《数学啄木鸟专栏》分享 http://blog.sciencenet.cn/u/wenqinghui 对错误的数学论点发表评论

博文

Zmn-0588 薛问天:无穷集合是确定的集合,其元素【不再增加】。评新华先生的《0584》

已有 471 次阅读 2021-7-5 13:56 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0588  薛问天:无穷集合是确定的集合,其元素【不再增加】。评新华先生的《0584》

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对新华先生的《0584》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

无穷集合是确定的集合,其元素【不再增加】。

评新华先生的《0584》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-s.jpg一,无穷集合是确定的集合,其元素【不再增加】。

新华先生问【薛问天先生对我的 0.999...„中省略号“⋯”的含义有疑义吗?】是的,我认为新华先生对省略号“⋯”的含义解释是不对的,在无穷小数0.999...中的三个点表示的是无穷个9。在无穷级数a1+a2+a3+... 中的三个点表示的是无穷个项。在「实无穷观者」看來,无穷个元素的集合是个确定的集合。是个元素确定(无穷个),元素【增加操作结束】,【不再增加】的无穷集合。

新华先生对无穷集合的性质应有新的了解。对于【有穷集合】,确实是如果【9的个数增加结束,存在最后一个 9,】但是对于无穷个9的【无穷集合】,由于所有的9已在其中,个数增加结束。并不存在最后一个 9。所有无穷个9的集合并不存在最后一个 9。要认识到无穷集合的有些性质不同于有穷集合。不要认为有穷集合的性质,对于无穷集合一定成立。

新华先生说【 如果假设 0.999...=1, 1是确定的定值,不再变化,则 0.999...也是定值, 增加 9 的操作已经完成, 不再增加,必然变成有限个 9,

实无穷观者是把无穷个9这个无穷集,㸔作是确定的集合,看作是这个集合中已经有所有的无穷个9了,因而【增加 9 的操作已经完成, 不再增加。】要知道集合论的外延公理已经规定,所有的集合的元素都是确定的。不能再增加,再增加就成另外的集合了。因而不能把无穷集合看作是其元素在不断增加的集合。因而说【不再增加,必然变成有限个 9,】是错误的。无穷集合的元素也必须是其元素【不再增加】的集合。

有限小数0.999...9(n个9),如果n不再增加,那么它是一个【确定的有限小数】,新华先生这点说的是对的。但是,如果n在不断增加,它只能是「动态的有限小数」,因为未达到无穷大,所以不能称其为【是一个动态的无穷小数】,因为在整个的增加过程中,它们都是有限小数,而不是无穷小数。称其为【动态的无穷小数】是不对的,是没有道理的。

在无穷级数中,是把无穷级数的和,定义为部分和序列的极限。在实数理论中,是把无穷小数0.999...,定义为有穷小数序列0.9,0.99,0.999,...的极限。在这里概念是很清楚的。一个是部分和序列,一个是无穷级数的和,两者不同。一个是有穷小数的序列,一个是无穷小数,这两者不同。在动态的序列中,在不断变化不断增加的序列中,全是有穷小数。只是它们的极限才是无穷小数。用所有的这些有穷小数<1來断定它的极限,这个无穷小数0.999...也<1,显然是毫无道理的推论,是错误的论断。有穷小数的序列,【虽然趋向 1,但 是不能达到 1。】但是无穷小数是有穷小数序列的极限,无穷小数0.999...的值等于1。极限理论中的「不可达」,指的正是序列中的有穷小数不能达到1,不是指它的极限无穷小数0.999...不能等于1。

要注意,在极限理论中的极限「不可达」,指的是这个序列不可达到极限点。并不是说这个极限点在任何情况下都不可达。

我在《0547》中已讲清楚。在范秀山举的例子中,A点永远到达不了终点。是因为我们的时空观念,不承认时间能经过无限秒。因而在有限时间内,A点永远到达不到终点。A点经过的位置和路程只能是半开区间[0,1)。

我说了,我们可以把范秀山博士的例子改一下。在数轴上,点A以另外的速度前进,从开始到1/2秒,走0.9米,从1/2到2/3秒又走了0.09米,从2/3到3/4秒又走了0.009米,......。由于n/(n+1)的极限是1,有穷小数的极限是1,无穷小数0.999...=1。 这样在经过1秒中的时间,A点就会走完1米,到达终点。这样A点经过和到达的位置和路程,就是闭区间[0,1]。到达的路程就是0.9+0.09+0.009+...=0.999...=1米。也就是说极限的不可达是指序列1/2,2/3,3/4,...,n/(n+1),...不可达到1,并不是说时间不可达到1秒。在实无穷观者看來,这无穷个时间点1/2,2/3,3/4,...,n/(n+1),...是完全可以走完的,时间可以经过这无穷个点,最后达到1秒。在尚未达到1秒时,A点经过的路程小于1米。但到达1秒时,A点到达的位置是1米。这个时间的1秒,和位置的1点,都是实际可达的,不是不可达的。

 

二,关于正反函数的复合是复合函数的特例。

新华先生一时还对「正反函数的复合是复合函数的特例」,这个观点不理解,不接受。认为不可取】,【不能混淆在一起,造成概念混乱。其实这是新华先生过虑了,反映对数学概念的理解过于死板,不够灵活。一般來说,函数的因变量和自变量选取不同的变量。但在特殊情况下,作为特例,y=h(y)这样的函数也是允许的,是可以理解的。只不过注意等式左边的y是因变量,右边的y是自变量而已。细心应用,概会上不要混淆,是不会产生混乱的。新华先生一时不认可,关系不大,慢慢理解正反函数同复合函数的概念联系。

其实新华先生所讲的【经过两次求反操作】y=f[g(y)],就是复合函数的操作y=f[g(y)],是t=y的特例。关键是要正确理解互为反函数【经过两次求反操作】的结果,它就是恒等函数,就是正反函数的复合函数h。

关于函数要素,新华先生说【值域是函数的重要组成部分,没有值域就没有函数,】这当然是对的。在教材中说的是判断函数是否相等的二要素,并不是否定值域的重要性。我上次已说清楚。〖为什么没有把【值域】作为函数的要素,原因很简单。那是因为 函数的【值域】,可以由函数的【对应法则】和【定义域】直接推出和唯一决定。〗

看來新华先生对「函数的【值域】,可以由函数的【对应法则】和【定义域】直接推出。」这点理解不深,我们來举个例子。例1,函数y=x2(x∈[0,1])。在此例中只说了【对应法则】是x2,和【定义域】是[0,1],但是可以推出【值域】是y∈[0,1]。例2,函数y=x2(x∈[0,5 ])。在此例中只说了【对应法则】是x2,和【定义域】是[0,5],但是可以推出【值域】是y∈[0,25]。

希望新华先生多看看,多学习教材中关于函数二要素的原理。同济大学数学系编、高等教育出版社 2014 年 7 月第 7 版的《高等数学》中的原文: 〖构成函数的要素是: 定义域 Df 及对应法则 f. 如果两个函数的定义域相同, 而且对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的. 〗




返转到

   zmn-000文清慧:发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录

       











https://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1294149.html

上一篇:Zmn-0587 薛问天:【令人吃惊的结论】是由【乘法定义】和【几何基数】的定义不当引起的。评李振华《0583》。
下一篇:Zmn-0589 新 华: 回复薛问天先生《Zmn-0588》

0

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (0 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2022-5-28 11:44

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部