博文

Zmn-0588 薛问天：无穷集合是确定的集合，其元素【不再增加】。评新华先生的《0584》

已有 1131 次阅读 2021-7-5 13:56 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0588 薛问天：无穷集合是确定的集合，其元素【不再增加】。评新华先生的《0584》

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对新华先生的《0584》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

无穷集合是确定的集合，其元素【不再增加】。

评新华先生的《0584》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，无穷集合是确定的集合，其元素【不再增加】。

新华先生问【薛问天先生对我的 0.999...„中省略号“⋯”的含义有疑义吗？】是的，我认为新华先生对省略号“⋯”的含义解释是不对的，在无穷小数0.999...中的三个点表示的是无穷个9。在无穷级数a1+a2+a3+... 中的三个点表示的是无穷个项。在「实无穷观者」看來，无穷个元素的集合是个确定的集合。是个元素确定(无穷个)，元素【增加操作结束】，【不再增加】的无穷集合。

新华先生对无穷集合的性质应有新的了解。对于【有穷集合】，确实是如果【9的个数增加结束，存在最后一个 9，】但是对于无穷个9的【无穷集合】，由于所有的9已在其中，个数增加结束。并不存在最后一个 9。所有无穷个9的集合并不存在最后一个 9。要认识到无穷集合的有些性质不同于有穷集合。不要认为有穷集合的性质，对于无穷集合一定成立。

新华先生说【 如果假设 0.999...=1, 1是确定的定值，不再变化，则 0.999...也是定值，增加 9 的操作已经完成，不再增加，必然变成有限个 9，】

实无穷观者是把无穷个9这个无穷集，㸔作是确定的集合，看作是这个集合中已经有所有的无穷个9了，因而【增加 9 的操作已经完成，不再增加。】要知道集合论的外延公理已经规定，所有的集合的元素都是确定的。不能再增加，再增加就成另外的集合了。因而不能把无穷集合看作是其元素在不断增加的集合。因而说【不再增加，必然变成有限个 9，】是错误的。无穷集合的元素也必须是其元素【不再增加】的集合。

有限小数0.999...9(n个9)，如果n不再增加，那么它是一个【确定的有限小数】，新华先生这点说的是对的。但是，如果n在不断增加，它只能是「动态的有限小数」，因为未达到无穷大，所以不能称其为【是一个动态的无穷小数】，因为在整个的增加过程中，它们都是有限小数，而不是无穷小数。称其为【动态的无穷小数】是不对的，是没有道理的。

在无穷级数中，是把无穷级数的和，定义为部分和序列的极限。在实数理论中，是把无穷小数0.999...，定义为有穷小数序列0.9,0.99,0.999,...的极限。在这里概念是很清楚的。一个是部分和序列，一个是无穷级数的和，两者不同。一个是有穷小数的序列，一个是无穷小数，这两者不同。在动态的序列中，在不断变化不断增加的序列中，全是有穷小数。只是它们的极限才是无穷小数。用所有的这些有穷小数<1來断定它的极限，这个无穷小数0.999...也<1，显然是毫无道理的推论，是错误的论断。有穷小数的序列，【虽然趋向 1，但是不能达到 1。】但是无穷小数是有穷小数序列的极限，无穷小数0.999...的值等于1。极限理论中的「不可达」，指的正是序列中的有穷小数不能达到1，不是指它的极限无穷小数0.999...不能等于1。

要注意，在极限理论中的极限「不可达」，指的是这个序列不可达到极限点。并不是说这个极限点在任何情况下都不可达。

我在《0547》中已讲清楚。在范秀山举的例子中，A点永远到达不了终点。是因为我们的时空观念，不承认时间能经过无限秒。因而在有限时间内，A点永远到达不到终点。A点经过的位置和路程只能是半开区间[0,1)。

我说了，我们可以把范秀山博士的例子改一下。在数轴上，点A以另外的速度前进，从开始到1/2秒，走0.9米，从1/2到2/3秒又走了0.09米，从2/3到3/4秒又走了0.009米，......。由于n/(n+1)的极限是1，有穷小数的极限是1，无穷小数0.999...=1。这样在经过1秒中的时间，A点就会走完1米，到达终点。这样A点经过和到达的位置和路程，就是闭区间[0,1]。到达的路程就是0.9+0.09+0.009+...=0.999...=1米。也就是说极限的不可达是指序列1/2,2/3,3/4,...,n/(n+1),...不可达到1，并不是说时间不可达到1秒。在实无穷观者看來，这无穷个时间点1/2,2/3,3/4,...,n/(n+1),...是完全可以走完的，时间可以经过这无穷个点，最后达到1秒。在尚未达到1秒时，A点经过的路程小于1米。但到达1秒时，A点到达的位置是1米。这个时间的1秒，和位置的1米点，都是实际可达的，不是不可达的。

二，关于正反函数的复合是复合函数的特例。

新华先生一时还对「正反函数的复合是复合函数的特例」，这个观点不理解，不接受。认为【不可取】，【不能混淆在一起，造成概念混乱。】其实这是新华先生过虑了，反映对数学概念的理解过于死板，不够灵活。一般來说，函数的因变量和自变量选取不同的变量。但在特殊情况下，作为特例，y=h(y)这样的函数也是允许的，是可以理解的。只不过注意等式左边的y是因变量，右边的y是自变量而已。细心应用，概会上不要混淆，是不会产生混乱的。新华先生一时不认可，关系不大，慢慢理解正反函数同复合函数的概念联系。

其实新华先生所讲的【经过两次求反操作】y=f[g(y)]，就是复合函数的操作y=f[g(y)]，是t=y的特例。关键是要正确理解互为反函数【经过两次求反操作】的结果，它就是恒等函数，就是正反函数的复合函数h。

关于函数要素，新华先生说【值域是函数的重要组成部分，没有值域就没有函数，】这当然是对的。在教材中说的是判断函数是否相等的二要素，并不是否定值域的重要性。我上次已说清楚。〖为什么没有把【值域】作为函数的要素，原因很简单。那是因为函数的【值域】，可以由函数的【对应法则】和【定义域】直接推出和唯一决定。〗

看來新华先生对「函数的【值域】，可以由函数的【对应法则】和【定义域】直接推出。」这点理解不深，我们來举个例子。例1，函数y=x²(x∈[0,1])。在此例中只说了【对应法则】是x²，和【定义域】是[0,1]，但是可以推出【值域】是y∈[0,1]。例2，函数y=x²(x∈[0,5 ])。在此例中只说了【对应法则】是x²，和【定义域】是[0,5]，但是可以推出【值域】是y∈[0,25]。

希望新华先生多看看，多学习教材中关于函数二要素的原理。同济大学数学系编、高等教育出版社 2014 年 7 月第 7 版的《高等数学》中的原文：〖构成函数的要素是：定义域 Df 及对应法则 f．如果两个函数的定义域相同，而且对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的．〗

返转到

zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录