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Zmn-0594 thebeater:一个0.9循环等于1的初等“证明”

已有 1956 次阅读 2021-7-15 09:44 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0594  thebeater:一个0.9循环等于1的初等“证明”

【编者按。下面是thebeater先生的信件和文章。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

文清慧老师:

您好!我是thebeater,是一名热心网友、数学爱好者。我关注您的数学啄木鸟专栏一段时间了,这里面百家争鸣非常有意思。

近日来,我看这专栏中有人在讨论0.9循环的问题。我之前读了一个知乎上的证明,我觉得非常有说服力。我据此解构重构了一番,写了一篇小品文,希望有幸能登在您的专栏上,与大家一同讨论。非常感谢!

 

题目:一个0.9循环等于1的初等“证明”

正文:

近日来,我看这专栏中有人在讨论0.9循环的问题。我之前读了一个知乎上的“证明”,我觉得非常有说服力。我据此写了这篇小品文。请读者留意,这篇小文章并不是证明,而是想引发大家思考。

 

先问大家一个问题,一个正确的数学命题长什么样?初中教材就讲过,数学有公理、定理这样的概念。数学证明不是无源之水,一个正确的数学命题,必须是基于公理去推导的。如果在公理层面大家意见不统一,那讨论某个命题的正确性无从谈起。比如三角形内角和等于180度,在欧氏几何的公理下正确,但是在非欧几何的公理下就错了!所以说,严格起见,正确的数学命题必须长成这样:在某些公理下,某某命题成立!只不过有些时候,我们把公理省略了罢了。

 

而从公理走到一个命题的过程呢,就是逻辑推演。逻辑推导是初中数学的必修课!如果你接受一个公理,那就必须接受由正确的逻辑推演给出的定理;反过来,如果你觉得某个命题是错的,那要么找出逻辑推演的问题,要么拒绝接受某一条公理!

 

我想用抽丝剥茧的方法来看待0.9循环等于1这个问题。在这个问题背后,我们不一定要回归到真正公认的公理,而是一些“基础命题”,这是非常浅显易懂的命题:

命题一 0.9循环是个实数
命题二 0.9循环比0.9,0.99,0.999,……都大,但是不超过1

在继续阅读后文之前,请读者先不去思考数学证明,而是用自己的直观感受问一下自己,命题一和命题二是不是正确的呢?

 

那么我将把命题一和命题二视为“公理”的基础上,证明0.9循环等于1。我把这归结为证明下面的命题三:
命题三 如果一个实数满足性质※——比0.9,0.99,0.999,……都大,但是不超过1——那么这个实数就是1

如果命题一二三都是对的,那么就得到了0.9循环等于1了。这是逻辑的直接推演,是标准的三段论。

 

请让我先向读者证明命题三吧。因为这个证明比较关键,所以我把步骤标上数字。命题三的证明如下。
1 反证法,假设存在一个实数x满足性质※,但是x<1
2 记y=1-x,那么y是正数,并且y<0.1
3 回忆lg是以10为底的常用对数,[ ]是取整符号,即找不超过他的最大整数
4 记N=[-lg(y)]+1,则N是正整数,并且N>-lg(y)
5 记z=10^(-N),根据指数函数的单调性,我们得到z<y,因此1-z>1-y=x
6 1-z是小数点后面跟着N个9,根据性质※,1-z<x,矛盾!证毕

让我们再次回到逻辑上的判断。如果读者内心真的觉得0.9循环不等于1,那么的话:

——要么找出逻辑推演的问题,告诉我们命题三的证明里哪一步有问题;

——要么不接受命题一或者命题二,那得告诉我们命题一或者命题二是怎么不对的。

 

最后,可能有读者要问了,到底命题一和命题二是不是对的呢?正如前面所言,对不对也要看公理。事实上,可以用一些更加基础的公理,也就是实数的公理来证明这两个命题,但这就不那么初等了。

 

但是话又说回来,如果0.9循环连实数都不是,那凭什么讨论他和1谁大谁小呢?

 

 

参考文献:

一个0.9循环等于1的超初等“证明” - 王筝的文章 - 知乎

https://zhuanlan.zhihu.com/p/350353833

 

 



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   zmn-000文清慧:发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录

       




 




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