一种认为「无穷集合」与「有穷集合」属性都相同的错误。实际上对一般的无穷集合，建立不了这种【元素数目】的概念。这也是「无穷集合」与「有穷集合」不同的属性。

4，双射比函数要求更高。

黄汝广先生说【两个集合一一对应，也就是其元素之间存在一个确定的单值函数关系，】这句话不准确。应当说是存在一个双射，而不仅仅是存在一个单值函数。双射比单值函数要求更高，要求无重复无造漏，即要求映射还要满足单射和满射。:希望黄先生养成论述严谨的习惯。

5，一一对应的双射，可以看作是集合的生成法则。

黄先生说【康托尔所谓的有理数与自然数一一对应，其实已经完全退化为了两个已知集合之间的连线游戏，而根本不具有“生成”的功能：也即根本不存在一个确定的函数法则，对于任何一个自然数由此法则可以直接生成它所对应的有理数。】

这个论断没有道理，形成自然数和有理数的一一对应的双射，可以看作是有理数集合的生成法则。因为按照这个双射，可以无重复无遗漏地对每个自然数确定一个对应的有理数，这就是有理数集合的生成法则。如果说这不是法则，你认为怎么样才是法则呢？

黄先生说【由任何一个自然数生成其对应有理数的法则必须是相同的，如果每个自然数依据的法则不同，那其实等于没有法则。】我们认为同一个双射就是同一个法则，每个自然数依据的法则是同一个对射，是相同的，但在同一个双射下，每个自然数求对应的有理数的具体步骤方法有所不同，所求的有理数也是不同的，这很正常。

话又说回來了，数学概念要有定义，我这里的双射是有严格定义的概念，双射是满足单射和满射的映射，映射是满足单值的关系，而关系是笛卡尔乘积的子集。相当清楚。而你说的函数法则又是什么呢？你根据什么说双射不是法则呢？如果你说的法则就是函数要素中说的函数对应法则。〖构成函数的要素是: 定义域Df及对应法则f。〗那么它同函数关系及映射是同一个概念。双射是满足单射和满射的映射，从而双射就是映射，就是对应法则。而不能说它不是法则。

参考文献

Zmn-0575 黄汝广：浅谈无穷与一一对应

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zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录