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Zmn-0587 薛问天：【令人吃惊的结论】是由【乘法定义】和【几何基数】的定义不当引起的。评李振华《0583》。
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Zmn-0587 薛问天：【令人吃惊的结论】是由【乘法定义】和【几何基数】的定义不当引起的。评李振华《0583》。
【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对李振华先生的《0583》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
【令人吃惊的结论】是由【乘法定义】和【几何基数】的
定义不当引起的。评李振华《0583》。
薛问天
1，李先生定义的乘法对集合的元素的要求。
李先生说【集合乘法中并不要求元素是数，集合加法在前面已经有了定义。】
对元素是数，元素是集合，仍然是对集合中元素的限制。所以说，李先生的乘法只适用于限制【元素是数】和【元素是集合】的集合，对于一般的【元素不是数也不是集合】的集合就是不适用的。
另外，对于那些既是数，该数又可以表示为集合的对象，你定义的x+y，究竟是按数的加法还是按广义集合的加法，很不清楚。要知道这两种定义算出的结果一般并不相同。这同这种数如何表示成集合的关系很大。如果自然数按照李先生的表示，将自然数n表示为n={0:n｝，自然数1+2={0:1｝+{0:2｝={0:3｝=3。但是按自然数通常的集合表示，1={0｝，2={0,1｝，1+2={0:2,1:1｝，这根本就不是自然数的集合表示，当然就不等于3。这些都是李先生的定义的问题。是李先生定义的【自相矛盾】。
2，不能把【大胆推测】作为论据。
李先生说【 集合{0,1,2,3,....}减去右移x个单位的自己，基数是x。】即所谓的【 |{0,1,2,3,....}-{x,x+1,x+2,.....}|=x。】
显然当ⅹ=n是自然数时，{0,1,2,3,....}-{n,n+1,n+2,.....}={0,1,2,...,n-1｝，它的重数和=n。
当ⅹ=1/n时，
( {{0,1,2,3,....}-{1/n, (1/n)+1, (1/n)+2,.....｝)*{0, 1/n, 2/n,...,(n-1)/n｝
={0,1,2,3,....}-A1+A1-A2+A2-A3+.-...+A(n-1)-An
={0,1,2,3,....}-{1,2,3,....}={0}。
其中Ai={(i/n), (i/n)+1, (i/n)+2,.....｝。
所以( {{0,1,2,3,....}-{1/n,(1/n)+1,(1/n)+2,.....｝)
={0｝/{0,1,2,...,n-1｝。它的重数和=1/n 。
从证明中可以看出，是因为x=1/n和单位1是可以相约的，n倍的x等于1。但是无理数是同1不能相约的，无理数不可能表示为两个整数相除，所以当x是无理数时，是不能用上述方法证明所谓的【 |{0,1,2,3,....}-{x,x+1,x+2,.....}|=x。】成立。
李先生说当x是【实数是成立的】，必须提供严格的证明。只凭【大胆推测】不能作为数学研究的论据。不能把推测做为结论成立的论据。
3，公理和定义。
在一个理论系统中，是对其原始概念的属性，用公理限定。因而对原始概念不作定义。如果在你的理论中，把基数(包括集合的加法和乘法演算)作为原始概念，就不要作定义，全部用公理來限定。你对基数(包括集合的演算)又作公理限定，又作具体定义，这显然是不合适的。没有完全理解在理论系经的建立中，应确定原始概念，以及原始概念用公理和非原始概念用定义的正确建立方法。
4，非常规集合的重数和是无定义的。
我上次已指出非常规集合的【重数和】是无定义的。因而，如果在A-B中，含有无穷多个重数为1的元素，和无穷多个重数为-1的元素，则A-B就是一个非常规集合，无法断定它的【重数和】。
但是根据李先生的【集合乘法】的定义。由于
( {0,1,2,3,.....｝-{0.5,1.5,2.5,3.5,......})*{0,0.5｝
={0,1,2,3,.....｝-{0.5,1.5,2.5,3.5,......}+{0.5,1.5,2.5,3.5,......}-{1,2,3,.....｝
={0,1,2,3,.....｝-{1,2,3,.....｝={0｝。
从而{0,1,2,3,.....｝-{0.5,1.5,2.5,3.5,......} ={0}/{0,0.5 ｝。它的重数和=1/2=0.5。
另一个例子。
由于( {0,1,2,3,.....｝-{7.7,8.7,9.7,10.7,......} ) * {0, 7.7, 2*7.7,..., 9*7.7｝
={0,1,2,3,.....｝-{7.7,8.7,9.7,10.7,......}
+A1-A2+...+A8-A9+A9-{77,77+1,77+2,77+3,......}
={0,1,2,3,.....｝-{77,77+1,77+2,77+3,.....｝={0,1,...,76｝。
其中Ai={i*7.7, i*7.7+1, i*7.7+2, i*7.7+3, .....｝。
从而{0,1,2,3,.....｝-{7.7,8.7,9.7,10.7,......} =
{0,1,...,76｝/{0, 7.7, 2*7.7 ,..., 9*7.7｝。它的重数和=77/10=7.7。
上述例子说明当ⅹ是有穷小数时(进一步还可证明x是有理数时)，【 {0,1,2,3,....}-{x,x+1,x+2,.....} 的重数和=x。
也就是说这种特殊的非常规集合，可以通过李先生的集合演算把它转换为两个常规集合相除，从而计算出它的【重数和】。
严格讲，这里也有问题，一个非常规集合的重数和是无定义的，怎么能通过演算转换成两个常规集合相除，从而又使重数和有了定义。因而对演算转换中的重数和的转换还需作严格的论述和研究。
不论怎么说，既使李振华提出的理论中，又允许了一些无穷集可以比较大小，比李鸿仪先生的设想多了一点，超过了三种情况，那也是多了一种情况，是四种情况。我们知道既使有四种情况，对于所有的无限集合來说，仍然是少得可怜，它仍然不足以作为对整个集合有意义，有定义的概念。
5，不能简单地只说【基数】，必须严格地说你指的是【算术基数】，还是【几何基数】。
令集合A={0,1,2,...｝，集合B={1,2,...｝，显然A-B={0｝，它的重数和=1 ＞0，可见A的【算术基数】大于B。但是B/A={1｝，即A*{1｝=B。但{1}的重数和等于1，可见A的【几何基数】等于A。由此可知集合的【算术基数】一般并不等于【几何基数】。那么李先生在论述和定义中就不能简单地只说【基数】，必须严格地说你指的是【算术基数】，还是【几何基数】。如果可证对于有限集合，【算术基数】等于【几何基数】，也等于重数和。那么只能对有限集合，不加区分。
6，【集合乘法】定义的不协调处。:
在集合论中，集合相乘用的是笛卡尔乘积，乘积集合的元素和二元序对〈x,y〉，但李先生用的是x+y，这不仅限制了乘法的适用集合范围，而且也带來了一些不合谐的结果。特别是由【集合乘法】定义的【几何基数】，结果更槽。李先生的一些所谓【具有颠覆性】的【重磅】发现和【令人吃惊的结论。】也都由此而引起。
根据李先生间【乘法定义】，A*{1)是集合A中每个元素加1，从而{0,1,2,3,....}*(A-A*{1))=A。于是A/{0,1,2,3,....}=(A-A*{1))。
当A=[a,∞)，(A-A*{1))=[a,∞)-[a+1,∞)=[a,a+1),它的重数和＞1 (无限，大于任何有限数)。倒是可以证明[a,∞)它的几何基数大于自然数集合，这还算正常。
当A=[a,b]，(A-A*{1))=[a,b]-[a+1,b+1]的重数和等于多少？
当b＜a+1时，[a,b]-[a+1,b+1]是两个不相交的区间相減，是非常规集合。当b≥a+1时，[a,b]-[a+1,b+1]=[a,a+1)+[a+1,b]-[a+1,b]-(b,b+1]=[a,a+1)-(b,b+1]。仍然是非常规集合。
所以当A是某实数区间[a,b]，证明不了它的几何基数小于自然数。
但是李先生说【[0,1)对称于(1,2]，根据对称性，直觉上[0,1)-(1,2]的基数应该是0。但这不严密，最好的办法是找个无限集合A，证明|([0,1)-(1,2])*A|的基数为0，从而[0,1)-(1,2]的基数必定为0。A是存在的。】
李先生说【只要承认整数集的基数是无限，那么[0,1]-[1,2]的基数就是0，因为它乘以整数集合等于空集合。】
我验证了一下，它乘以整数集合确实可以等于空集合。
([0,1]-[1,2])*{...,-2,-1,0,1,2,...｝
=(...,+[-2,-1]-[-1,0]+[-1,0]-[0,1]+[0,1]-[1,2]+[1,2]-[2,3] +[2,3]-[3,4] +...)={｝。
但是【它乘以整数集合等于空集合】，它自已的基数为什么就一定等于0呢？你作过证明吗？你对【几何基数】的值域中的演算规律作过论证吗？
不过我倒是发现，由于[1,2]=[0,1]*{1｝，所以[1,2]/[0,1]={1｝。即[1,2]和[0,1]的几何基数相等。是否根据李先生的公理，由‖A‖=‖B‖，可推出‖A-B‖=‖A‖-‖B‖=0。
不过由此推出的实数区间[a,b]的几何基数小于自然数集合的结论，说明这个理论是混乱不堪的。说明理论中的【乘法定义】和【几何基数】的定义设置不当。
6，建立理论要靠自己的论证，而不是依赖別人没有推翻。
李先生说【薛先生如果想推翻我的理论，只需证明下面的公式不成立就可以了。】
李先生讨论数学问题的一大毛病，就是提出公式不加证明，而是让别人【证明下面的公式不成立】。我估计你的公式不成立，因为你没有提供相应的证明。希望你提供相应的证明。
我提供了以下公式的严格的证明，这些公式和你的不完全相同。
因为( {0,1,2,3,....}-{3/4,3/4+1,3/4+2,3/4+3,....} ) *
{0, 1*(3/4), 2*(3/4), 3*(3/4)｝
= {0,1,2,3,....}-{3/4,3/4+1,3/4+2,3/4+3,....}
+A1-A2 +A2-A3 +A3-A4
={0,1,2,3,4....}-{3,4.5,...}={0,1,2}。
其中Ai={i*(3/4), i*(3/4)+1, i*(3/4)+2, i*(3/4)+3, ....}
A1={3/4, 3/4+1, 3/4+2, 3/4+3, ....}
A4={4*(3/4), 4*(3/4)+1, 4*(3/4)+2, 4*(3/4)+3,....}
={3,4,5,....}。
所以( {0,1,2,3,....}-{3/4,3/4+1,3/4+2,3/4+3,....} )
={0,1,2} / {0,1*(3/4),2*(3/4),3*(3/4)｝。
同理可证
={0,1,2,...,5} / {0,1*(3/4),2*(3/4),3*(3/4),...,7*(3/4)｝。
={0,1,2,...8} / {0,1*(3/4),2*(3/4),3*(3/4),...,11*(3/4)｝。
={0,1,2,...,11} / {0,1*(3/4),2*(3/4),3*(3/4),...,15*(3/4)｝。
={0,1,2,...,3n-1}/{0,1*(3/4),2*(3/4),3*(3/4),...,(4n-1)*(3/4)｝。
同理可证当x是有理数x=p/q时，
{0,1,2,3,....}-{x,x+1,x+2,x+3,....}
={0,1,2,...,p-1} / {0,1*x,2*x,3*x,...,(q-1)*x｝。
（全文完）
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