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Zmn-0594 thebeater：一个0.9循环等于1的初等“证明”
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Zmn-0594 thebeater：一个0.9循环等于1的初等“证明”
【编者按。下面是thebeater先生的信件和文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
文清慧老师：
您好！我是thebeater，是一名热心网友、数学爱好者。我关注您的数学啄木鸟专栏一段时间了，这里面百家争鸣非常有意思。
近日来，我看这专栏中有人在讨论0.9循环的问题。我之前读了一个知乎上的证明，我觉得非常有说服力。我据此解构重构了一番，写了一篇小品文，希望有幸能登在您的专栏上，与大家一同讨论。非常感谢！
题目：一个0.9循环等于1的初等“证明”
正文：
近日来，我看这专栏中有人在讨论0.9循环的问题。我之前读了一个知乎上的“证明”，我觉得非常有说服力。我据此写了这篇小品文。请读者留意，这篇小文章并不是证明，而是想引发大家思考。
先问大家一个问题，一个正确的数学命题长什么样？初中教材就讲过，数学有公理、定理这样的概念。数学证明不是无源之水，一个正确的数学命题，必须是基于公理去推导的。如果在公理层面大家意见不统一，那讨论某个命题的正确性无从谈起。比如三角形内角和等于180度，在欧氏几何的公理下正确，但是在非欧几何的公理下就错了！所以说，严格起见，正确的数学命题必须长成这样：在某些公理下，某某命题成立！只不过有些时候，我们把公理省略了罢了。
而从公理走到一个命题的过程呢，就是逻辑推演。逻辑推导是初中数学的必修课！如果你接受一个公理，那就必须接受由正确的逻辑推演给出的定理；反过来，如果你觉得某个命题是错的，那要么找出逻辑推演的问题，要么拒绝接受某一条公理！
我想用抽丝剥茧的方法来看待0.9循环等于1这个问题。在这个问题背后，我们不一定要回归到真正公认的公理，而是一些“基础命题”，这是非常浅显易懂的命题：
命题一 0.9循环是个实数
命题二 0.9循环比0.9，0.99，0.999，……都大，但是不超过1
在继续阅读后文之前，请读者先不去思考数学证明，而是用自己的直观感受问一下自己，命题一和命题二是不是正确的呢？
那么我将把命题一和命题二视为“公理”的基础上，证明0.9循环等于1。我把这归结为证明下面的命题三：
命题三 如果一个实数满足性质※——比0.9，0.99，0.999，……都大，但是不超过1——那么这个实数就是1
如果命题一二三都是对的，那么就得到了0.9循环等于1了。这是逻辑的直接推演，是标准的三段论。
请让我先向读者证明命题三吧。因为这个证明比较关键，所以我把步骤标上数字。命题三的证明如下。
1 反证法，假设存在一个实数x满足性质※，但是x<1
2 记y=1-x，那么y是正数，并且y<0.1
3 回忆lg是以10为底的常用对数，[ ]是取整符号，即找不超过他的最大整数
4 记N=[-lg(y)]+1，则N是正整数，并且N>-lg(y)
5 记z=10^(-N)，根据指数函数的单调性，我们得到z<y，因此1-z>1-y=x
6 1-z是小数点后面跟着N个9，根据性质※，1-z<x，矛盾！证毕
让我们再次回到逻辑上的判断。如果读者内心真的觉得0.9循环不等于1，那么的话：
——要么找出逻辑推演的问题，告诉我们命题三的证明里哪一步有问题；
——要么不接受命题一或者命题二，那得告诉我们命题一或者命题二是怎么不对的。
最后，可能有读者要问了，到底命题一和命题二是不是对的呢？正如前面所言，对不对也要看公理。事实上，可以用一些更加基础的公理，也就是实数的公理来证明这两个命题，但这就不那么初等了。
但是话又说回来，如果0.9循环连实数都不是，那凭什么讨论他和1谁大谁小呢？
参考文献：
一个0.9循环等于1的超初等“证明” - 王筝的文章 - 知乎
https://zhuanlan.zhihu.com/p/350353833
返转到
zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
https://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1295500.html
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