Zmn-0599 数  森：简评Zmn-0594《一个0.9循环等于1的初等“证明”》

【编者按。下面是数森先生的文章。是对thebeater先生的《Zmn-0594》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

简评Zmn-0594《一个0.9循环等于1的初等“证明”》

数 森

对于本专栏Zmn-0594中的一些观点我是非常认同的。

但我觉得文中有一点没有说清楚，即0.9循环（0.999…）是什么？否则讨论0.9循环是否等于1就没有意义：

一般大家都认可0.999…是无穷级数0.9+0.09+0.009+…之和。然而无穷级数0.9+0.09+0.009+…之和又怎样定义合理呢？如果按标准数学分析（用ε-δ语言定义的收敛、极限理论）定义无穷级数之和，仔细分析其有两个特点：a）无穷级数之和（如果收敛）是一个实数。b）定义的无穷级数之和与直觉级数之和不吻合，只是找了一个最接近无穷级数之和的实数来代替而已，并不能证明两者完全相等（重合）。为了说明这个问题，我曾在本专栏Zmn-0541《0.999...等于1的本质是什么？》（http://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1283693.html）中，提出了一个大家可能比较认可的0.999…实无穷规定（与直觉高度吻合的无穷级数之和），并详细说明了在此规定下为什么0.999…不等于1：

0.999…是数轴上按如下规定经过1分钟后的一个特殊点d（其大小等于点d与原点间的长度）：点d的初始位置在原点0处。在1/2分钟时，d的位置从原点0向右移了0.9；又在3/4分钟时，d的位置从前一位置向右移了0.09；又在7/8分钟时，d的位置从前一位置向右移了0.009；…。在这整个过程中，点d在大多时刻没有变化（不动），仅在1－1/2ⁿ (n=1,2,3,…) 分钟时，点d向右移了0.9/10ⁿ。经过1分钟后的点d是不动点。有人认为，在上面叙述过程中，无穷个时间点1/2分钟，3/4分钟，7/8分钟，…是完全不能走完的，这根本不符合事实，我们知道，任何一个时刻都可对应一个实数，有理数对应的时刻必定都是存在的，每个人一生走完了多少个一分钟，为什么此一分钟是完全不能走完的。1分钟后的点d和1对应在数轴上的点完全重合了吗？这是标准数学分析证明不了的，因为无法断定（证明）1分钟后的点d和某个实数点重合。当数轴由实数轴自然扩张为超实数轴后，点d必定不是数轴上实数点（虽然不能证明d和某个超实数点重合）且和1对应在数轴上的点不重合（点d与1对应点之间至少还有无穷个超实数点）。有人认为不是实数的超实数不是数，这是没有依据的，由实数集自然扩张为超实数集并不是胡思乱想的产物，其是在数理逻辑、模型论基础上严格论证的结果，就如当年有理数集自然扩张成实数集时，有众多人（包括数学权威人士）认为不是有理数的实数不是数。但现在中学生都知道无理数是数，我以为，随着非标准分析的普及，在不远的将来，一般的中学生都知道所有超实数是数。

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