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Zmn-0607黄汝广：有关蕴涵关系与反证法的探讨
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Zmn-0607黄汝广：有关蕴涵关系与反证法的探讨
【编者按。下面是黄汝广先生的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
有关蕴涵关系与反证法的探讨
黄汝广
（深圳南天电力有限公司，广东 深圳 518040）
摘 要
蕴涵关系只能是基于概念间的内涵联系，而不是一个纯粹的形式逻辑问题。文章从三个角度——证伪主义、命题变元方程及集合论——来论述蕴涵关系，并最终把蕴涵关系归结为一个省略了正确大前提的三段论推理。值得注意的是，基于集合的外延所给出的蕴涵定义与公理化概率论中事件的蕴涵定义是完全一致的。根据塔尔斯基的空类定义，从内涵上看，空类实际上并不是一个集合而是所谓的真类。最后，探讨了实质蕴涵怪论的原因，以及实质蕴涵对于数学反证法的严重侵蚀，并具体分析了一个无效论证的反证法实例。
关键词
蕴涵关系；证伪主义；命题变元方程；集合论；可能性世界；反证法；隐性假设
0. 引言
蕴涵式P→Q等值于~P∨Q，是现今最流行的一种定义，这种实质蕴涵一般被归于弗雷格的贡献，但更早据说可以追溯至古希腊的斯多葛学派。很显然，实质蕴涵定义满足蕴涵关系的最起码要求，也即不对称性，并且一般认为在简单性方面胜过其它蕴涵定义。然而，也正是因为其简单性，才导致了一些所谓的实质蕴涵怪论，比如P→（Q→P），~P→（P→Q）等。
对此，逻辑界有截然相反的态度：一是认为违反了人们的直觉和常识，难以接受，需要改造；二是承认有问题，却认为没有改造的必要。在后者中，塔尔斯基甚至认为，有关的批评没有什么充分根据，并声称：“正是在这个简单的实质蕴涵上面的逻辑学，已被证明是最复杂精细的数学推理的满意基础。”[1]
笔者认为，蕴涵关系本质上一种是基于命题内涵的关系，而不是一个纯粹的形式逻辑学问题，更不是一张真值表就能全部解决的。下面，我们将从三个角度对蕴涵关系进行论述，然后探讨导致实质蕴涵怪论的原因，以及实质蕴涵对于数学反证法的侵蚀，并针对一个反证法实例进行具体分析。
1. 从证伪主义角度的看蕴涵关系
我们知道，现代逻辑中蕴涵关系“P→Q”的真值，仅仅是根据命题P与Q的真值进行的一个约定，而命题P与Q的真值，却是根据其描述是否与事实相符来确定的。很显然，这两种真值在本质上是完全不同的，但却都被赋予了相同的“1”与“0”，这种不当的混淆，虽然简化了问题，却是所谓蕴涵怪论的根源之一。
笔者认为，蕴涵关系“P→Q”，应该被定义为省略了具体推导过程的有效推理或证明，其真正的作用在于实现命题P与Q之间真值的传递：如果命题P真，则命题Q必然真。按照此定义，蕴涵关系“P→Q”的有效推理仅有一种形式，即肯定前件式“P→Q，P，故Q”；只有在承认矛盾律与排中律的前提条件下，否定后件式“P→Q，~Q，故~P”才是有效推理，这其实就是反证法。
当然，以矛盾律与排中律为前提，蕴涵关系“P→Q”与其逆否形式“~Q→~P”也是等价的，它们各自在命题P与Q之间，所能实现的真值传递如下表1（其中“i”表示不确定，即真值可能为1，也可能为0）。由此表可见，蕴涵关系只能实现命题之间的同值传递（正向具有保真性，逆否具有保假性），并且“如果”两字表明了前件真是一个假设，只是一种可能性，与事实上的真假无关，可能性与现实性是不可以混淆的。
表1. 蕴涵关系所能实现的真值传递
P→Q | ~Q→~P | ||
P | Q | ~Q | ~P |
0 | i | 1 | i |
1 | 1 | 0 | 0 |
实际上，古德曼所谓的“反事实条件句难题”，根源就在于没有区分现实世界与可能世界：所谓“反事实”，只不过是一种不同于现实世界的选择可能性，而在这个可能世界里，“反事实”恰恰是“事实”。当然，蕴涵关系是可以用于现实世界进行有效推理的，但必须保证前件现实上也是真的，否则就会犯否定前件谬误。
与传统定义相比，新定义的蕴涵关系“P→Q”之成立，完全取决于那被省略了的具体证明过程，而不是取决于命题P与Q的真值。如果证明并非被省略，而是根本不存在或者还没被发现，那么“P→Q”本身就只能看作是一个假设：也即猜想P与Q可能存在某种必然的逻辑关系，这在科学研究上也是很常用的方法。
当然，仅从命题P与Q的真值出发，也可对一个假设的蕴涵关系P→Q进行研究，但是它只能被证伪，而不能被证实。这是完全符合波普尔证伪主义的，具体见表2，其中“0”表示被证伪，“i”表示不确定，即假设的蕴涵关系可能成立，也可能不成立。当然，从科学实验的角度来看，表2更好理解：每一个科学实验的条件及结果都是用命题来表述的，而这些命题的真值不过是表达实验条件是否得到满足（1表示满足，0表示不满足），实验结果是否符合预期（1表示符合预期，0表示不符合预期）。不过应当注意，所谓证伪有时也只是相对的，这是因为证明或者实验处理，往往要用到一些隐性假设，或者一些现象还没有被发现。比如光的粒子说，曾因为双缝干涉等实验认为被证伪了，但是后来的光电效应等实验却又支持光粒子说的合理性。
表2. 根据命题真值，假设的蕴涵关系只能被证伪
P | Q | P→Q | ~Q→~P |
0 | 0 | i | i |
0 | 1 | i | i |
1 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | i | i |
本质上，蕴涵式P→Q只不过是对各学科定理或假设的一个形式抽象，但一个具体蕴涵关系（比如一个数学定理）的确定，是基于概念之间的内涵关系，单纯的逻辑学无能为力。因此，在形式逻辑学的推理模式中，P→Q只应当作为前提，而不能作为结论。认识到这一点，就容易明白：诸如“~P→(P→Q)”之类，其实是毫无意义的，有关的怪论自然也就被排除了。
2. 从命题变元方程的角度看蕴涵关系
从历史上讲，在弗雷格重提“实质蕴涵”定义之前，麦柯尔就已经提出过一种“强蕴涵”定义，即“P∧Q=P”：一般将其解释为，Q的含义是包含在P的含义之中的。由于在布尔代数中，“P∧Q=P”，“P∨Q=Q”，“~P∨Q=1”与“P∧~Q=0”这四个等式是等价的，因此莫绍揆先生给出如下定义：两命题P与Q，如果满足上述四个等式之一，便说P蕴涵Q，记作P→Q。[2]
我们注意到，由于“P∧Q=P”与“~P∨Q=1”等价，如果麦柯尔蕴涵直接用“~P∨Q=1”定义，并且为方便而简记为“~P∨Q”，则麦柯尔蕴涵就退化为实质蕴涵了。但是从纯真值角度来看，麦柯尔蕴涵与实质蕴涵的真值表完全相同，似乎还不能称之为“强蕴涵”，这里的关键其实就在于等式。
由于麦柯尔蕴涵是一个等式，它能更好地体现蕴涵的“相关”之义：“~P∨Q=1”其实就是一个二元布尔代数方程，其中P与Q表示命题变元，它们间的相互关系正是通过上述方程来体现的。此外，把P与Q看作命题变元，也更能体现逻辑学注重形式而非内容的特点。
同时，等式还有另一个好处，即莫绍揆先生所说：“在布尔代数中，等式是不能相互嵌套的，即（P=Q）=R，P=（Q=R）这类式子是不讨论的。因为蕴涵式实际上是一个等式，故蕴涵式也是不能互相嵌套的。”所以，“P→（Q→P）”之类是不合法的，真命题为任一命题所蕴涵的怪论就可以消除了；这种连锁形式所导致的怪论，其根源正在于实质蕴涵的“简单性”。然而蕴涵式不可以互相嵌套的法则，并不能排除一切怪论。
事实上，麦柯尔的“强蕴涵”定义还不够强，他应该把等式改为恒等式，也即定义蕴涵为“~P∨Q≡1”（或“P∧Q≡P”，或“P∨Q≡Q”，或“P∧~Q≡0”）。如此一来，麦柯尔蕴涵与实质蕴涵的区别就显而易见了：比如当表2中取第一种赋值时，~P∨Q=1显然成立，P与Q的实质蕴涵关系成立；但是，只有这一种赋值，并不能保证~P∨Q≡1一定成立，因此P与Q的麦柯尔蕴涵关系也就不一定成立。
简而言之，表2中的第三种赋值可以否定恒等式“~P∨Q≡1”，而另外三种赋值的任何一种，都无法保证恒等式“~P∨Q≡1”成立；这与前面一节中，蕴涵关系只可证伪不可证实的观点也是一致的。因此，恒等式是无法由真值表得出的，其成立与否取决于命题P与Q所关系的具体学科，纯逻辑学无能为力；只有当Q=P时，由排中律“~P∨P≡1”或矛盾律“P∧~P≡0”可得“P→P”，这是唯一一个由纯逻辑定律决定的蕴涵式，但也只是一个同义反复而已。
很显然，蕴涵的恒等式定义既可以避免与实质蕴涵的混淆，又可以保留蕴涵式不能嵌套的法则，可谓一举两得。而且按照定义可知，“P→Q”与“~Q→~P”都对应恒等式“~P∨Q≡1”，因而它们是等价的。这样一来，假言推理的两个有效式“P→Q，P，故Q”与“P→Q，~Q，故~P”，实际上就是求解方程的过程：前者对应“把P=1代入方程~P∨Q≡1，解得Q=1”，后者对应“把Q=0代入方程~P∨Q≡1，解得P=0”。当然，如果把P=0或Q=1代入方程~P∨Q≡1，则解不唯一确定，对应的正是假言推理的无效形式——否定前件谬误与肯定后件谬误。
这里需要注意，在方程“~P∨Q≡1”中，P是命题变元，这意味着它既可以真也可以假，或者换句话说，如果没有具体的体系背景，它是无所谓真假的。严格地讲，“三角形内角和等于180度”并不是一个命题，而只是一个命题变元（更严格的说法应该是命题函项），因此也是无所谓真假的：在欧氏几何中，它是一个真命题，但在非欧几何中，却是一个假命题。同理，我们之所以把“贝克汉姆是英国人”看作一个真命题，是因为我们潜意识里已经进行了一个众所周知的赋值；但实际上，我们也可以想象一个美国的同名人，甚至于另一个平行宇宙的同名人。
这里我们还可以举一个更极端的例子，一个视觉正常的人用红色画笔画一朵花，然后说：“我画的是一朵红花。”对于他自己来说这当然是真的，然而对于一个红绿色盲的人来说，可能就完全是另外一回事了。
此外，一般所谓“否定前件谬误”是专指“若P则Q，非P，所以非Q”，而“肯定后件谬误”是专指“若P则Q，Q，所以P”。不过，“否定前件谬误”与“肯定后件谬误”还有另外的形式，即“若P则Q，非P，所以Q”与“若P则Q，Q，所以非P”；它们之所以不被提及，大概是人们认为谬误得太离谱。可是事实上，这种形式的谬误也是很常见的。比如，有人批评张五常《佃农理论》的假设前提与台湾实际情况不相符，张五常则辩解说：理论前提错，结论并不一定错。
我们不妨把张五常的论文简缩为一个假言推理“若P则Q，P，所以Q”，而现在有人指出P不可能成立，非P才是真的。在非P为事实的前提下，企图以上述辩解来坚持原有的结论Q，本质上就是一个“若P则Q，非P，所以Q”式的否定前件谬误；或者说，Q无法得到理论“若P则Q”的有效解释。
这对于高举证伪主义大旗并大力提倡“经济解释”的张五常而言，无疑是个讽刺。实际上，要证伪一个理论“若P则Q”，你必须先实现P，然后再看能否得到结果Q，现在P既然无法实现，你又如何证伪？当然，张五常会说，理论假设总有不可观察的部分，这部分根本就无从判断是否得到实现。如果一个理论的假设有不可观察部分，也必须认为是得到实现的，否则，就会导致谬误“若P则Q，非P，所以Q”；如果假设的可观察部分完全得到实现，而且推理不存在问题，但结论却与事实不符，那么通常就认为不可观察部分不成立。
4. 从集合论的角度看蕴涵关系
莱布尼兹认为：所有命题都是或都可以还原为主词-谓词形式（或许这就是谓词逻辑的源头？），而真命题就是一个主词概念包含谓词概念的命题。[3]尽管莱布尼兹这个论断或许值得商榷，但它确实有诱惑力，因为如此一来，我们原则上只需探讨主谓形式的命题就可以了。
主谓形式命题“x是P”可用P(x)表示，那么蕴涵式P(x)→Q(x)的含义即：如果x是P，则x是Q；为了方便，可简记为P→Q。现在我们定义集合P=｛x∣x∈U且P(x)｝，Q=｛x∣x∈U且Q(x)｝，那么，蕴涵关系“P→Q”可基于集合的外延而定义为“P⊂Q”，并且容易验证，“P∧Q=P”，“P∨Q=Q”，“~P∨Q=U”，以及“P∧~Q=Ø”，均与之等价。（其中，集合P与Q的定义之所以强调x∈U，是因为只有明确了个体的论域也即全集U，补集~P与~Q才是有意义的）。
同时，“P⊂Q”还表示命题“所有P是Q”，如此一来，蕴涵式“P→Q”就可还原为一个有效三段论：P⊂Q，如果x∈P，则x∈Q；其中大前提P⊂Q，正是蕴涵式P→Q的本质所在。反之，那些不能还原为有效三段论的“若P则Q”都不是蕴涵式。由于有效三段论只能有三个概念，而“P(x)→Q(y)”还原为三段论必然犯四概念错误，因此不可能是蕴涵式。当然，像“如果猪会上树，那么太阳从西边升起”这类表述，在日常生活中也很常见，但这只是一种用来强调不可能性的修辞手法，并非蕴涵式。
不过，“P→Q”还原为三段论的大前提“P⊂Q”，通常是默认并省略的：比如“如果贝克汉姆是英国首相，那么贝克汉姆是英国人”，其大前提即现实世界中英国的有关法律规定——英国首相必须是英国人，但被省略了。假设在另外一个平行宇宙中，英国的有关法律没有这样的规定，非英国人也可以当选英国首相，则“如果贝克汉姆是英国首相，那么贝克汉姆是英国人”也就不再是蕴涵式了。所以，蕴涵关系的关键在于被省略的大前提，而不是前后件的真假值。
但是，如果大前提只是一个假设，也即基于一个可能世界而非现实世界，则不可省略。比如“如果所有的凤凰是美丽的，那么有的凤凰是美丽的”，大前提“所有的凤凰是美丽的”正是基于一个可能世界而言的，小前提“有的凤凰是凤凰”则被省略了。然而，有人认为这并不是一个蕴涵式，因为“所有的凤凰是美丽的”是真命题，而“有的凤凰是美丽的”是假命题。
这种错误认识的根源，在于把可能世界与现实世界混淆了：“有的凤凰是美丽的”之所以被认为假命题，是基于现实世界中不存在凤凰，而不是基于一个存在凤凰的可能世界；这样，大前提与小前提就不是针对的同一个世界了，而在不同的世界中，同一个句子所表述的命题的真假可能完全相反，广义上讲这也是一种隐形的四概念错误。换句话说，一个句子本身是无所谓真假的，其真假只能是基于一个具体模型或世界；至于在公理体系中证明一个命题为真，实际上是预先假设了一个所有公理为真的模型或世界。
当然，有人辩解说，“所有的凤凰是美丽的”为真也同样是基于现实世界，而非可能世界，不存在什么隐形的四概念错误。但是，一个有关美丽属性的命题，却用存在性来判断真假，这种偷换概念仍然会导致四概念问题。另外，如果这种辩解成立，它还意味着：在现实世界中，“有的凤凰”表示存在凤凰，而“所有的凤凰”却不表示存在凤凰；否则的话，“所有的凤凰是美丽的”也应是假命题。然而一个不争的事实是，“有的凤凰”只不过是“所有的凤凰”的一个子集，如果“有的”表示存在，“所有的”却不表示存在，岂不成了空集的子集反倒是非空集？
关于所谓的空集，笔者认为它实际上是一个真类，而不是集合。根据塔尔斯基的定义[4]：空类Ø=｛x∣x≠x｝,其内涵即“不存在任何违反同一律的对象”；而全类U*=｛x∣x=x｝，其内涵即“所有的对象均满足同一律”。由于“不存在任何违反同一律的对象”与“所有对象均满足同一律”是等价命题，空类与全类在内涵意义上当然也是等价的；又由于全类是真类，那么与之内涵等价的空类也理应是真类（特别地，假如“所有的”不表存在，则有可能U*=Ø）。因此，集合只能是非空类，空类不可能是任何集合的子集，也不应该参与集合的有关运算（但可以是集合运算的结果）。事实上，亚里士多德的传统逻辑也只讨论非空类，他实在是有先见之明。
从外延上看，空类即没有任何元素的类，似乎没有歧义，但从内涵上讲，却是有歧义的：由于任何一个具体矛盾都定义了一个空类，而不同矛盾的内涵是不同的（因为涉及的属性不同），那么，无穷多的矛盾就定义了无穷多内涵上不同的空类。然而，现代集合论却基于外延认为空类只有一个，这就把不同内涵的空类混而为一了，容易导致无意识中偷换概念的问题（比如一个有关美丽属性的命题，却用存在性来判断其真假）。
在现代数理逻辑学中，“Ø╞A”被解读为：A为真是无条件的，所以A是重言式；很显然，这里是从外延上，把Ø解读为了不需要任何条件。但从内涵上讲，Ø意味着矛盾，“Ø╞A”应解读为：A为真所需要的条件不可能满足，所以A是矛盾式。换句话说，矛盾最终必然推出矛盾。
然而现代逻辑学却认为，矛盾可以推出一切。我们知道，欧氏几何与罗氏几何的平行公设是矛盾的，假设把罗氏平行公设也加入欧氏几何形成所谓的欧-罗几何，很显然这是一个矛盾的体系：根据该矛盾体系的欧氏几何部分，可以推出欧氏几何定理“三角形内角和等于两直角”；而由其罗氏几何部分，也可以推出罗氏几何定理“三角形内角和小于两直角”，这两个定理当然是矛盾的。但是，由此矛盾体系，我们绝不可能推出黎氏几何定理“三角形内角和大于两直角”，因为这个体系中根本就不存在可以推出该定理的前提条件。
因此，结论只能是：一个具体的矛盾必然可以推出矛盾，但绝不可能推出一切。认为矛盾可以推出一切的人，其所谓的矛盾是一个包含了一切矛盾的所谓“超级矛盾”，而不可能是某一个具体的矛盾；但是，由于各种内涵不同的矛盾都被笼统地称为矛盾，而没有进行细致的区分，结果不知不觉中偷换了概念。
当然，有些书上也把“P→Q”记作“P⊃Q”，这应该从内涵上来理解，即P命题的内涵包含了Q命题的内涵。实际上，莱布尼兹早就意识到了命题从内涵与外延角度进行解释时的不同，并且基于一切命题都可还原为主谓形式的观点，更赞同内涵解释。不过，从概念的内涵与外延之间的一般逻辑关系看，这种不同其实也很自然：从内涵上讲，一个命题P蕴涵命题Q，表明命题P所涉及的概念的内涵更加丰富，那么从外延上讲，命题P所适用的范围当然也就更小。但是，这个关系不适用于空类。
不过，基于外延关系将“P→Q”定义为“P⊂Q”，确实更具有直观性，方便我们解决一些实质蕴涵怪论。按照该定义：P→(Q→P)与~P→(P→Q)，即P⊂(Q⊂P)与~P⊂(P⊂Q)，这完全是没有任何意义的；(p→q)∨(q→p)，即(p⊂q)∨(q⊂p)，也很容易找到反例；Q→(P∨~P)，即Q⊂U，似乎不存在问题，但是如果P与Q论域完全不同，Q与U可能根本就没有什么关系；(P∧~P)→Q，即Ø⊂Q，当然也同样存在P与Q论域完全不同的问题，而且按照我们前面的讨论，由于Ø是真类，它不可能是任何集合的子集。
最后，把“P→Q”定义为“P⊂Q”，与公理化概率论的如下定义也是完全一致的[5]：“在同一试验下的两个事件A和B，如果当A发生时B必发生，则称A蕴含B，或者说B包含A，记为A⊂B。”一个事件A发生，换种说法，其实也即描述事件A的命题A为真。
5. 实质蕴涵怪论及说谎者悖论的根源之分析
实际上，我们通常所谓的蕴涵关系都有“推出”的含义，而实质蕴涵所定义的“→”只不过是一个连接词，根本没有“推出”这一含义，很多逻辑学教材也都强调了这一点。但奇怪的是，作者们似乎很快又忘记了这一点，竟理所当然地把实质蕴涵的所谓重言式都视为有效推理模式，这一做法其实是把“推出”含义强加给了单纯的连接词“→”，从而把“实质蕴涵”偷换概念为“有效推理”了。
我们知道，塔尔斯基曾说：“正是在这个简单的实质蕴涵上面的逻辑学，已被证明是最复杂精细的数学推理的满意基础。”塔尔斯基这个信誓旦旦的声明，恰恰不打自招地承认了我们的上述分析。
其实，我们只要看看最早公理化的欧几里得几何就明白：推理都是基于公理及概念间的内涵关系，而与纯粹基于真假值的实质蕴涵没有任何关系；一个最基本的事实就是，如果“若P则Q”为真，那么它就是一个定理，就必须要有一个证明，但是，证明只能靠推理得到，而不是靠摆弄P与Q的真值得到。
命题当然都有真值，但真值并不是命题的全部，命题还有内涵，而且某种程度上来说，正是命题的内涵决定了其真值。既然命题具有真值这一属性，我们自然可以通过真值表来对命题进行一些研究，但是，如果企图通过真值表来解决命题逻辑的一切问题，那就完全不切实际了。其实莫绍揆先生早已经指出：“P蕴涵Q”不是真值函数，不能只靠P与Q的真假而决定其真假，事实上，它指出P与Q之间是有一定的意义关系的。
我们知道，如果命题P与Q构成有效推理“P→Q”，那么复合命题“~P∨Q”为真；但是复合命题“~P∨Q”为真，“P→Q”却未必能构成有效推理（比如P=“所有人都是要死的，并且猫不是人”，Q=“猫是要死的”）。因此，复合命题“~P∨Q”为真，只是命题P与Q构成有效推理“P→Q”的一个必要条件，但不是充分条件；正因为“~P∨Q”为真只是必要条件，才注定了，具有“推出”含义的蕴涵关系从真值的角度只能被证伪而不能被证实。
然而，实质蕴涵的定义却是：若“~P∨Q”真，则“P→Q”真；若“~P∨Q”假，则“P→Q”假。这个定义表明，“~P∨Q”为真是“P→Q”为真的充要条件。但是，当实质蕴涵的重言式都被视为有效推理时，上述定义中的“实质蕴涵”其实就被偷换概念为“有效推理”了。在偷换概念后，定义的后半部分仍是成立的，也即“~P∨Q”为真是有效推理“P→Q”的必要条件（这也是实质蕴涵运用于日常推理，有时候看着很合理的原因所在）；但是定义的前半部分，也即“~P∨Q”为真是有效推理“P→Q”的充分条件，事实上根本不成立，这正是诸多实质蕴涵怪论的根源所在。
关于实质蕴涵怪论，各种论著可谓汗牛充栋，但似乎都不把“P→P∨Q”或者“P∧Q→P”看作怪论，而是理所当然的有效推理。不过，在笔者看来，这两者其实也都是实质蕴涵“唯真值论”所导致的怪论；并且它们只适用于“可兼或”的真值约定，假如我们约定“∨”是“异或”，那么“P→P∨Q”的无效性就显而易见了。按照我们前面的定义，“P→P∨Q”即“P⊂P∨Q”，问题就在于P与Q可能分别属于两个完全不相干的论域，要彻底消除这个怪论，似乎只有回归到莱布尼兹所提倡的命题的内涵解释。
另一方面，对于“P→P∨Q”而言，无论Q的真值还是内涵其实都是无关紧要的，完全是画蛇添足。试想，如果欧几里得在《几何原本》的每一个定理中，都加上一句“或者欧几里得是伟大的几何学家”，那该有多讨厌。在“P∧Q→P”中，Q也同样多余，既然P可以直接推出P，那就没有必要再引入其它条件，如果Q与P毫无关系那就更加没有必要了。依据著名的奥卡姆剃刀原则，这些“蛇足”都是应该被剔除的。
实际上，即便“P→P”都已经是画蛇添足了，因为这种同义反复的废话，对于实际的推理没有任何用处。一个著名的例子，即塔尔斯基的所谓“真”之定义——语句“雪是白的”为真，当且仅当雪是白的。并且塔尔斯基特别说明：“雪是白的”出现在等值式的两边，右边不带引号的是语句本身，左边带引号的则是语句得名称。
这个定义完全就是一句废话，没有一点的可操作性：试想，一个不知道雪是何物的人，如何根据这个定义来判定“雪是白的”到底是真还是假呢？要判断“雪是白的”之真假，必须要把它与具体的世界或模型对应起来，而不是单纯地把玩语句本身！一切不具有可操作性的概念或定义，都应该被剔除。事实上，即使一个可操作的概念或定义，往往也只适用于一定的范围，一旦超出适用范围，谬误就随之而来。
和实质蕴涵怪论一样，几乎一切所谓的悖论，都要么无意中偷换了概念，要么概念或方法的使用超出了适用范围，甚至于直接违反了基本定律而不自知。更具体地讲，这些错误通常表现为一个或几个隐性假设；由于这些隐性假设在事实上根本不成立，以它们为前提所推论出的“矛盾”当然也就不可靠，因此，所谓的悖论只不过是佯谬而已。
文兰先生在《悖论的消解》中认为：“悖论是反证法的未被察觉的掐头去尾。一个悖论，一旦被发现隐蔽的假设，并由此补上开头句和结尾句写成反证法，可以说就被彻底解决了。”[6]这可能有点过于乐观，因为问题的彻底解决并不在于隐性假设的发现，而在于这个隐性假设是否是导致矛盾的真正原因，更况且有时候隐性假设还不止一个。
比如“说谎者悖论”，其推理就至少需要以下两个假设作为前提：1）“本语句为假”是一个命题，否则也就无所谓真假；2）“本语句”指代“本语句为假”这种否定式的自指涉是合法的，否则推理无法进行下去。不过，在承认假设2）的前提下，文先生认为“本语句为假”并不是单纯的一句话，其中“本语句”这个代词是一个句变元X，而“本语句为假”实际上是一个句方程“X:=XF”（其中“:=”表示“意指”，“F”表示“为假”，即“X意指X为假”，所对应的布尔方程即“X= ~X”）。有了这个说谎者方程，再补上“假设方程有解”作开头，则说谎者悖论还原为一个反证法，其结尾为：说谎者方程没有句解。
然而，问题真的就此得到彻底解决吗？实际上，我们还不妨进一步问：为什么说谎者方程没有句解？仔细追究下去，矛盾的根源其实在于推理中使用了否定式的自指涉方法，从而导致说谎者悖论对应布尔方程“X= ~X”，这与同一律“X= X”明显相矛盾；换言之，否定式的自指涉方法已经违反了逻辑学的基本定律，因而是不合法的。我们不能因为肯定式的自指涉不构成矛盾，就理所当然地认为否定式的自指涉也不构成矛盾。
实际上，说谎者悖论的真正关键点在于，“本语句”这个代词实质上只是一个变元X，所以，“本语句为假”的实质也不过就是一个命题函项“X为假”而已，而且这里的变元X必须用具有真值的命题来赋值。由于命题函项“X为假”自身并不是一个命题，当然也就不能用来为X赋值；或者换言之，说谎者悖论的自指涉赋值是不合法的。从这个意义上讲，肯定式的自指涉“本语句为真”虽然不构成矛盾，但仍然是不合法的。
退一步讲，即使可以用“X为假”来为X赋值，但无论迭代多少次，变元X都不可能被削去，所得的结果仍然还是一个命题函项，无所谓真假。不过，迭代所得的命题函项却可能发生了质的变化，比如迭代一次可得“‘X为假’为假”，由于双重否定为肯定，这实际上就变为了一个完全不同的命题函项“X为真”，这正是否定式自指涉方法构造“矛盾”的秘密所在。这种退一步的解释，其实就是张铁声先生的“多义句”解悖方案。[7]
6. 实质蕴涵怪论对于反证法的侵蚀
尽管塔尔斯基信誓旦旦地声称：“正是在这个简单的实质蕴涵上面的逻辑学，已被证明是最复杂精细的数学推理的满意基础。”然而，事实却恰恰相反：正是这个简单的建基于实质蕴涵之上的逻辑学，在侵蚀着最复杂精细的数学推理的基础，把反证法带入了极大的误区，以至于“~P→P，所以P”被公认为反证法的有效模式。
在《逻辑代数初步》一书，莫绍揆先生站在初学者的角度，提出一个古人其实早已有过的想法：如果由非P推出P，这不是既有P又有非P，作推导的人自己陷于了矛盾吗？在亚里士多德看来确实如此。但莫先生认为，这种想法是不对的，并且给出了一个由非P推出P的例子——
已知定理（甲）：若质数h能整除a·b，且不能整除a，则h必整除b。
而想证明定理（乙）：若质数h能整除a2时，则h必整除a。
证明：“当把a2写成a·a，与（甲）相比较，可知：如h不能整除a，则h必整除a，这便由~P而推出P，故P=t而定理得证。”
原书这里写的有点过于简略，但还不至于让人误解。不过，非常遗憾的是，这个证明完全是无效的。实际上，定理（甲）的成立需要一个限制条件，也即a≠b，但被不当省略了。不妨假设当a=b时，定理（甲）仍成立，把b用a替换，可得：若质数h能整除a·a，且不能整除a，则h必整除a。很显然，当a=b时，定理（甲）自身已经构成矛盾，因而是不可能成立的！
所以，定理（甲）的完整表述应为：若a≠b，且质数h能整除a·b，但不能整除a，则h必整除b。而莫先生给出的上述证明，在运用定理（甲）时，已经违反了前提条件a≠b，属于典型的“若P则Q，非P，所以Q”式否定前件谬误；所谓由非P推出P，完全是因为没有搞清楚定理的适用范围，从而误用定理所造成的结果。
莫绍揆先生书中采用了麦柯尔的蕴涵定义，认为它是比较符合直观的，但是仍然还有两个实质蕴涵怪论不能被排除。因为“P∧f=f（或P∨f=P），依其定义应有f→P。通常又把f读作假，这便意味着：假命题蕴涵任何命题P。”同时，“P∧t=P（或P∨t=t），依其定义应有P→t。通常又把t读作真，这便意味着：任何命题P均蕴涵真命题。”
对此，莫先生解释说：这里的“f”并不是简单的假，而是指P∧~P，这是“自相矛盾”，是“永假”，比简单的假要强得多；同理，“t”也并不是简单的真，而是指P∨~P，是“永真”，比简单的真也强得多。但即便如此，由于永假的命题蕴涵任何命题，而任何命题蕴涵永真命题，以至于“永假”蕴涵“永真”，似乎更不可思议。如果不能接受这怪论，那么只能否认P∧~P=Q∧~Q与P∨~P=Q∨~Q这两个式子，从而也否认f与t这两个常命题，这样一来，就需要把布尔代数（命题代数）修改，建立一种没有常命题f与t的新命题代数。
然而，如此一来，反证法模式“~P→P，所以P”，其实也就不是简单地证明P真，而是证明P永真，比简单的P真强太多了。而按照我们前面的论述，“自相矛盾”定义的是空类，它是所谓的真类，并不是一个集合。此外，前提为永假的蕴涵关系，不能真正为任何东西提供理论辩护或解释，否则就犯了“P→Q，~P，所以Q”式的否定前件谬误。
“~P→P，所以P”的一个变形模式是“~P→Q，~P→~Q，所以P”，这种模式或许有一个好处，即更容易引起人们思考：既然相同的前提推出了不同的结论，那么两个推理在方法上肯定会有所不同，为什么不可能是其中一种方法甚至两种方法都出了问题呢？如果方法完全没有问题，则很可能是~P=M∧~M，而“~P→Q，~P→~Q”实际上应该是“M→Q，~M→~Q”，也即两个推理的前提其实并不同。不过，明面上直接假设一个复合矛盾式的很少见，通常都是利用否定式自指涉方法来构造隐性的复合矛盾式，这正是黄展骥先生的“复合命题谬误”解悖方案。[8]
笔者认为，一个标准的反证法模式应该是“~P∧E∧F→Q，~Q，所以P”；其中~P是假设，E是推理过程中用到的其他前提，~Q是一个与假设~P无关的独立事实（公理或定理，强调~Q相对于~P的独立性，是为了排除~P=M∧~M的可能性），F是证明所用的方法。如果对于每个推理前提都不带任何偏见的话，严格的结论应该是“P∨~E∨~F”；只有在证明前提E为真，并且方法F没有问题的情况下，才可以进一步分离出结论P。这里之所以把方法F单独列出来，是因为一些所谓的方法——比如康托尔对角线法——确实值得商榷，而方法自身导致的矛盾，不应该用来否定~P。
不过，即使方法F正确，反证法还是存在隐性假设的问题；当然，这个问题在直接证明中也同样存在，但对于反证法似乎更为突出。如果一个证明存在隐性假设，而假设本身可以另外得到证明，则整个证明仍可挽救；如果隐性假设本身是错误的，且在证明中必不可少，那么整个证明就很难补救了。在反证法中，如果导致矛盾的根源是一个错误的隐性假设，但并没有被意识到，那么结果就很可能是显性假设~P成为替罪羊。对于那些在推理过程中利用了否定式自指涉的反证法，这似乎是一个必然的结果。
7. 关于一个无效反证法的实例分析
网友matrix67介绍了一个证明实数区间不可数的新方法，当然也是反证法，不是太复杂，全引如下：
“最近，Matthew H. Baker找到了证明实数区间是不可数集的一种新方法。这种方法同原来的方法完全不同。新的证明方法从一个博弈游戏出发，在两个不同的数学领域间建立起了联系，非常具有启发性。
A和B两个人在实数区间[0,1]上玩一个游戏。首先，A在(0,1)之间选一个数a1，然后B在(a1,1)里选一个数b1；接着，A在(a1,b1)之间选一个数a2，然后B在(a2,b1)里选一个数b2……总之，以后A和B轮流取数，选的那个数必须位于前面两次选的数之间。可以看到，序列a1, a2, a3, ...是一个单增的有界序列，因此游戏无限进行下去，数列{an}最终会收敛到某一个实数c。游戏进行前，A和B约定一个[0,1]的子集S，规定如果最后c∈S，则A胜，否则B胜。
Baker发现，如果S集为可数集的话，B肯定有必胜策略。如果S集可数，那么B就可以把S集里的数排列成一个序列s1, s2, s3, ... 。B的目标就是让序列{an}的极限不等于S集里的任一个数。考虑B的这样一个游戏策略：当B第i次选数时，如果选si合法，那么就选它（这样序列{an}就不能收敛到它了）；否则如果这一步选si不合法，那就随便选一个合法的数（此时序列{an}已经不可能收敛到si了）。这种策略就可以保证A选出的数列的极限不是S集里的任一个数。
有趣的事情来了。假如A和B约定好的S集就是整个实数区间[0,1]，那么B显然不可能获胜；但如果[0,1]是可数集的话，B是有必胜策略的。于是我们就知道了，[0,1]是不可数集。”
然而，这个反证法证明真是有效的吗？
首先，根据游戏规则，数列{an}的极限c必定属于[0,1]，因此，不管[0,1]是否是可数集，只要约定S=[0,1]，A就必胜；也不管[0,1]是否是可数集，只要约定S=Ø，B就必胜。很显然，B要实现其必胜的目标，也即“让序列{an}的极限不等于S集里的任一个数”，在对S集进行约定时，必须要求S≠[0,1],这是他必胜的一个先决条件。
所以，Baker证明的所谓“B必胜定理”的完整表述应该是：“如果S是可数集，并且S⊂[0,1]，则B肯定有必胜策略。”要注意的是，对于这个定理，否定其后件“B肯定有必胜策略”，可以推出的结论应该是“或者S不是可数集，或者S=[0,1]”，而不是唯一的“S不是可数集”。
我们再来看Baker所谓的矛盾：“假如A和B约定好的S集就是整个实数区间[0,1]，那么B显然不可能获胜；但如果[0,1]是可数集的话，B是有必胜策略的。”很显然，在S=[0,1]的约定下，“B显然不可能获胜”成立。但是，这个约定并不满足必要条件“S⊂[0,1]”，此时即便[0,1]是可数集，“S是可数集，并且S⊂[0,1]”也仍然不能满足；根据完整的“B必胜定理”，不可能有效地推出“B有必胜策略”。因此，上述所谓的矛盾完全是子虚乌有的，是无效推理所导致的佯谬。
或者换一种角度看，即Baker在使用“B必胜定理”时，无意中扩大了其适用范围，定理实质上被篡改为了：“如果S是可数集，并且S⊆[0,1]，则B肯定有必胜策略。”如此一来，在S=[0,1]的约定下,并假设[0,1]可数，利用篡改后的“B必胜定理”就可以形式上有效地推出“B有必胜策略”。但是，由于篡改后的“B必胜定理”事实上并不成立，以其为前提的推论也就不可靠，所谓的“矛盾”仍然是佯谬。
要彻底厘清上述谬误，我们有必要强调一个非常基本的常识：必要条件未必是充分条件，充分条件也未必是必要条件，但是充分条件必须满足必要条件。以Baker的上述博弈游戏为例，“S=Ø”是“B必胜”的充分条件，而不是必要条件，但是“S=Ø”满足必要条件“S≠[0,1]”。实际上，根据我们前面的定义（也即“P→Q”=“P⊂Q”），这个常识就更加显而易见。可是，实质蕴涵的定义是如此深入人心，以至于这样一个常识竟然被熟视无睹。
最后，从潜无穷观的角度看，Baker这个博弈游戏是无休无止，永远不可能完成的，因而胜负也就无从判定。或者说，对于一个潜无穷观者而言，即使Baker所谓的矛盾不是谬误推理的结果，他也不过反证了可完成的实无穷观是不成立的。
8. 结语
总之，蕴涵式“P→Q”本质上不过就是一个有效三段论“（），P，所以Q”的缩写，其中（）表示被省略了的大前提。但是要注意，这个被省略的大前提必须为真，否则的话，即使P真，Q也不一定真。很显然，一个三段论“（），P，所以Q”是否有效，主要取决于被了省略的大前提，而不是P与Q的真值。
因此，这个必须为真但被省略了的大前提，才是整个蕴涵式的核心所在：简而言之，蕴涵式之所以当其前件真时后件必然真，正是由于这个大前提约束的缘故；同时，由于这个被省略的大前提必须为真，这就决定了蕴涵式的问题不可能只靠形式逻辑来解决。
当然，“若P则Q”背后所隐藏的大前提，并非都是显而易见的，比如开普勒三定律背后隐藏的万有引力定律，就需要牛顿这样的天才科学家来发现。事实上，很多隐藏的大前提的发现是基于猜想，而且猜想可能还远不止一种；此时，科学研究的一个重要任务就是通过实验来排除那些与实验结果不符的猜想，这正是所谓的证伪主义。
然而，实质蕴涵的定义却只考虑命题的真值，其连接词“→”根本没有“推出”这一含义。可问题是，现代逻辑学偏偏又把实质蕴涵的所谓重言式都视为有效推理规则，这其实就把“推出”含义强加给了连接词“→”，本质上是偷换概念，从而导致诸多反直观的怪论，并且严重地侵蚀了数学反证法，造成极大的危害。
致 谢
感谢徐明良、樊毅等朋友，本文从与他们的讨论以及还未发表的文稿中受益匪浅。
参考文献
[1] 张绍友.从蕴涵怪论到日常蕴涵逻辑系统的探索[D].重庆:西南大学,2011.
[2] 莫绍揆.逻辑代数初步[M].江苏人民出版社，1980.
[3] (美)加勒特∙汤姆森.莱布尼茨[M].北京：中华书局，2002.
[4] (波兰)塔尔斯基.逻辑与演绎科学方法论导论[M].周礼全,吴允曾,晏成书译.北京:商务印书馆,2011.
[5] 陈希孺.概论论与数理统计[M]..中国科学技术大学出版社,2019.
[6] 文兰.悖论的消解[M].科学出版社，2018.
[7] 张光鉴，张铁声.相似论与悖论研究[M].香港天马图书有限公司，2003.
[8] 黄展骥.“说谎者悖论 ”、“亦此亦彼悖论 ”的简明消解—— “复合命题 ”和 “矛盾定义”谬误[J].安徽大学学报 (哲学社会科学版),2005(02).
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