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Zmn-0582 薛问天：对李振华先生两个基数定义的负面评价，评《0572》和《0576》。

已有 1112 次阅读 2021-6-22 22:43 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0582 薛问天：对李振华先生两个基数定义的负面评价，评《0572》和《0576》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对李振华先生的《0572》和《0576》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

对李振华先生两个基数定义的负面评价，

评《0572》和《0576》。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-s.jpg 非常感谢，李振华先生对我《0570》评论非常重视，在《0572》中说【薛先生提出的反对意见，我认为很有意义，有些东西需要进一步地澄清。】在后面的文章中提到了常规集合与非常规集合。常规集合有确定的【重数和】，是确定的实数，+∞或-∞。但是对于非常规集合，有无穷个元素是正重数，其和是+∞，同时有无穷个元素是负重数，其和是-∞。从而求不出集合的【重数和】。

因而在研究中，要说清是只研究常规集合还是两种集合都在研究之列。

要规定空集合只能对其有限个元素的0重数写成+b和-b，这样空集才是常规集，否则空集是非常规集合。

接看，本文对李振华先生所提出的两个基数，【算术基数】和【几何基数】的定义，也给出了负面的评价。指出【算术基数】同李鸿仪先生设想的【元素数目】，是完全等价的，不能作为适合于一般无限集合的一个严格定义的概念。另外也指出【几何基数】的定义，根本同集合的大小的属性毫无关系，是一个没有意义的充滿矛盾的概念。由它所推出的【自然数集都大于[0,1]】的结论是错误的结论，并不是什么【具有颠覆性】的【重磅】发现，什么【令人吃惊的结论。】而是【几何基数】这个定义同集合的【基数】毫无关系。下面來具体分析。

1，我认为研究数学，还是要有严格的数学定义。

⑴，关于广义集合李先生只规定【a:x元素a的重数是x】我建议提出正式的全面的定义。

定义。如果对集合中的每个元素a，附于一确定的实数b，称为元素a的重数，记作a:b，则将此集合称为广义集合。如果集合A的元素a的重数是b，则表示为b=A(a)。另外规定，对于不属于A的任何元素x，令其重数为0，即x:0属于广义集合A。对于原先意义下的集合A，如果x∈A，则可认为其重数为1，所以原先意义下的集合是特殊的重数皆为1的广义集合。在广义集合中，等于1的重数可以简约不记。

⑵，广义集合加法的定义。

李先生举例定义【A+B:{1,2,3,4}+{3,4,5,6}=(1,2,3,3,4,4,5,6}】

严格的加法的正式定义应是:

A+B={x:( A(x)+B(x) )丨x:A(x)属于A,x:B(x)属于B｝。

A-B={x:( A(x)-B(x) )丨x:A(x)属于A,x:B(x)属于B｝。

这里存在一个问题，如果A和B都是常规集，有可能A+B或A-B是非常规集。保证不了它们一定都是常规集。

⑶，广义集合的乘法的定义。

李先生的定义是这样的

【A*B={x+y|x属于A,y属于B}。

A*B={x+y:A(x)*B(y)|x:A(x)属于A,y:B(y)属于B}】

李先生的乘法定义中的【x+y】是大有问题的，因为集合的元素不一定是数，因而【x+y】一般是没有定义的。我们注意集合的笛卡尔乘积是二元有序对「〈x,y〉」。所以李先生定义的广义集合的乘法，只适用于元素是数（例如实数）的广义集合。对其它一般的广义集合不适用。而李先生定义的乘法是相应的重数相乘，相应的元素要相加。

⑷，李先生提出一个公理【基数对应公理：集合的运算对应基数的运算。】这不应是公理。而是根据你的【运算】和【基数】的定义，看是否滿足

‖A+B‖=‖A‖+‖B‖，和‖A*B‖=‖A‖*‖B‖。

这里用‖A‖表示A的相应基数。而且【基数的运算】还要有定义，因为无限集的基数已不是自然数。

⑸，李先生说【集合和数一样，0={}和1={0}都是单位元。】这句话不确切，应当说「自然数可以用集合表示，0={}和1={0}，...，n={0,...,n-1}...」，

因为并不是所有的集合都可以用数表示。说【集合和数一样】不妥。另外不知什么是【单位元】。

⑹，关于李先生所说的【目前我的经验:】，由于未严格陈述，也未具体证明。所以还不能立即接受。请继续努力，做到严格陈述，和给出证明。

＇

⑺，所举的实例也都基本正确。只是对除法是乘法的逆运算的定义，要注意。并不是对所有的集合A和B，A/B都存在。

李先生所说的【而整数集除以{0,1,2,3,4,....}并不是空集，而是一个非常规集合。如果读者有兴趣，可以试求这个非常规集？不存在也许更自然。】其实这个【整数集除以{0,1,2,3,4,....}】所得的集合就并不存在，也不是一个什么非常规集合。

2，关于李先生定义的两个基数。

李先生这样定义了两个基数【下面开始定义这两个基数：

|A|,|B|>0。

集合A,B，如果|A/B|=1，称A和B的几何基数相等。如果|A/B|>1，称A的几何基数大于B的，如果|A/B|<1，称A的几何基数小于B的。

集合A,B，如果|A-B|=0，称A和B的算术基数相等。如果|A-B|>0，称A的算术基数大于B的，如果|A-B|<0，称A的算术基数小于B的。】

李先生在这里用丨A丨表示A的重数和。那么就要求这个A一定存在而且是个常规集。那么就存在问题。我们前面讲到，并不是对任何的A和B，A/B都存在，也保证不了对任何的A和B，A-B是常规集合，而上述定义中要求【如果|A/B|=1，＞1，＜1】和【如果|A-B|=0，＞0，＜0】，不一定都能判断出结果。因而上述定义不能对任何集合A和B，求出其基数的比较。而且由于几何基数用到了乘法，只适用于如实数的集合而不适用于任何集合。

李先生推测说【 集合{0,1,2,3,....}减去右移x个单位的自己，基数是x。事实也确实如此。|{0,1,2,3,....}-{x,x+1,x+2,.....}|=x。】事实上这个推测是错误的。仅仅ⅹ是自然数n，或1/n时，这个论断成立。当ⅹ是无理数时，这个论段是不成立的。

′3，对李先生【算术基数】的负面评价。

我发现李振华先生提出的【算术基数】同李鸿仪先生设想的【元素数目】，是完全等价的，不能作为适合于一般无限集合的一个严格定义的概念。

关于李鸿仪先生提出的【元素数目】，我已经做了详细的论述，已经研究得很清楚了。只有在两种情况下有定义，在第三种情况下有推论。即第一种情况，对有穷集合有定义，有穷集合用自然数定义它的【元素数目】。这个与集合论的【基数】相同。第二种情况，如果集合A是集合B的真子集，则定义B的【元数数目】大于A。第三种情况，如果A是有限集，B是无限集，则可由上面两个定义推出，B的【元数数目】大于A。这是因为任何有限集都可同无限集的某有限真子集【元数数目】相等。第三种情况还可进一步推出，如果A中与B不同部分是有限集，B中与A不同的部分是无限集，则B的【元数数目】大于A。

这些内容我们己研究得非常清楚，【元素数目】只在此三种情况下有定义。但是这三种情况，对于整个集合來说，少得可怜。它不足以作为对整个集合有意义，有定义的概念。我们己经断定，第一，对于有限集，可以用自然数表示【元素数目】。但是对于无限集，它没有任何数系用來表示【元素数目】，不知无限集的【元素数目】是什么。第二，对于两个有限集，可以用自然数的大小來比较【元素数目】的大小。一个有限集一个无无限集，可以据推论推导出无限集的【元素数目】大于有限集。但是如果是两个无限集，只有在一个是另一个的真子集时，或者两个集合的不同部分中，至少有一个是有限集时，才可比较【元素数目】的大小。而对任何两个一般的无限集，即两个集合的不同部分都是无限集时，根本无法比较它们的【元素数目】的多少。因而李鸿仪先生在这三种情况以外所作的有关【元素数目】的论述和推论则全部都是没有定义，没有意义的，荒唐的和错误的。

可以证明李振华先生提出的【算术基数】的定义同【元素数目】完全等价。只有在这三种情况下有定义，而对于一般三种以外的情况，没有定义。亦即两个集合A和B的不同部分都是无限集时，A-B是一个非常规集合，无法判定【重数和】相等还是有大小，从而无法比较它们的【算术基数】。这三种情况，对于整个集合來说，少得可怜。它不足以作为对整个集合有意义，有定义的概念。

4，对李先生提出的【几何基数】的负面评价。

有几点评价。

⑴，前面已经说过，由于几何基数用到了乘法，而乘法用到了集合中元素的相加，只适用于元素可加的数的集合，例如实数的集合，而不适用于任何一般的，其它类型集合。

⑵，前面也已说过并不是对任何集合A/B都一定存在和保证它是常规集。如果A/B不存在或是一个非常规集，则无法判断它的【重数和】从而无法比较它们的【几何基数】的大小。因而【几何基数】并不是适合所有集合的概念。要知道集合论中的基数，是每个集合都有确定的基数，而且任何两个集合，都可以进行它们基数的大小的比较。

⑶，违反常理的【几何基数】。

在例子中有{1,2,3,...}/{0,1,2,3,...}={1}。{1}的重数和是1。说明集合同它的真子集几何基数相等。而在例子中又有{1,2,3,...}/{2,4,6,...}={0,-1}，{0,-1}的重数和等于2 ，说明集合大于它的真子集的几何基数。那么集合同它的真子集的几何基数究竟是什么关系？

李振华先生说【我们来比较[0,1]和{0,1,2,3,4,....}的几何基数。】。

李先生写到【[0,1]/{0,1,2,3,....}=[0,1]*{0,1:-1}=[0,1)-(1,2]。[0,1)对称于(1,2]，根据对称性，直觉上[0,1)-(1,2]的基数应该是0。但这不严密，最好的办法是找个无限集合A，证明

|([0,1)-(1,2])*A|的基数为0，从而[0,1)-(1,2]的基数必定为0。A是存在的。】

李先生由[0,1]/{0,1,2,3,....}的重数和为0小于1，从而证明了[0,1]比{0,1,2,3,....}的【几何基数】要小，这个结论显然违反了基数的常规。

实际上比此更严重。既然有[0,1]*{0,1:-1}=[0,1]-[1,2]。

{0,1,2,3,4,....}*([0,1]-[1,2])=[0,1]-[1,2]+[1,2]-[2,3]+[2,3]-[3,4]+......=[0,1]。

([0,1]-[1,2])重数和等于0，证明了[0,1]比{0,1,2,3,....}的【几何基数】要小。

那么在实际上就能证明，对任何实数集合A，因为

{0,1,2,3,4,....}*(A*{0,1:-1｝)=A，所以任何实数集合A的几何基数都小于自然数集合。这就说明了李先生所定义的【几何基数】根本同集合的大小的属性毫无关系，是一个没有意义的概念，它只适合于实数的集合，而且可证任何实数集合的几何基数都小于自然数集合。这本身就是一个矛盾，那些同自然数集合几何基数相等的集合，也是实数集合，怎么又可证明几何基数小于自然数集合。所以说明，这里证明的实数基数小于自然数，并不是什么【具有颠覆性】的【重磅】发现，什么【令人吃惊的结论。】而是【几何基数】这个定义同集合的【基数】毫无关系。

⑷，另外李先生定义的【几何基数】，并未定义【集合长度】，和无限集合的【远远强于】等概念，所以李先生所得出的结论【那么自然数集合的长度必定是无限大】和【无界的离散无限远远强于有界的连续无限，】也是毫无道理和根据的。

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