《数学啄木鸟专栏》分享 http://blog.sciencenet.cn/u/wenqinghui 对错误的数学论点发表评论

博文

Zmn-0593梁灿文:罗素悖论与无穷争议新解

已有 1129 次阅读 2021-7-14 21:21 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0593梁灿文:罗素悖论与无穷争议新解

【编者按。下面是梁灿文先生的文章。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

罗素悖论与无穷争议新解

作者:梁灿文

邮箱:981808171@qq.com 微信:lcw13527141353

目录

1. 罗素悖论与历史解悖方案介绍 2

1.1 罗素悖论概述 2

1.2 罗素悖论历史解决方案介绍 3

2. 潜无穷下罗素悖论的消解 7

2.1 实无穷假设是罗素悖论的症结所在 7

2.2 潜无穷下罗素悖论的消解 8

2.3 相似悖论的解释 10

2.4 两类自指语句的区分 11

2.5 同一性标准带来的解悖差异 12

3. 对实无穷假设和无穷计数原理的质疑 14

3.1 对实无穷假设必要性的质疑 14

3.2 对无穷计数原理可靠性的质疑 16

4. 对当今学术研究的担忧 25

 

 

简述第一章详细介绍了罗素悖论与当代解悖方案,总结研究过程中的误区和困难。第二章通过分析指出罗素悖论与无穷假设的密切联系,据此提出用潜无穷假设消解悖论的方法并解释了相关语义逻辑问题。第三章则着重探讨实无穷假设的存在必要性与无穷计数原理的可靠性,指出实无穷是为习惯和需求编造的无意义符号,而无穷计数原理的证明看似严谨可靠,实则依据薄弱且错漏百出,呼吁重新考量二者在逻辑系统中的位置。

本文总计3万余字,涉及内容较广,阅读难度较大,需要具备一定的数理逻辑基础。另外本文观点争议性较大,望读者理性看待。对文章有任何意见或者转载引用需求可以通过私信或者文章最后的联系方式与我联系。

 

 

1. 罗素悖论与历史解悖方案介绍

1.1 罗素悖论概述

康托尔创建集合论之时,正逢科学大繁荣,一切似乎都在向着好的方向发展,集合论也很快成为了数理逻辑的基础。但谁也没想到,正当人们使用着强力的集合论武器向着未知领域奋勇前进时,却传来了后院起火的坏消息。罗素给人们泼了一盆冷水,他基于康托尔建立的集合论构造出了一个自相矛盾的集合,这让整个数学界立刻就炸开了锅。罗素悖论迅速地成为了新的焦点,解决悖论也成了当务之急。

罗素悖论定义了这样一个集合S由所有集合中不包含自身的集合组成的集合。用数学符号表达就是令X={xx x}。为什么称之为悖论呢?通过简单分析我们就能发现端倪,S自己作为一个集合,要么包含自身要么不包含自身,假如S是一个包含自身的集合,那么按照定义它不包含自身;假如它是一个不包含自身的集合,按照定义它又必须包含自身,两种假设都发生矛盾,S到底是个怎样的集合呢?这个问题连集合论的创始人康托尔自己也回答不上来,而这时集合论已经成为数理逻辑的根基,罗素悖论使得数学大夏摇摇欲坠,直接引发了第三次数学危机,而且其不仅撼动了数学界,其余波甚至震动了整个逻辑和语言系统。这时人们才如梦方醒,终于从对实用理论的痴迷中回过头来,重新审视长期以来被忽视的语言和逻辑等认知基础问题。

虽然集合论体系中的漏洞已经被补上,ZF公理系统创建后,罗素悖论就不再被视为能破坏数学严谨性的致命威胁,关于罗素悖论的研究热度也就不再了。但学界普遍认为罗素悖论只是被回避了而不是解决了,因为罗素悖论本质上不仅仅是一个数学问题,而是一个涉及基础语言逻辑的重要问题,ZF公理只是将其请出了自家大门,其既没有解释悖论本身,对于延伸而来的各种语义悖论也毫无帮助。可以说,数学家们闭关锁国只顾保护自己的领土,全人类却仍处在于潜藏危险和漏洞的逻辑世界中。

面对罗素悖论,当代的尝试都以失败告终,在此后长时间的发展也未现曙光。罗素悖论是那样的简单明了,具象可感,但又是那样的扑朔迷离,耐人寻味。罗素悖论集合就像一个外表平平无奇的潘多拉盒,当你猜测它是空的,打开却发现盒子里套着一个又一个一模一样的盒子;而当你猜测它不是空的时,一打开却发现里面空空如也。罗素发现了它的神奇并将它展示于最显眼的地方,希望人们能解开它的奥秘。但人们来了又去,去了又来,盒子始终在那里,触手可得却又让人抓摸不透。它任由人们随意捣弄,看着人们费尽力气上蹿下跳地打量自己,也看着人们无能为力地唉声叹息失望离去,无声的嘲弄着这世上的所有人。一次次的无功而返让人们对罗素悖论逐渐失去热情,罗素悖论还在那,但在它面前驻足的人们却越来越少了,人们逐渐将目光转到其他地方,反正它也妨碍不了自己的生活,眼不见即为干净,仿佛耳背过去就能隔绝它那无情的嘲讽了。

但相对于缓慢的研究进展,更让人担忧的是研究方向上的偏离。人们逐渐放弃解释悖论本身,企图在没有解释悖论的情况下针对悖论的形式特点通过形式禁令来避开悖论,只关注如何创造出一个没有罗素悖论而又现实可行的实用语言体系,但即便是这些尝试也难逃失败的命运。更重要的是对于解悖本身而言,即便创造出了一个没有罗素悖论的语言体系也不影响罗素悖论始终是一个未解之谜。对于罗素悖论,我们不仅需要实用性方案更需要一个与实用无关的解释。我们必须搞清楚现有的语言逻辑系统是如何运作的?在这个系统中罗素悖论是如何形成的?这些疑问都是悖论内外我们必须解决的基本问题,只有先解答这些问题,我们才能对症下药地进行解悖与逻辑系统改造,缺乏系统认识与完整解释下的解悖尝试都是本末倒置,空洞无力的。

 

1.2 罗素悖论历史解决方案介绍

面对罗素悖论这个不速之客,当代数学家和哲学家们也曾通力协作,希望将其彻底消灭,维持逻辑世界的和谐统一。但是这群由人类精英组成的正规军们却在与罗素悖论的争斗中节节败退,最终只能丢盔弃甲地龟缩回暂且安全的集合论领地并竖起高墙,躲在其中惶惶不可终日,可见罗素悖论有多么的复杂难缠。

为解决罗素悖论,数学哲学家们曾提出许多方案,但绝大多数的方案都采用回避的方式, 通过形式禁令来阻止自指的发生从而避开悖论,而没有解决悖论本身。对罗素悖论的研究始终游离于本质之外,不得要领,连最具代表性和影响力的ZF公理系统和类型论也是如此。下面就先介绍这两个解悖方案来让大家对罗素悖论与当代主要的解悖思路有基本的认识。

1.2.1 ZF公理系统介绍

ZF公理系统由弗伦克尔和策梅洛共同创立,其对维持数学稳定发展发挥了重要作用,正是它为集合论划出了安全区域,保障数学家们仍能暂避其中继续工作。ZF公理系统原有8大公理,后来又补充到10条,但大家也不必为此感到头疼,大部分公理都是对集合论的基本规范,真正用来解决罗素悖论的只有两条——分离公理模式和正则公理。

分离公理模式规定了集合定义的基本语句形式,对任意集合X和任意对X的元素有定义的逻辑谓词P(z),存在集合Y,使zY 当且仅当zX而且P(z)为真。通俗点说就是X是一个集合,Z是它的元素,Pz)就是对元素性质判定,符合该判定的元素成为新定义集合Y的元素,如此便能定义一个新集合。这看起来就是最基本的集合定义形式,也没怎么添油加醋,它是怎么解决悖论的呢?答案就在那最不起眼的集合二字,语句开头要求的是任意集合而不再是任何事物,也就是说新集合的定义必须基于某个被明确定义过的旧集合,新集合必然是其子集。由于所有集合是一种直接的概括,它并未依据于一个合法的已知集合定义,因此它的合法性是不被承认的。既然所有集合不是一个有效的集合,那么罗素悖论语句也就无法被表达,于是罗素悖论便与所有集合一起被逐出了集合论的疆域。

这样的强制性规定虽然显得粗野蛮横,但却也行之有效。数学家们如此针对所有集合也是有原因的,所有集合作为一个典型的大全集,确实有点与众不同,不守规矩。它有着自我嵌套的奇怪结构,所有集合自身也是一个集合,因此它包含自己,当然它包含的自己也包含另一个自己,如同俄罗斯套娃一般神奇。这样它就不再遵循集合平常的层级结构,同时处在多个不同的层级中。更离谱的是它还要跟其它集合纠缠不清,你中有我,我中有你,举个例子,所有元素大于两个的集合显然包含所有集合也属于所有集合,如此集合间的层级关系就更加混乱不清了。数学家们当然早就注意到了它的这些奇异的性质,但由于其完全符合概括公理,包含自己的对象也有像词语,事物等的现实范例,而且任何与无穷沾边的对象本就没几个正常的,数学家们也没有对其多加为难。但在解悖压力下,很多数学家自然将目光投向了这个离经叛道的异类,虽然他们并没有给出什么实质性的证据来将其定罪,但人们最终还是以欲加之罪将其逐出了集合论。

分离公理模式就像集合论的边检人员,将可疑的集合隔离在外。这样的措施虽然能为集合论带来安全,但这种闭关锁国显然会让集合论体系容量和适用范围大打折扣。一切新集合必然依据于已知集合的规定意味着我们已经不能像从前一样自由概括对象定义成集合了,整个集合论将彻底封闭,即使我们能用交并等方式构造一些新集合,但整个集合体系中的基础元素显然是有限的。集合原本作为一个适用广泛的逻辑框架,一座连接抽象与现实的桥梁,是自由而开放的,它包容任何符合概括公理的逻辑对象,这正是集合论的价值所在。但为求自保,ZF公理系统剥夺了集合论的初衷与理想,逼迫它成为一只苟且偷生、毫无生气的笼中之鸟。

另一个问题是ZF公理本身并没有给出所谓已知集合的条件与范围,一个合法集合需要基于另一个已知的合法集合来定义,请问最初的已知集合的合法性来源在哪里呢?答案只能是人为设定,也就是说事实上ZF公理系统并不能独立成套,它必须额外设置一套已知集合才能使用。但现实是,在没有给定已知集合范围的情况下,我们还是安全地使用着集合论。这是因为大部分情况下我们使用集合论讨论的都只是一些数学问题,这些集合基本上都是依据于被完全公认的基本集合。ZF公理系统并没有在实际使用中被严格遵守,大多数人也还是放肆地将一些现实概念定义成集合,因为原集合论本身也没多大危险。ZF公理系统实际上被束之高阁,成了一纸空文,它只充当一个安全承诺,一个合法性担保,本质上还是新瓶装旧酒,走个形式罢了。

ZF公理系统阻挡罗素悖论的第二道闸是正则公理。它规定所有集合都是良基集,一个集合的元素都具有最小性质。这个要求使得集合之间不能相互包含,集合不能包含自身,且在任何层级不包含自身,自己的子集包含自己也是不行的。这个规定更加地粗野蛮横,它通过直接的形式禁令进一步限制了集合的形式和性质,扼杀了一些具有奇异性质的集合,这样集合系统内的公民将更加循规蹈矩,由于包含自己是不允许的,罗素悖论这样的怪胎上来就被定罪放逐了。ZF公理系统就像一场专制的大清洗运动,依照两大纲领扫除集合体系中的异类,不惜代价地维持暂时的和谐与安稳。

相对于以上的实用性问题,ZF公理系统最大的缺陷在于其仅仅是一个规定,而规定是不能解释问题的,它对解悖本身没有任何实质性价值。我们能在数学体系内进行这样的设定,那请问对于现实,对于基础语言,我们又该何去何从呢?罗素悖论并不仅仅是一个数学问题,更是一个语言逻辑问题,罗素自己就提出了现实版的罗素悖论——理发师悖论。理发师悖论描述了这样一件事情,一个理发师宣布他将为且只为小镇上不为自己理发的人理发。同样的道理,对于他自身,假如他是一个为自己理发的人,他就不能为自己理发,但如果他不为自己理发那么他又得为自己理发,这与罗素悖论如出一辙。容易发现,我们能对现实中其它事物套用一样的模板,造出无数个相似悖论,如书目悖论,法庭悖论等等。显然,ZF公理系统对于解决语义悖论毫无帮助,你能将所有集合剔除出集合论,但你不能让所有人消失不见,你能规定集合不能包含自身,但你无法阻止一个人对自己采取某种行为。因此ZF公理系统意不在解决罗素悖论,它最多只能算是避险指南,根本算不上是解悖方案。

除了ZF公理外还有一些公理系统被提出,如NBG公理系统等。NBG系统将一些太大的集合整体划分为类,禁止对这些对象进行某些操作,这实际上与ZF公理系统的形式禁令没有太大区别,它也被证明与ZF公理系统是一致的。同样的,其它公理系统也基本上都与解释罗素悖论本身没有太大联系,就不再赘述了。

 

1.2.2 类型论介绍

当然,人们并非没有尝试过解释罗素悖论和解决相关的语义悖论,作为罗素悖论的发现者,罗素自己就曾提出过一个极具代表性的解悖方案——类型论。凭借罗素在罗素悖论问题上巨大的声望,类型论成为了被讨论最广泛的解悖方案。但遗憾的是类型论最终还是走向了形式禁令的老路,自然难逃失败的命运,在遭遇一次又一次的困境后连罗素自己都放弃了类型论。

ZF公理系统不同,类型不只针对罗素悖论本身,它面向的是整个语言系统,力图解决罗素悖论以及相关的语义悖论。罗素将悖论的产生归咎于其自我涉指的语句形式,他认为正如一个袋子不能装下自己一样,任何对象都不应包含自身,否则就会有发生自指的风险。由此思路出发,罗素建立了简单类型论,其规定集合的集合不应是集合,而应该归类为一个新的类型,类型之间存在明确的层级关系,一个类的层级总比其最高级元素高一级。在这种设定下,罗素悖论语句定义的已不再是一个集合,其是否包含自身的讨论也就无从谈起了,如此就能让罗素悖论消失在语言体系中。

人们对自指问题早有研究,自指的最典型例子就是那古老的说谎者悖论本话为假,本话为真则本话为假,本话为假则本话为真。罗素悖论有着明显的自指悖论特点,自指自然成为了当代解悖者们一个现成且有力的突破点。既然所有版本的罗素悖论都有着自指的形式,只要阻止自指形式出现,罗素悖论也会随之消失,非常简单有效。但问题是人们连自指问题本身都没搞清楚,简单地将罗素悖论抛向自指这摊浑水中并不会让罗素悖论变得明晰。因为集合本质上是以构成元素区分而不是以类型区分的,只要所有集合所有人存在,对它们的概括与筛选就理应存在一个明确的结果,罗素悖论自身的疑问仍然得不到解释。类型论看似巧妙地抓住了要点,通过形式禁令阻止自指发生,简化了问题,实则是能力有限,不得已只能流于表面,舍本逐末,这样的解悖方案也是治标不治本。

即便抛开解悖意义不谈,在实用上看类型论也存在许多难以解决的问题。首先,在类型论要求下所有的事物都必须明确分级,原来含糊的,涵盖范围太广的词语不再被允许表述。像事物,词语这种将多级别对象统一概括的类也全部都得取消,否则我们又能从中定义出另一个罗素悖论,这势必对语言系统的具体使用造成巨大影响。在这个新的语言系统中,我们连原来一些最简单的表达都无法完成。比如让一个人不要碰你房间内的东西,由于你不再能使用东西这个词,而必须使用被细分开的一长串各个新类,这些词能编出一本厚厚的词典,在你念叨完之前,对方早就被你烦跑了,正好话也省得说了,否则你说到入土也说不完。假如政府要定一条法律禁止所有的组织集会,也不能使用人群、组织这样的词,而只能列举一大推各级别的类称,而且无论你说了多少个,人们总能钻空子,组成一个没说到的新构造组织,简单地说,颁布不出这样的法律。另外,没有人是全知全能的,否则也不需要语言系统进行交流了。我们总要问问题,但在类型论要求下,由于不能使用事物一类的含混指代,而必须指出其类型,这就会陷入一个不懂想要问却又因不懂而不能问的尴尬情境。总而言之,在类型论下大部分的概述已经不被允许,但罗素也没有想好在不能灵活概述事物的情况下我们该如何说话。最尴尬的是甚至罗素自己也被类型论喂了一口黄连,按照类型论的要求,连类型论本身都是无法被表达的。因为类型论的表述涉及所有事物,但它又因为自己的规定无法概述所有事物,只能列举所有事物的类称,但如果事物都被他列完了,且不说他累不累,定义这种行为还有什么意义呢?类型论自己就颇有几分悖论的样子。对于种种问题,罗素本人也感到无奈,只能承认类型论还存在许多尚待解决的问题。

除了这些问题外,以分类为的基础和简单类型论并不能解释所有的语义悖论,因为并非所有的自指都是由分类造成的,比如理发师悖论,你总不好意思说理完发的理发师不再是本人,甚至不是个人吧?为了解决这些漏网之鱼,罗素痛下狠手,又提出更激进的分级理论——分枝类型论。在分枝类型论中,阶级斗争又发展成帮派斗争,同类下的元素也非得分出个你我高低来。

如何将自己与自己区分开来呢?罗素给出的方案是按照语句结构和关系等级进行分阶,性质的性质,关系的关系等等都可以进行进一步的分层,这种分层可以用语句的函项关系来区分。分支类型论规定个体是0阶,由个体定义而来的对象为1阶对象,如此类推,一个类或事物的阶数总比其语句函项中的最高阶高一阶。举个例子假如个体的定义语句中使用了另一个个体作为函项来定义其本身,比如用3大而比5小的自然数这句话所定义的4即便与35一样是个体,但按照它的语句地位,它又是由0阶函项定义而来的高阶对象,因此它是1阶的。如此同一个事物甚至有多个阶,其具体属于几阶需要查询其语句历史来确定,不同阶的对象不能被一起概述。在分阶要求下,为自己理发完的理发师就成了人上人,理发师悖论也被回避掉了。

可能很多人无法完全理解分枝类型论,但毫无疑问,没有人相信分支类型论是一个实用的语言改造方案,甚至连最经得住折腾的数学家们都叫苦不迭,强烈反对分枝类型论。因为在分支类型论下的概述限制显然比简单类型论还要更加严苛,数学家甚至不能说所有的数如何如何,而只能说所有某阶的数如何如何,这使得许多数学结论都不再成立或不可言说。连数学家都言语困难,我们恐怕就只能成为哑巴了。

为了解决这个囧况,罗素只能像补锅匠一样又提出了可归化公理,其规定每一个非直谓的函项都有一个形式上等值的直谓函项。简单地说就是允许我们无视对象的语句历史与函项关系,像简单类型论一样将需要的对象放到同一级别来讨论问题。这就相当于在没矛盾时为了方便无视对象的阶,而在有矛盾时就分开。这种阳奉阴违的伎俩着实太过拙劣,人们也已经对罗素与他的类型论失去了耐心,最后甚至连罗素自己的学生兰姆赛也站出来宣布,分支类型论和可化归性公理在逻辑中是多余的,它仅能用来避免悖论,没有实际意义。面对众叛亲离的尴尬局面,罗素自知类型论已经走到了尽头,他在1925年宣布放弃可归化公理,又在1937年表示赞同兰姆赛的观点,这也彻底宣告了类型论的失败。

类型论如同庸医的猛毒偏方,产生了强烈的副作用,使得整个语言系统几乎瘫痪,这是罗素始料未及的。类型论的解悖失败再次表明投机取巧地从形式特点出发,试图通过形式禁令来解悖不仅不能从本质上解决罗素悖论,还会衍生出许多无法解决的其他问题,使其甚至在实用上也无法成功。

 

2. 潜无穷下罗素悖论的消解

2.1 实无穷假设是罗素悖论的症结所在

虽然人们退回ZF公理系统构建的堡垒中守住了最后的尊严,但篱墙外的世界已然不再安全,人们始终惦念着从前的自由,寻找着能真正解决罗素悖论的方法。罗素悖论说明我们的逻辑系统内部存在着漏洞,但这个漏洞似乎嵌在了逻辑世界的最深最隐秘的角落,让当局者迷的我们难觅踪迹。

罗素悖论总是那样的耐人寻味,真正让人困惑的不是S到底包不包含自己,而是我们为什么定义不出一个本该明确的集合。在人们通常的认知里,集合虽然和自然数一样无法被完全列举,但我们仍然能够概括它们的整体,并从中选取对象定义集合,这在我们的认知和习惯中是理所当然的。既然我们能从自然数集中定义集合,自然也能从所有集合中定义集合,因此S的定义语句理应能定义出一个性质明确的集合才对。但罗素悖论却打破了这个惯例,无论如何我们都说不清楚S集合到底具有怎样的性质,无论我们假设其包含自身与否都会产生矛盾。但这只是其次,毕竟一个集合的性质不是假设出来,而是定义出来,关键问题就在于,我们连这个集合都无法定义出来,这让研究寸步难行。

具体执行S的定义语句S是所有不包含自身集合的集合会发现定义流程会陷入一个进退两难的困境中。和自然数集一样,所有集合作为一个可被概括的实无穷集合,其必然包含了每一个可被定义的集合,当然也包含了S。按照定义流程,要定义S就必须先明确所有集合,然后再对其中每个集合进行性质判定,S作为元素之一也必须先被明确,但定义S需要先明确S的性质,而明确S性质又要求先定义S,如此相互推诿,S的定义流程根本无法完成。不仅S是这样,所有集合也是如此,要定义所有集合就必须明确每个集合的性质,但总有像S一样以所有集合为基础定义的集合,这些集合又要求所有集合先被定义,它们才能被定义,因此所有集合自己也是个无法定义的集合。于是S就成了一个由虚空对象定义的虚空对象,二者同存于虚空之中。这帮集合就像不负责任的腐败官僚,在苦苦寻找罗素悖论答案的人们面前踢皮球,相互推卸责任。这种窘境使得人们对罗素悖论根本无处下手,只能一气之下将与所有集合勾结在一起的这帮害群之马统统赶出集合论。

但这种以暴制暴难免与逻辑世界的理性要求相背离,找不着人就说人不存在总有自欺欺人的嫌疑,这也不符合范畴论的要求,禁止人们讨论一个可思可感可论的对象需要更加充分的理由。我们不能掩耳盗铃地认定一直使用的各个集合是存在的,明确的,但它们的整体却不存在,也不能搞特殊对待,一边概括没有上限的自然数集等对象,认定其对应着确定的量,一边又禁止概括集合的整体,认定其没有上限。尽管康托尔的无穷原理与ZF公理系统都态度一致,阻止人们讨论集合的整体,但它们都没有给出令人信服的理由。康托尔通过对角线法给出了没有最大基数和最大集合的结论,但这样的结果显然与实无穷理论中对象都有定量的理念相悖,也与他自己提出的穷竭原理相悖。康托尔自己也解释不了为什么集合就不再对应确定的量,不再遵循穷竭原理,即使可不断递推出更大的基数,但它们为什么就不会像自然数一样穷竭到一个阿列夫w呢?更何况康托尔使用的对角线证明本身就争议重重,甚至存在着错误,这将在后文中详细介绍。在集合论中继续沿用实无穷框架,要求体系中的无穷对象都具有固定基数,而唯独对集合总体作特殊处理的双标行为不仅有逃避悖论的嫌疑,更留下了破坏逻辑一致性的祸根。

这些或粗野蛮横或自相矛盾的解释并不能消除人们的疑虑,人们并不认为罗素悖论真的被完全解决了,而是继续寻求更加具有说服力的答案。但这种愿望始终被S的定义困难所阻隔,它就像一把守护罗素悖论秘密的冰冷铁锁,将人们彻底隔离在外,连集合都定义不出来又如何研究它的性质呢?依傍实无穷的所有集合拥有着普通集合所没有的特权,它作为大全集具有一些怪异的特点,其必然会破坏集合惯有的层级关系,这在上文中也有提及,正是这种层级关系上的混乱阻隔了我们对其的研究。

通常的集合总是具有具体的层级,从基础元素与简单集合开始,逐级往上,从简单到复杂,从已知到未知,层级关系用严格的逻辑次序将集合体系串联在一起,成为逻辑严谨协调的一个整体。而层级关系的背后是一条严丝合缝,没有破绽的的信息链条,它保证了每个集合总有可据可查的信息来源,从而具有确定的性质。正是由于层级关系的管控,集合们都循规蹈矩,整个集合体系才能有条不紊地发展壮大。但具有特权的所有集合打破了这一切,所有集合既没有后继集合,又说不清他的最高级元素是哪个,既被设为最大集合,又会成为某些集合的元素,甚至还具有着无限嵌套的离奇特点。如此他既不存在上头,也找不到下属,甚至一脚踏几船地占有多个层级,完全我行我素,脱离集体。由于所有集合跨越了层级限制,强制性地包含了许多完全未被定义的集合,这些集合的一部分又以所有集合为基础而定义,这让它们一并脱离了任何实在的逻辑轨道,漂浮在虚空中。人们无法通过任何一条逻辑路径来定义他们,也找不到任何可据的信息链查清他们的底细,明确他们的性质,这无疑给罗素悖论打上了死结。

第三次数学危机的这一切与第二次数学危机如出一辙,如今既包含自身又不包含自身的S与当初既是0又不是0的无穷小之间存在着某种微妙的联系。种种迹象表明S包含自身与否的矛盾只是罗素悖论的表象,真正的幕后黑手还是那个逻辑世界里的老惯犯——实无穷,任何与它沾边的逻辑对象几乎都会与逻辑矛盾或悖论扯上关系。合法化的实无穷假设带来了合法化的罗素悖论集合S,由于实无穷假设下集合整体是确定的,它可被概括,当然也可以用来定义语句,这是完全合法的,我们不能驱逐合法的语句以及它所定义的集合,又难以接受这些没有明确性质的空洞集合,这让人们如鲠在喉却又无可奈何。

尽管长久以来实无穷假设是人们处理无穷对象时的固有习惯与认知,其已经深深嵌入我们的各种理论中让人难以割舍。但事到如今,我们不得不正视一个事实,实无穷假设与罗素悖论相互勾结,如果坚持维护实无穷假设,罗素悖论就不存在消解的可能。正如第二次数学危机时一样,当理想化的实无穷假设已无法与基础逻辑相容时,我们应该转而尝试使用潜无穷假设来解开这一连串逻辑死结。

 

2.2 潜无穷下罗素悖论的消解

潜无穷假设是柯西等数学家为了解释无穷小是不是0的问题而提出的新无穷理解,它帮助完善了极限理论,使得微积分等学科重回正轨。潜无穷用进行中取代已完成,认为无穷是一种不断增大的变化趋势,如自然数、集合这样的对象虽然可以不断增加,但并不存在一个所谓的实无穷作为终点。因为潜无穷假设以坚实的有穷经验为基础,用有穷的变化趋势来解释无穷,拒绝理想化的实无穷猜想,因此它具有更好的逻辑兼容性。

在潜无穷假设下,无穷是一个变化的可递推序列,由于不存在一个上限,我们不再能用所有来概括后续的对象,所有集合已经不再能穷尽所有的集合,只能对应变化过程中某个具体时间点,其更准确的含义应该是现有的,已定义的所有集合。如此,无穷问题的讨论会褪变为有穷对象的变化过程的讨论,所有集合与罗素悖论集合S就能重新连接到集合体系中,让它们的性质有迹可循。

一个有限的所有集合也不再强制性地包含S,这使得上文中S定义后才能定义自身的逻辑次序矛盾有了松动的空间。单从逻辑次序的角度来讲,S不可能在S被定义前出现,因此在S定义语句表达时自身还不存在,所有集合当然也不可能包含S,因此S根本不需要参与元素判定,包含自身与否的讨论也就失去了意义,最终定义出来的S一定不包含自身,罗素悖论也就不复存在了。但这样的结论是欠缺考虑的,因为一个集合并不一定只能从一个定义语句得到,一个集合完全可以以其它语句先被定义,成为所有集合中的一员,然后再用另一个语句在所有集合再次筛选出来,如果不能排除这种可能性,我们就无法保证S定义时一定不在所有集合范围内。

如何判断一个集合是否属于是某个集合的元素呢?当然是通过比较,假如S所有集合范围内的任一集合相同,那么其就在其中,反之则反,我们可以通过性质比对来分析其与筛选元素范围内其它集合的关系。所有集合中的元素可以分为两类,包含自身的和不包含自身的,我们来验证它们是否与S相同。假如S是筛选范围中不包含自身的集合中的一个,由定义要求,它会包含范围内所有不包含自身的集合,既然它是其中一个,那么它将包含自己,但如果它包含自己,它就与所有不包含自身的集合都不相同,因此它必然不是筛选范围内不包含自身集合的任何一个。假如S是筛选范围中包含自身集合中的一个,由定义要求,它不包含这些部分集合,但它是其中一员,所以它不包含自身,但如此它的结构便与这些集合不同,因此它也不是筛选范围中包含自身集合中的任何一个。所以,以这种筛选要求挑选出来的集合必定与筛选范围中的每个集合都不同,S的筛选性质决定了其必然不是任何筛选范围中的一员,而是一个超出筛选范围的集合。这个结论并不仅限于所有集合,而是对所有筛选范围都有效,因为这是由筛选性质所决定的。

在明确了定义时的包含关系后,我们就可以回答那个一直困扰我们的问题了。由于S在定义时不可能是所有集合中的一员,因此进行性质筛选时根本不需要考虑S是个什么样的集合,它压根没有参选资格,如此定义完成后的S也毫无疑问是一个不包含自身的集合。这就像那个经典的语言把戏,1800年的法国国王是否有胡子?无论假设有无都不对,因为1800年的法国没有国王。罗素悖论也是一样,从任何有穷集合中总能定义出其自身所不包含的集合,S就是这样一个集合,因为S的筛选性质使得其根本不可能成为其定义范围中的一员,所以无论假设他包含自身与否都会推出错误结果。

在遵循有穷经验的潜无穷假设下,S的定义并不会引发矛盾,但强制性的实无穷设定破坏了基本的逻辑次序与朴素基础的逻辑原理,上帝式的所有集合不可避免的包含了S,从而引发了无法消弭的逻辑矛盾。一切都是实无穷捣的鬼,概括公理是无辜的,只是我们不能去概括根本不存在的对象,所有集合也并不是我们想象中那个肆意破坏规则的不法狂徒,只有在潜无穷的庇护下,它们才能够沉冤得雪,回归逻辑世界的大家庭中。虽然不能就此妄下定论,但单从逻辑一致性来看,相对于传统的实无穷假设,潜无穷假设更加适于解释与描述集合论。

S的性质矛盾只是表象,暗中作祟的仍是实无穷,其产生的谬误像病毒一样循着各种基础逻辑分析蔓延到身体表面,在其它许多命题上形成了矛盾,这些症状比病灶本身要显眼得多。一直以来,人们被这些表象所吸引,未能找到矛盾根源,浮于表面地头痛医头脚痛医脚,胡乱的医治如同酱油涂肿的偏方一样,不仅没有效果,还破坏了病状原貌,混淆了思考方向,使得罗素悖论越发朴素迷离,混沌不清。对实无穷根深蒂固的使用习惯和过度信任就像自掘的逻辑陷阱,使人们深陷当局者迷的困境中而不自知,于是只能在逻辑迷宫中盲目乱窜,到处碰壁。

笔者认为,罗素悖论长期得不到解决,很大程度上是人们自身的思维方式所造成的,面对罗素悖论,人们过于着急的在根本没有解释悖论的情形下提出解决方案,要么试图投机取巧地利用形式限制敷衍了事,要么沉醉于所谓高深的理论渐行渐远。但几乎所有人都放弃了对罗素悖论形成过程研究,放弃了对定义语句本身的分析,我们去研究一个悖论却不在乎其是否能得到解释,讨论一个集合的性质却省略了集合的基本定义流程,这完全是南辕北辙。人们如此着急地去解决问题,到底是因为求知欲过于强烈难以自控,还是因为失去了探索真理的耐心与本心呢?当放弃了解释悖论时,我们在追求的还是真理吗?相对于罗素悖论,人们更应该在这些问题上给自己一个答案。

 

2.3 相似悖论的解释

在用潜无穷假设解释了罗素悖论后,我们顺势而下,继续着手解决相关的语义悖论问题,这里就以理发师悖论为范例进行解悖。再次列出理发师悖论:一个理发师宣布他将为且只为小镇上所有不为自己理发的人理发。对于他自身,假如他是一个为自己理发的人,他就不能为自己理发,如果他不为自己理发那么他又得为自己理发。

如果沿用罗素悖论的解悖方式,尝试以潜无穷解释理发师悖论,我们很快就会发现这根本行不通。因为理发师悖论中的所有人与罗素悖论的所有集合并不相同,小镇上的所有人是固定且有限的对象,理发师必然是其中之一,我们无法像处理罗素悖论一样证明其自身不在筛选范围内,因此我们躲不开理发师要是否要为自己理发的问题。所幸相对于罗素悖论,理发师及其语义悖论相对更直观,其解悖过程也并不复杂,只要我们细致地分析其语句,并按照严格的逻辑次序进行推导,问题就会迎刃而解。

在分析悖论之前我们要明确语句中各要素的具体意义,这是解悖的基础,但很多人却忽略了这点。看似简单的悖论语句真的一看就懂,无须多虑吗?恐怕并非如此。语句中小镇所有人,理发师许诺的行为都是非常明确的,但怎样才算是为自己理发的人呢?为自己理发的人可以是曾经为自己理发的人,也可以是有为自己理发习惯的人,也可以是想为自己理发的人等等,不同的解读会带来不同的结果,由于找不到理发师本人确认,我们不妨对各种假设都进行推理,看看悖论的发展有何不同。

1、假如为自己理发指的是曾为自己理发的人,那么如果理发从未为自己理过发,他就需要为自己理一次发,成为为自己理发的人,从此再也不为自己理发。如果理发师曾经为自己理过发,他就是为自己理发的人,他这一辈子都不能再为自己理发,并不存在什么难为之处。

2、假如为自己理发指的是有为自己理发习惯的人,指定一个期限,3个月内为自己理过发算有理发习惯,超过则不算。那么一旦为自己理发超过3个月,理发师就必须为自己理发一次,如果未到3个月则不能为自己理发,如此循环往复,在任何时刻理发师都没有打破自己的诺言。

3、假如为自己理发的人指的是想为自己理发的人,问题才会变得棘手起来。由于在理想情况下,人的想法转变是不需要时间的,如果理发师想为自己理发,那么他立刻就要变得不想为自己理发,反之则反。如此理发师就会在同一时刻既想为自己理发,又不想为自己理发,如此便会发生矛盾。但这样的矛盾是建立在不符合现实的理想化假设上的,改变想法也是一个行为,行为总是需要时间的,正是由于行为需要时间,现实中才不会出现同一时间同一事物存在两种状态的情况,就像罗素悖论的实无穷假设一样,如果我们假设了背离客观规律的性质,自然会导致逻辑矛盾的发生。

通过以上分析可以发现,理发师悖论根本不存在任何逻辑矛盾,无论如何,理发师在语句表达时总有明确的可判定性质,这使得理发师语句总会具有一个明确的判定结果,理发师可以据此执行自己的行为,在行为之后,理发师的性质将发生改变,由于该语句具有时间延续性要求,理发师需要根据性质变化的结果再次执行语句,如此循环即可。

回顾过去的悖论分析可以发现,过去刚分析到理发师为自己理发则不能为自己理发就认定存在矛盾是欠缺考虑的,这种判断建立在固定静止的思维之上,人们习惯性地将问题看作只有一个固定答案的判断题,完全忽视了对象的变化性。通常情况下我们遇到的大部分问题确实都是只要求单一结果的一次性问题,这些问题往往只对应某个时刻,某种场景,其当然只存在一个答案。但理发师语句是一个具有时间持续性的承诺语句,而不是一锤子买卖,我们必须考量语句表达时的结果以及后续表达的变化。如果我们既要求瞬时语句的单一结果,又进行持续性语句的变化分析自然会发生冲突。

一个语句的意义发生变化很常见,但像理发师悖论语句一样因为自身而发生变化,甚至循环往复的情况则非常罕见,以至于人们将不变当成原则,将变化视作悖论。语句表达后影响自身就像量子力学里测量会干扰结果一样,虽然发生频率极低且影响细微,以至于完全脱离了人类的经验范畴,但其表达完全合法,其结果也并不违背任何逻辑和客观规律。悖论并不存在,存在的只是客观事实与人们错误期待相冲突而产生的悖论感。人们在分析理发师悖论时犯下了三个不易察觉的错误,一是缺乏严谨的语句分析习惯,仅凭感受作判断;二是进行违反客观规律的过度理想化假设;三是忽视了对象是可变化的。犯了如此多的错误仍不自知,怎么能不落入自掘的陷阱之中呢?

 

2.4 两类自指语句的区分

除了理发师悖论外,大部分罗素悖论的相似语义悖论如法庭悖论、书目悖论等都不存在事实上的逻辑矛盾。这些合法语句通常会被归入自指语句的范畴,过去的主流观点往往简单地认定这些语义悖论因自指形式而产生悖论,并据此直接禁止该类语句的表达,这造成了很多的冤假错案。

由于对自指语句的研究太过粗浅,无法完全弄清自指语句的问题所在,人们处理这些语句时也像无知的莽夫一样显得蛮横无理,这种一刀切的做法对解决实际问题毫无帮助。过去的研究甚至连自指语句的具体形式没能明确出来,只是总结了否定、自指、递归等可能特点。自指语句定义更多强调的是结果,即循环往复的矛盾,只要形式中有对自身的描述,且发生了循环往复的矛盾,一个语句就会被归类为自指语句,然后被一股脑地打上非法、悖论等标签。但这些看似一致的自指语句之间其实有着完全不同的内核,有些自指语句如理发师悖论一样是具有变化性的合法语句,而另一些如著名的说谎者悖论,才是真正的错误表达。

说谎者悖论如下:我现在说的这句话是谎话,为了方便这里取其缩略版本本话为假。这句话是真是假呢?假如我说的是真话,那么我说的是假话,反之则反。这看起来与理发师悖论完全一致,但事实却并非如此,仔细分析会发现二者具有很大的区别。用严格的逻辑次序分析本话为假。,会发现其根本就不存在一个有意义对象。与罗素悖论的定义困难相似,本话指的是句号前的字符串及其含义,即本话要在本话为假表达完成后才具有意义,而本话为假显然也要求本话先是有意义的确定对象,其才能够表达,二者相互依托,一并纠缠在一片逻辑虚空中。与罗素悖论不一样的是,罗素悖论语句并没有使用自己的代称S,因此它可以金蝉脱壳,不存在于定义范围内,从而避免了矛盾的发生,但本话为假直接使用了自身代称,指名道姓地将其牵连进来,这种矛盾已经无可挽回了。这种表达下的本话会像叠罗汉一样让人完全不知道对象到底是什么?本话本话为假,那么用本话为假代替本话代入本话为假就会变成本话为假为假如此类推,其语句的对象根本就是不确定的。

这一系列的问题都是因为定义语句中直接使用了自身的代称而造成的,这样的语句表达看起来并没什么特别的,但实际上完全违反了定义语句的基本要求。一个定义语句定义的对象要具有实在意义就必须依托于另一个有实在意义的对象,定义对象的性质取决于其与原客观对象的关系,这保证了定义的对象具有性质和信息来源。但如果一个定义依据的对象是自己,定义就无法完成,也毫无意义,这仅仅是一种像模像样的符号组合。首先语句同时存在两个不同性质的同一对象,这本身就与客观规律相悖。其次,定义描述的是与原对象的关系,但自己与自己只有相同一种关系,任何描述了自己与自己其它关系的语句都犯了明显的逻辑错误。语言习惯显然不能超越在基本逻辑之上,不符逻辑的表达自然会带来不符逻辑的结果。值得一提的是,过去认定本话为真没有问题的观点是欠缺考虑的,其只进行了局限狭隘的假设验证,而没有考虑语句的表达形式和与基础逻辑的一致性。

由于人们从未考量过定义语句的基本表达要求,和理发师悖论式的特殊合法语句一样,人们对说谎者悖论的特殊不合法语句并不存在什么经验。因此凭感觉断句意的人们并不会察觉其形式错误,只会察觉其矛盾结果。虽然都被人们归为是自指语句,但像说谎者悖论这样的自指语句和理发师悖论,罗素悖论等有着本质的区别。我们不能李逵李鬼一杆子打死,冤枉合法的语句表达,这会限制人类的表达自由并破坏语言系统的严谨性。为了避免更多冤假错案的发生,我们必须更加细致严谨地研究自指问题,明确不同语句背后悖论形成的原因,对各类自指语句进行妥善的处理。

 

2.5 同一性标准带来的解悖差异

由以上的分析可以发现罗素悖论与其相似悖论理发师悖论在形式上几乎完全一致,但解悖过程却大相径庭,如果像分析理发师悖论一样进一步分析S在定义完成后的递推变化过程作对比,我们还会发现更多的差异。

取向无穷扩增过程中某个时间点的所有集合作为基础,我们可以首次定义出S,按之前的分析这个S不包含自身。但在其定义完成后,它理应成为所有集合的一员,使用变化后包含了S所有集合重新进行定义,新的S就会包含之前不包含自身的S,而在S成为包含自身的集合后,再次表达定义语句,其又不包含自身,如此循环往复。这个过程看起来和理发师悖论并无二致,对象性质因语句表达而发生改变从而回过头来影响语句意义,只要按照次序执行变化似乎并不存在什么问题。但实际上,这个流程严重违反了集合论的基本要求,因为集合与人不同,理完发的理发师还是理发师,但同一个集合怎么能具有不同性质,包含不同元素呢?后定义的S与之前定义的S根本不是同一个集合,但是按照语句意义它们又都是S,集合的性质要求与语句要求之间存在着明显矛盾,罗素悖论仿佛又借尸还魂,以另一种形式出现了,为什么会出现这样的情况呢?

不难发现,二者之间的分异是由于我们对不同事物间的同一性标准差异造成的。在我们的习惯里,现实事物的性质是允许变化的,人变化后仍然是人,变化后旧人已不复存在,新性质的人继承了同一名称。但对于数、集合等抽象对象,我们往往会采取另一套同一性标准。由于数和集合等对象是虚构出来的,通常情况下它们的性质不受客观影响而不断变化,只要我们不改变对其的定义,它们就是永恒不变的,因此,我们往往会对其提出性质不变的要求。在不同的标准下,两类事物会形成不同的对象体系,由可变现实事物不断延伸定义而来的对象体系整体总在不断变化中,而由不变抽象对象递推定义而来的对象体系,如集合体系中的每个对象永远保持不变。

二者间不同的同一性标准要求我们在讨论与定义二者时采取不同的语句形式,如果不假思索地将二者混用,就会与体系要求相冲突。比如在集合论中,我们不能在集合定义中使用变化的对象,比如所有集合。由于所有集合是一种临时概括,而未进行真正标准的集合定义,它在不同时刻概括了不同的范围,具有变化性。在实无穷假设下,由于所有集合被视作已经完成,因此所有集合的概括是固定不变的。但在潜无穷假设下,集合体系是不断变化的,如果不按照标准的集合定义方式固定每个集合而采取不规范的可变概括描述,就必然会与集合论的要求相冲突。在定义S前,我们需要先对某个节点的所有集合进行严格的定义,如将此刻已定义的所有集合定义为C,之后才能由此定义出S。这样S的定义只会进行一次,定义后的S不再改变,即使随着集合体系的变化,存在新所有集合整体,但它不能被定义为C集合,由其定义的S也不再是S了。在严格的定义形式要求下,潜无穷变化过程中的矛盾就会消解,阴魂不散的罗素悖论也会自动退散。

这种对抽象对象的错误定义和描述不仅出现在集合论内,也存在其它常见的抽象对象中,比如词语等。按照通常的理解词语包含了词语自身,但如S一样,在严格的定义次序下第一次定义的词语与后定义的词语并不相同,二者不应保持原名。我们的逻辑世界中各种包含自身,无限嵌套的怪胎们就是在这样的谬误中产生的,只是在罗素悖论出现前这些怪异的对象并没有给人们带来多少麻烦,人们也就一直默许它们的存在。

综合以上众多的矛盾与成因的分析可以发现人类对语言和逻辑系统的认知仍然很不成熟,对逻辑的使用和语句的表达并不规范,这些问题一直潜藏于人类的逻辑世界中,并未得到充分的关注。但在这些错误不断累积并逐渐孕育出罗素悖论这个撼天巨兽后,人们是时候检讨一下自身对语言和逻辑的使用方式,并对不完美的语言和逻辑系统进行一番修缮了。

 

 

 

3. 对实无穷假设和无穷计数原理的质疑

3.1 对实无穷假设的质疑

实无穷在集合论中不断破坏规矩,制造事端,甚至惹来罗素悖论这样的大祸等恶劣行径被揭露后,就连实无穷最忠实的拥护者集合论也不该再挽留实无穷了。而在陆续被微积分与集合论扫地出门后,实无穷假设几乎已经百无一用,无处栖身。按照剃刀原理,实无穷早就该被斩首谢罪,彻底消失在逻辑世界中了。但事实是尽管实无穷劣迹斑斑,也总是与各种基础逻辑相冲突,但一直以来,实无穷就像电视剧主角一样,人们总是对实无穷趋之若鹜,只要有可能就优先采取实无穷假设,即使它到处惹事生飞,又一次次地被驱逐,但人们也总是选择原谅它。随着实无穷假设的弊端与其引发的大量冲突逐渐显现,人们才逐步在一些已经发生严重矛盾的重灾区(如微积分)放弃了实无穷假设。但是人们并没有好好地吸取这些教训,重新审视实无穷的实在性与实无穷假设的合理性,考量实无穷假设是否适用于各个理论,只是得过且过地等待着矛盾与悖论一个接一个地继续发生,最终,人们等来了罗素悖论。可以说第三次数学危机是第二次数学危机的延续,人们虽然提出了新的无穷假设但却没有重视并根除无穷问题,最终为自己的傲慢与懈怠付出了代价。

人们为何如此偏爱实无穷这个捣蛋鬼呢?一是因为实无穷假设更符合我们的经验和习惯,而习惯就意味着舒适感与安全感。在人类的经验中任何对象都总具有具体的量,自然数和集合等当然也一样。二是实无穷假设允许我们概述无穷对象的整体,这对力求简洁方便的人们来说是巨大的诱惑。很显然只有对象整体的量是确定的我们才能概述它们,否则我们概括的就是一个不确定的对象。在习惯和便利的双重诱惑下,在实无穷假设的獠牙仍未暴露时,人们自然而然地将实无穷假设作为第一选择,它看起来是如此的熟悉可靠,可爱迷人,有什么理由不选择它呢?

自然数与集合的整体是否对应了一个实在的量,或者说现实中是否存在一个确实的实无穷对象呢?在人类的经验中,任何事物总是对应着具体的量,这似乎是理所当然的。对于客观对象而言,这当然没错,现实事物不依赖于主观认知而存在,事物总有定量的经验就是由此总结的。在定义出各种抽象概念后,人们又不假思索地将这个经验带到了抽象世界中,但这样不加考量的推广显然非常鲁莽。一个现实对象的确定性来源于客观实在,这使得其必然对应了具体的数量与性质,即便我们说出尚未认识与定义的对象业不影响它们的数量和性质的实在性。这种不为主观转移的实在性就像一道题目的已知条件一样,我们可以随时进行观察验证,确定它们的性质与数量,这也正是概括公理成立的基础。但像数和计划这样的抽象对象并不是客观实在的,它们的数量与性质完全取决于我们的定义,只有我们具体设定了它们的数量,它们才具有确定的量,如果没有进行具体的设定,我们就无处寻找它的性质与数量。虽然自然数等概念定义了初始的个体与递推的方式,但仅仅这些就足以让自然数具备一个具体的量,使其存在一个实在的上限吗?显然没有,既无现实对照,又未人为具体设定,这个来历不明的所谓数量难道是从石头缝里蹦出来的吗?明明设定了无限制的可递推性,又强行假定其具有一个量,这本来就是自相矛盾的,将这种可疑的对象本放进逻辑世界的大门就是在引狼入室。

要知道集合是人类自身定义出来的概念,非要认定这些虚空集合存在但我们作为创造者却不晓得它们的性质也不能谈论它们的整体实在荒谬可笑。这种无中生有带来的不仅是一个畸形的数量,更伴生出一连串根本不可能有答案的问题。抽象对象在定义前是完全不存在的,定义一个才能存在一个,强行概括未定义的后续个体得到的只是一个没有实在对象的虚无概念,就像罗素悖论里那个看不见摸不着的所有集合一样,使用了这种概括的语句(如罗素悖论)就像缺少条件的数学题,当然不可有解。因此,没有任何理由认为自然数和集合等抽象概念存在着一个实在的量,将对现实象总有定量的客观经验推广到抽象概念是毫无根据的。对于抽象概念,我们应该建立一套独立的,严谨的逻辑体系,抽象与实在间的逻辑与经验不能随意混用。

虽然自然数与集合的整体并不存在一个具体的量,但除了它们之外,是否又存在着确实的实无穷对象使得实无穷概念仍能一息尚存地留在逻辑世界中呢?在我们的认知里似乎有很多东西都是实无穷的,现实中如宇宙的大小,空间的分割,数学中如数的量,线上的点,无穷级数和无穷小数等,这些对象似乎都在告诉我们实无穷是真实存在的。但是这些概念的实无穷性无一不是建立在过度理想化的假设之上的,宇宙的大小和空间的分割的无穷性并不被现代科学所支持,而数的量如上段所述,是人们错误推理出来的,点线面等本身就是完全虚构的,其无穷性也建立在无限分割的理想化假设上。最后像无穷级数,无穷小数等概念都是人类自己构造的某种表示方式,尽管存在无法用有限小数表示的量,但这只能表明无法通过传统的有理分割方式完全描述这些量。没有任何规定要求这些量一定能用且要用小数表示,也并不是非要假定存在一个实无穷终点使得它们之间相等才是解决这些问题的唯一出路,这种所谓的实无穷性只是人类的一厢情愿罢了。

很多实无穷支持者会用数学规则可以自由设定为由逃避对其不合理假设的指控,但任何的逻辑体系都需要依赖于基础逻辑构造与描述,新性质也总不能拆了自己的根基来构建。再者任何理论最终也要在现实中发挥作用,构造脱离现实的无意义概念及性质对理论本身和现实都毫无益处。何况连他们自己的假设都是自相矛盾的,实在却又性质不明的集合,固定又不固定的实无穷量在哪里都站不住脚。因此,并不存在任何一个坚实的实无穷对象值得人们非要以破坏逻辑严谨性的方式来守护,实在找不到什么理由让无所依托的实无穷概念继续赖在逻辑世界中。

当然实无穷也并非一无所是,实无穷假设下我们可以直接概括无穷对象的整体,从而方便地讨论它们的性质。实无穷假设的谬误在简单的体系中并不会产生太大麻烦,但到了像集合这样逻辑关系严密且复杂的体系时就很难蒙混过关了。鱼和熊掌不可兼得,概括整体确实是一个巨大的诱惑,一旦用潜无穷假设取代实无穷假设,我们对无穷对象的讨论就会变得繁琐。实无穷许诺的终点可比潜无穷苛求的那复杂的变化过程迷人太多了,诱人的实无穷就像甜美的毒苹果,让人难以拒绝,但短暂的愉悦过后,剧毒的矛盾与悖论就会紧随而至,让贪图方便的人们得不偿失,陷入更棘手的麻烦之中。

不管多么地不舍,我们终究要面对无穷的取舍问题,我们不能继续幻想着脚踏两船仍能左右逢源。事物可以似是而非但不能既是又非,无穷也不能既实又虚。像过去一样在数学分析中使用潜无穷来消解矛盾,又在集合论中使用实无穷来方便概述的双标操作很难不让人感到怀疑。实无穷并非不可能存在,但在找到确实证据之前,非要以破坏逻辑一致性的代价来实现二者得兼并不是什么理智的做法。在罗素悖论的催促下,我们是时候对这个问题做个了断了。

3.2 对无穷计数原理的质疑

人类很早就拥有了对无穷的认识,实与潜的争论也已经延续了数千年,它们就像光的的粒子性与波动性之争一样,始终不分高下,让人难以取舍。在长达几千年的时间里,实无穷一直都被谨慎地搁置于逻辑与数学世界之外,亚里士多德不认为无穷是一个可讨论的对象,伽利略、莱布尼茨、柯西、高斯和他们时期占多数的数学家都拒绝将无穷实在化,为有理数集等给定一个值。笛卡儿说过:无穷可以被认知,但不能被理解。高斯也曾在信中写道:我反对把无穷作为现实的实体来用,在数学中这是永远不能允许的,无穷只不过是一种说话方式。在朴素的认知观念里,一个实在的无穷从来就不存在于人们的经验中,它也就不应该出现在人类的逻辑世界里。但在集合论带来的逻辑主义和公理化浪潮里,这种被一直坚守的朴素数量认识被毫不留情地抛弃了,即使伴随着难以计数的矛盾与众多学者的反对,实无穷最后还是大摇大摆地走进了数学的殿堂。

现今的实无穷理论主要理论基础是康托尔建立的无穷计数原理。康托尔希望集合论能为他完成逻辑主义的大业,当集合论将世上无穷的事物带到严谨的逻辑世界并试图让他们都变得规矩安分时,就注定会与无穷这个捣蛋鬼纠缠在一起。集合论描述了一些数量没有上限的对象,如自然数等,对它们的概述难以避免,但如果它们不是一个数量固定的整体,我们就无法对它们进行概述,这些对象整体也无法作为一个集合存在。为了清除逻辑主义之路上的障碍,康托尔开始了他的实无穷探索之旅。无穷就像一片富饶的无主之地,吸引着怀揣学术热情的人们争相闯入,就在罗素悖论仍然肆虐的同时,在康托尔的逻辑主义纲领和希尔伯特领导的公理化浪潮的双重鼓舞下,实无穷迎来了一次如火如荼的具象化运动。

康托尔和他的支持者们不断努力发掘实无穷的性质,但他们的努力一直处在无据可依的艰难处境中。上节已经论证了实无穷只是一个虚构的概念,除了无穷对象本身具有的无限制递推性外,其本身并不自带任何其他性质。无穷对象本身也都是理想化的虚构对象,本来就不存在于现实之中,即使存在我们也无法遍历和操作无穷对象来观察和研究无穷的性质,因此我们也没有对无穷的任何经验。没有人真的见过无穷,没有人数过一条线上所有的点,没有人能将一个球拆成无限份后重组成两个,更没有人开过无穷旅馆。今天我们熟知的无穷的各项性质并不是通过观察而得来的,而是完全通过猜想、推理和设定出来的,它们也全是不可验证的。

但实无穷支持者从不考量实无穷的实在性,他们坚信点、数和集合等对应着一个实在的量,这个实在的量也必然具有具体的明确的性质。因此,即便无法通过观察来研究其性质,他们还是自作多情地坚持着通过所谓推理来得到无穷的客观性质。而为了使得他们研究的结果是客观的,准确的,数学家们当然不能随意地编造无穷的性质,而必须要遵循可靠的依据。但既然我们不能观察无穷,这种所谓的依据终究只能来自于我们熟悉的有穷。通过将一些有穷下成立的经验强行推广到无穷,并以此为基础进行推理,我们就能得到许多无穷的可能性质。

依据不同的有穷经验推广,我们能得到不同的无穷性质。例如我们可以简单地认定由于无限制的可递推性,所有无穷都是一致的;可以按照最朴素的数量认识,量都是固定的,认为实无穷最终也是一个固定的不再变化的量,当数量到达无穷时就不再可递推,无法定义新的个体了;我们也可以认为无穷仍然遵循基本运算法则,尽管无穷有着无限延伸的属性,但始终满足2无穷>无穷+1>无穷等基本运算性质;当然了,我们也可以追随康托尔的选择,手揣一一对应原理为入场门票,进入其充满着奇妙色彩的无穷乐园中。

假如依照这些基础逻辑推广得到的无穷性质像它们在有穷时一样相安无事,融为一体那自然是再好不过,但如果真是如此,无穷也就不是我们熟知的那个捣蛋鬼了。无穷注定是叛逆的,不平凡的,以不同的逻辑原理为基础推导出的无穷性质各不相同,充满矛盾和冲突。比如通过康托尔著名的一一对应原理和对角线证明得到的无穷性质就堪称魔幻,其不仅具有众多难以理解的神奇性质,还与各项基础的逻辑原理相背离。当然,以其它原理为基础得到的无穷同样也是众叛亲离,原本和谐相处的逻辑原理们一旦到达无穷的辖境就开始失去理智,自成一派,兄弟相争,与之伴随的便是各派支持者们的激烈争论。本来这种争论根本就不应该有胜利者,因为根本不存在一个可据的实无穷对象来告诉人们它的偏好,也不存在规则上的规则来决断它们间的优劣对错。

但现实却告诉我们一个道理,虽然真理没有偏好,但谈论真理的人们却有。在这场本应公平的逻辑原则争斗中,某个竞争者却得到了特殊眷顾,仿佛天选之子一般脱颖而出,一统天下,这就是一一对应原理。它的胜利其实是不难预见的,因为它出身高贵,且浑身散发着别样的魅力,但最重要的是它得到了贵人相助,它的父亲康托尔和伯乐希尔伯特的巨大威望注定了它的不平凡。尽管始终无法证明自己到底和其它原理有什么本质上的区别,但它不需要征服原理,它只需要征服人类,很显然它也做到了,真理在与强权的这场斗争中甚至都没有挣扎出一丝波澜。

但无论它如何地大权在握,它的合法性就像古代自奉君权神授的君王们一样,始终依托在一种虚无的信念之上。不论哪一派无穷研究者们如何信誓旦旦地宣称他们的推理是如何坚实可靠,作为推理的开端,无论选择何种基本原理推广到无穷都是毫无根据的,这就注定了关于无穷的性质的研究是根基不稳的。退一万步说,即使实无穷真的存在,这些无法验证的想象式推理也是毫无意义的。但时到今日,人们似乎已经完全忘却了这种潜在的危险性,甚至将康托尔式无穷的各项性质写进教材,奉为神祗,几乎将其完全官方合法化了,这为人类的逻辑世界埋下了一颗炸弹,而且随着时间流逝,它已经越埋越深,难以察觉了。

尽管康托尔的无穷计数原理成功地飞上枝头变凤凰,成为了无穷之地的实际统治者,但其自始至终都无法消除与基础逻辑间的矛盾和冲突,摆脱人们的质疑和拷问。虽然康托尔用他标志性的对角线证明,以最简朴的一一对应原则为基础逐步丰富了无穷的性质,但他的研究不仅没有使无穷变得平常,反而使无穷变得越发地怪诞离奇,矛盾和冲突不减反增。

首先,康托尔的无穷没能摆脱将无穷实在化,定量化的基本困难,它不能被写出,在数轴上没有具体的位置,既是终点值,又被允许继续延伸。虽然康托尔定义了w和阿列夫系列符号来标记无穷,并引用穷竭原理来为实无穷的合法性作担保,但这一番操作除了装潢门面外并不能为实无穷的合法性提供什么实质支持。定义符号并不能改变对象性质,而穷竭原理只是一种夹杂着主观意愿的薄弱猜想,用猜想来证明猜想就像摇人吵架一样,反而显得理亏心虚。让无穷拥有一个数量应有的基本性质,消解无穷问题中的矛盾与冲突本应是无穷研究的重中之重,但无穷计数原理在这些方面并没有什么实质性的进展,却不务正业地在发现新的无穷性质上卓有成效,但大量崭新奇异的无穷性质在让人们欢欣鼓舞之余难免生出更多潜在的问题和隐忧。

不得不承认,康托尔建立的无穷世界宛若童话般奇妙迷人,在这里无穷和无穷对象们不再受凡俗规则的约束,拥有让人艳羡又惊讶的神奇性质,仿佛一个法力无边的神灵。在这里,偶数竟然和自然数一样多,而它们又和01之间的有理数甚至和所有的有理数都一样多,无穷+1、无穷+n甚至无穷个无穷都等同于无穷自己,一个球能变成两个一模一样的球,一条线上的点竟然和面上甚至立体中的点数量一样多,已经住满的旅馆却仍能凭空变换出新的房间。明明宣称是是一个固定值的无穷却能千变万化,就像那会七十二变的孙猴子。这些神奇的结论拥有着和光怪陆离的神鬼故事一样的迷人魅力,以至于公理化运动的精神领袖希尔伯特都为之倾倒。即便是现在,几乎所有初次了解到无穷计数原理的人都会为之惊讶并且折服。

但并非所有的人们都怀着这样天真美好的愿望轻易地接纳无穷计数原理,总有一群惹人讨厌的逻辑顽固派,他们不信有神,只信有神棍,对它的神奇特性嗤之以鼻,非要一丝不苟地检查它的来历与可靠性。对他们而言,一个可靠的实在的理论应该是平常的,严谨的,受拘束的,无穷计数原理的神奇性质对于一个理论而言不仅不是吹捧的理由,反而是暴漏的端倪和怀疑的依据。他们并非凭空指摘,他们发现并尖锐地指出无穷计数原理中的一些问题,始终拒绝接受这个看起来奇妙梦幻的理论。他们提出的质疑是难以忽视的,无穷计数原理中确实存在一些显而易见的混乱与冲突,其推理过程也存在很多可疑之处。

这些问题中首当其冲的就是著名的最大基数问题。康托尔起初认为总存在一个最大的基数,并认定其为所有集合的基数。但由于幂集的势严格大于自身,很显然这表明了可以构造一个更大的基数,这可不好办。无穷理论刚刚诞生就出师不利,受到同胞兄弟集合论的挑战,这真是大水冲了龙王庙,让他们的父亲康托尔十分尴尬。对此,康托尔给出的解释是这正好说明了不存在所有集合的集合,也不存在最大基数,康托尔还给出了进一步的结论,即一个无限集无法与自身的幂集一一配对。

这样的结论虽然暂时地缓解了冲突,但又会引发出新的问题。由于集合与自身幂集存在者固定的数量关系n2^n,这就相当于给无穷划定了一条边界线,无穷与2的无穷次方无法一一配对,由此出发可以推出一些怪异的结论。(为方便,后续用n指代可数无穷)如果n2^n是不同级别的无穷,这对于无穷个无穷仍是可数无穷的既定理论而言,很难理解为什么2的无穷次方就构造出了一个不同级别的无穷。可数无穷可以任意延伸来与自己的倍增量配齐,是什么阻止了它与2^n配齐呢?按照无穷个可数无穷仍是无穷的推理,无穷等于无穷*无穷,这最终将扩展成无穷的无穷次方,这显然比2的无穷次方要大的多,但它却仍然是最低级别的可数无穷。一个更加现实的例子是自然数的位数显然不是有限的,既然是无穷的那它最小也只能是可数无穷位,但可数无穷位可构造10^n个自然数,这种构造方式和数量关系难道就不能像幂集一样应用在无穷,从而构造出一个新的基数悖论?如果非要认定这数量关系无法构造更大的无穷,即n=10^n{1,2,3……n}能与{1,2,3……10^n}一一配对。但按照幂集比原集是更大无穷又会得到{1,2,3……n}无法与{1,2,3……2^n}一一配对的结论,凭什么更大的10^n不是更大的无穷而后者2^n就是更大无穷呢?当排列后,他们不都是自然数集吗?难道自然数集无法与自身配对?

即便抛开这个问题不谈,这个结论说明n2^n之间总存在一条具体的界限,使得无穷升阶,这个具体界限又会在哪里呢?由于康托尔的无穷是分级别的,它们在到达界限前始终维持同一级别,但却在某个节点突然改变,这是如何办到的呢?而且这种跳变过程存在回退问题,由于达到跳变界限前其数量始终不变,举个例子1.5^n*1.5^n=2.25^n其值比2^n大,本应是一个高级别无穷,但假如1.5^n未达界限,那么其就等同于可数无穷,两个可数无穷相乘,仍然是可数无穷,二者之间显然是矛盾的,难道无穷会因为表示方法而改变吗?无穷可以通过不断跳变返回原值,如此无穷怎么能实现跳变呢?

这些问题不可能用所谓无穷下数量关系失效来驳斥,因为原推论正是使用了幂集与原集的数量关系作为基础推出的,难道只有符合支持者需求的数量关系才能成立?无穷理论总是面临一个问题,如果无穷下数量关系不再有效,那么一一对应原理以及他们使用的一些数量关系根本不能应用在无穷中。但如果数量关系仍然有效,它的结论就不能与之相悖。现实是它既以数量关系为推理基础,又提出破坏数量关系的结论,要求基础逻辑又破坏基础逻辑。并非所有人都会纵容它的这种肆意妄为,它必须对被它肆意践踏的那些基础逻辑作出解释。

除了无穷的阶次问题之外,没有最大基数的结论同样让人费解,这与对象总有定量的实无穷理念相悖。为什么无穷原理煞费苦心地强行认定自然数等对象是可被概括的,且其总体对应了具体的量后,又认定另一个虚拟概念集合就不可被概括,不存在具体的量呢?即使无穷存在多个阶次,能够通过构造递推出一个接一个更高级别的无穷,但这作为一种递推,为什么就不再具有一个上限阿列夫w呢?到底是什么本质原因导致这个递推就不再受穷竭原理影响呢?要回答这个问题不仅仅需要给出数学上的证明,还需要给出哲学层面的解释。

以上单从最大基数悖论延伸出来的问题已经足够让人焦头烂额了,但它并不是反对派进攻的重点,对角线证明才是炮火轰鸣的战场中心。康托尔无穷世界的一些重要的结论就是以对角线证明的方式得到的,如果说一一对应原理是无穷世界的砖瓦,对角线原理就是那点石成金的黑魔法。

无穷理论中一些最基础的结论并不需要用到对角线,但它们都需要以一一对应原理作为基础,下面先举个例子展示一一对应原理的使用方式。比如在对比自然数与偶数的数量关系时,我们可以建立一个二者的配对关系,比如用1配对2,2配对4,如果二者中所有的元素最后能够全部一一配对,没有余项,那么二者就是相等的,否则有余项的一方肯定更大。在康托尔的无穷理论里,偶数与自然数就是相等的,也就是说二者可以被配齐,这显然是违反常识的,因为很显然偶数只是自然数的一部分,在有穷下,如果给定一个范围,那么范围内存在的自然数必然比偶数多,如果自然数的总量是固定的,那么其中的自然数总比偶数多,这种大小关系也是一个有效的有穷经验,它甚至比一一对应原理更加基础,难道一一对应原理不在无穷时失效,幂集与原集的大小关系也不失效,而它就得在无穷时失效吗?康托尔是如何解释这个问题的呢?实际上康托尔也没有资格决定原理间的去留,他只是强行建立了一套以一一对应原理为唯一核心的可能方案。这相当于在传教道:如果你相信一一对应原理那么就请相信我的结论。幸而人们对实无穷都怀着一种深深的虔诚甚至是执念,急切地寻觅着一套能迎合自己,安慰自己的信仰,否则凭这套拙劣的说辞恐怕很难骗到哪怕一个钢镚。

让我们先把这些顾虑放到一边,在默认一一对应原理的情况下,怎么弥合二者间的数量差,将二者拉到一起呢?由于无穷强行被当成定量,其对象本身如数字,集合等又具有可递推性,将二者强行结合在一起,我们就只能接受一个奇怪的结论:无穷作为一个定量,但又可以随意增减。不仅是简单的+1-1,甚至是进行乘除法等运算,其仍然不变,甚至无穷-无穷,无穷个无穷仍然不变,这就使得无穷拥有了无中生有,自由伸缩的神奇能力。这虽然很荒谬,但是人们抵不住将无穷实在化的诱惑,又无法消除无穷对象可递推的固有性质,便视而不见地默认了这一切。在得到这种神力后,我们再将其与一一对应原理结合,毫无疑问,我们会得到一个简单的结论,因为可以通过任意伸缩实现配齐,任何无穷都是同一个定值。虽然配对结果显然存在任意性,它们既可以配齐,也可以配不齐,所以最终也很难说一一配对原理证明了什么,但是人们还是接受了这个离奇的结论。

如果关于无穷的性质的发现就此打住,无穷的性质也不会变的那么荒诞离奇,也就不会引起这么多的争议了。但康托尔不满足于这些,为了完成他的逻辑主义大业他必须找到无穷的所有性质,并验证所有无穷对象的数量关系,这将无穷强行拽向了一条通向美妙却虚幻伊甸园的不归路。

按照之前的推理,既然无穷可以随意伸缩,那么在一一对应原理基础上,无论它们差了多少都总能配齐,因此它们都是一样的,这似乎是毫无争议的。既然如此无穷的性质就已经论无可论了才对,康托尔又是如何再次化腐朽为神奇,为无穷带来新的奇异性质呢?他的法宝就是他那既备受赞誉又臭名昭著的对角线证明。康托尔用精致绝妙的形式逻辑证明了即便无穷可以通过增减来相互靠拢配齐,但却存在某些无穷,无论其他无穷怎么死皮赖脸递推贴近,他们就是高攀不起无法门当户对,其中一方总会存在冗余的个体,这就说明二者之间存在一道连无穷都无法跨越的坎,他们不能是同一个量,因此无穷是分级的。

这些无穷的比较中,最具有代表性的莫过于实数和有理数之间的数量比较,康托尔证明了实数不可数,即自然数和有理数无法与之一一配对。让我们先来欣赏一下康托尔精妙的证明。康托尔只需证明01间的实数是不可数的,因为按照他的理论这与所有实数的基数是相等的。我们假将01间的实数可列,然后按照以下方式列出:a1=0.b11b12……a2=0.n21b22……,左边是实数代号,右边bmn代表第m个实数的第n位数,如此类推,会列出一个实数列表,如果实数是可列的,那么所有的实数都已被列出。完成准备工作后,康托尔开始了他的表演,他构造了一个数b,这个数的第一位与b11不同,第二位与b22不同,如此操作下去,其必然与列表内的每一个数都不同,因此它不在列表内,但它显然是01间的一个实数,因此实数不可列,实数的量是比可数无穷更大的无穷。

不得不说,这个证明的简洁优雅让人赞叹,但它的严谨性是否又能接受住考验呢?首先我们来考量一个问题,可列和无穷的大小间存在何种关系,为何存在关系呢?康托尔在无穷研究中首先定义了可数无穷,即可列无穷,二者是一样的,其表示能像自然数一样通过一定顺序列举出来的无穷。但列是一个行为,只要我们能取出数字,就可继续列的行为,直至将其取尽,按照无穷理论,即便是更大的无穷如实数,他也是一个定值,其应该总能被取完,即被列完,既然都能被列完,列与量的关系在哪里呢?能否按顺序列举和量的大小之间又有何逻辑上的联系呢,无序等于多,这是什么逻辑?诚然,因为形式问题,按顺序列出无理数存在一些麻烦与困难,但这和它的大小有何相干呢?一个明显的事实是,一个可数无穷集能被有序列出,其幂集也能按照可数无穷的排列为顺序依据进行排列,但它却被定义为不可列的高级别无穷,如此,列与量的关系就更加含糊不清了。以上种种让人很难理解,列和量之间到底有什么严格的联系,为何要用非要可列与否来证明大小证明呢。

另外,为何存在一个未在列表中的数字就表明其更大,为什么在有的时候无穷个数都无法带来这个跳变,而在康托尔需要时,一个数就能变得如此价值千金呢,为什么康托尔拥有对数列完与没完的决定权,在证明自然数与偶数时无穷伸缩自如,多出无穷个数仍能强行扯平,而到了证明实数与有理数不等时用一个列完就把无穷吓得不敢动弹了,多一个数都不敢跟上,就因为他说了列完这个咒语?还是老样子,我们抛开这些问题不谈,毕竟这些质疑不能由质疑者自己解决,而对方却对这些从不做声。我们就顺着康托尔的要求,认定通过列,我们只能举出可数无穷大小的对象,对于剩余的量,不知为何,我们就是手脚僵硬,头昏脑涨,一个也列不动了。

如果列与量之间真的存在这种关系,即列出的必然是可数无穷个,左侧的a1a2……的序数正好对应了自然数集,由于康托尔b1的构造方式,右侧位数至少不会比左侧序数少,这保证了当左侧有可数无穷个数时,右侧每个数都至少有可数无穷位。二者之间存在一种数量关系,当左侧达到了可数无穷时,右侧摆出来的实数框架至少能蕴含10^n个对象,这些对象都是实数成员,这远比2^n要大的多,这说明实数的量至少是比可数无穷高好几个级别的无穷,这显然与原结论存在冲突。按照他设定的框架,他根本不需要特别构造一个b1来证明列表内还有未举出的实数,b1只是其中一种构造方式,他可以不证自明地告诉大家至少还存在10^n-n个被忽视的实数挥舞着手臂盼望着被他选中。另外,一个真正的实数列表构成的应该是一个长方形,既然假设了实数已列完,那么就同时在假设该列表是长方形,那么对角线法根本就无法用于该列表。

很多无穷理论支持者会辩护道实数尤其是无理数本就可以有无穷位数,因此这种假设不存在问题,甚至认定这种位数优势就是实数比有理数稠密而且不可列的原因。但事实上自然数的位数显然也不是有限的,它就必然也拥有可数无穷位,仅仅取出具有可数有穷位的自然数就能与01间的所有实数配对,因为二者的変元数量即位数是相同的,只要照搬即可一一对应。如此,自然数甚至还剩下很多有限位数的个体用来反客为主,把实数给比下去。这个结果与康托尔的结论截然相反,二者之间的配对差异到底是什么造成的呢?其中的猫腻就在于配对方式,虽然名义上无穷等同于无穷位,二者只是描述方式差异罢了。两军军阶一致,本应实力相当,不分高下,但当它们真的被列在纸面竞技场上进行角斗时,却会发现后者其实深藏不露,不知从哪冒出无数援军将前者碾压。因为当左侧穷竭到可数无穷时,右边穷竭到的是可数无穷位,这些体型10倍于个体的巨人体内存在着巨大的缝隙,他们的腋窝中,裤裆里竟藏下了九个小兄弟躲开赛前列表的点名。当他们的统帅康托尔使用了一个更大的框架来列数时就已经偷偷将数不清的数藏到了列表之外,待到需要时他就能把其中一位演员请出来,完成大变活人的好戏。

这种以数配位的配对方式就是在耍赖,根本证明不了任何事情,因为在这种框架设定下,任何配对都会得到同样的结果,而且因为各类型的数总有无穷位,这种列数框架的使用并不存在什么限制。举个例子,如果承认了可以以数配位,我们可以使用自然数与一个数列配对,将10.1配对,20.11配对,如此类推,由于有理数的位数显然是无穷的,因此当左侧已经列到可数无穷时,右侧也有了可数无穷位的0.11……,这个配对是可以完成的。显然我们用了另一种方式来排列有理数,偷偷告诉你,我只是打算先把0.1……这类数配对完再配对其它数,这也是一种顺序,但是显然我会发现,这样当左侧到达了可数无穷时,我已经不被允许再列数,已经不剩下自然数让我配对右侧的有理数了。既然如此,配对便已完成,但很显然,还有很多有理数没在右侧列表内,比如0.2,于是我便可以激动地宣布,有理数比自然数多。

由于无穷的伸缩性,实际上任何情况下构造出的左右配对总是会得到相等的结果,所谓可列二字根本提供不了任何限制性,你可以列数,可以列位,甚至可以将数和位打包起来列,无论你怎么规定它们蕴含的数,到达的量是同样大的,但当这些真的写在列表上时,它们间的缝隙和差距是实实在在的。列表中的配对项总是相等,能找到列表外的数不是因为其对应的基数更大而存在冗余数,而是因为构造的框架更大而遗留下了构造数字的空间罢了。康托尔的证明方式很具有迷惑性,由于左侧只是实数代号,位数的问题很容易被忽略,让人只关注是否能在右侧构造一个不在列表中的数,而当左侧被直接替换成自然数进行直接的配对时,这种位数上的不公平才会被重视起来。很明显两种证明方式是完全一致的,康托尔舍弃直接的一一配对,非要将重点放在是否可列这个问题上很可能打着自己的小算盘。

最后来谈谈那个被无数人赞誉的对角线法以及它所构造的b1。通过逐位求异的方式来区别所有的数以得到与给定所有数都不同的数确实是简洁高效的,但很显然这只适用于位数充足的情况下,但恰恰是这个位数问题导致一一对应原理失去了效力,因此对角线法则与一一对应原理看似是天造地设的一对,实则水火不相容。甚至b1的构造方式本身就是个错误,它的构造方式不仅会使得其与证明列表中的每个数不同,它根本就不可能与任何数字相同,也不可能存在于任何列表中。逐位求异让它成为了一个和任何数都不同的数,要注意到这个任何数甚至包括它自己,假如他是第N位数,他自身的第N位数需要与自己不同,那么它就不能有位置,这就禁绝了它出现在任何列表甚至存在于世上的可能。它存在与罗素悖论相似的定义问题,由于它涉及所有数字,它必须在所有数字定义完成后才能被定义,但它又是其中一个数字,它需要在自己定义完成前被定义,这是违反逻辑次序的。因此,康托尔并不是构造了一个可数列表外的一个数字,他构造的是一个不可能存在的数字,一个不存在的数字不在某个列表中不能证明任何问题。

康托尔就是靠着看似可靠的一一对应原理,靠着对配对框架的暗箱操作和那个通过对角线虚构的数字b1生生变出了一个神奇的新无穷。综上可见,整个无穷理论的证明十分不规范,存在明显的主观设计痕迹,与其说是在证明,不如说是在编故事。甚至无穷理论所套用的原理间本身也存在严重冲突,不仅对角线原理与一一对应原理并不相容,一一对应原理与可以无限制递推的实无穷本就是八字不合的一对冤家。康托尔的建立无穷计数原理所仪仗的逻辑元老们看似和谐一致,暗地里却是勾心斗角,注定要你死我活。

由于无穷性质无法通过观察得到,无穷就像一张白纸一样允许人们自由地选择并套用有穷规律,而无穷固有的可递推性给了人们根据需求增减的自由,再加上人们对一些原理的扭曲使用,这些使得对无穷的所谓证明存在巨大的操作空间。通过灵活地逻辑形式构造,人们可以利用这威力强大的三板斧拼凑出无数像模像样的证明。整个无穷计数原理的构建过程根本不是一场对无穷性质的探索活动,而是以无穷为题,以逻辑为体的作文大赛,这些所谓证明中最奇异、最不合常理的一部分反而依靠装神弄鬼脱颖而出,被人们不假思索地传播开来。从前面提到的康托尔的几项无穷设定就能看出,由于证明方法的混乱随意,连无穷王国里的封臣之间都存在着明显的矛盾,使得无穷王国不攻自灭。

除了康托尔的满分作文外,这里再简单地浏览一些优秀作文,看看它们是如何利用这些操作空间来编造无穷性质的。首先是深受社交媒体偏爱的分球悖论。分球悖论的证明依赖于韦伯斯特字典式的无穷分身法,一本记载了所有字母组合的字典中以a开头的字母组合与所有字母组合可以利用递推性掐掉位数的不均等,强行将二者配齐。同理分球悖论中如果在球上指定一个起点,所有其它点可以通过原点的移动得到,因此可以用一组上下左右构成的字符串表示一个点,然后将这些符号像韦伯斯特字典一样将点按符号切割后再与原集配齐。如用以上开头的点集与原点集配平,如此类推,用部分等同全体就能变出新的点从而组成另一个球。很显然移动标记只是众多标记方式中的一种,只是走个形式罢了,通过符号编组设计,我们可以变出任意多的无穷,比如无穷旅馆也是这种构造的一个经典案例。

除了这种传统的大变活人戏码外,通过这三板斧我们还可以表演更加精彩的把戏——万物归一,线与面上的点竟然是相同的。这个证明的思路其实非常简单,它只是简单地将双方对象配对起来,如线上一个点,坐标为 123.45,可以将其按位数奇偶分开,得到13.5 2.4,从而对应面上的一个点。然后我们就可以用可递推性将他们魔法配齐,由于它没有像在证明实数比有理数多时一样以个体配对位数构造不均等框架,两边配的都是最小元——点。在强行认为两边都已经穷竭后就没有缝隙来偷偷藏人了,如此便只能得到相等的结果。将这个结论进一步推广后,线上的点与体中的点甚至任意维度中的点都相等,如此便能实现万物归一,天下大同,无穷理论可谓法力无边,玄之又玄,引得众生俯首称臣,颇有道家那深奥意味了。

最后再来请出我们的压轴嘉宾,一位禁止被讨论的无穷隐者,他无法被凡人所直视,仿佛一个已化入虚空的仙人,千变万化,没有常形。好吧,吹了半天,如你所见,它只是一个简单的数列s=1+n+n^2+n^3……,但请相信在无穷之地,它确有着神奇的本领。这是一个让很多初识无穷的谨慎理性者第一次对无穷理论感到怀疑的数列,但他们的质疑念头往往会被以缺乏数学基础,连发散都不懂为由大加斥责。但实际上在实无穷理论下,发散的数列也必然存在一个对应值,只是无穷级数理论建立时无法处理无穷问题,或者说那时根本不承认实无穷的存在,为了维持严密性而避嫌罢了。但对于实无穷理论者而言,用发散来反驳只是因为自己连无穷理论的初衷都没搞懂,用一个蹩脚的借口逃避问题罢了。确定这个数列的意义后我们假定n1,然后将这个数列两边乘n,得到ns=n+n^2+n^3……。为什么说它千变万化,没有常形呢?因为在无穷掐头去尾的操作下,与原式s=1+n+n^2+n^3……对比,ns既比s大又比s小,既在实界内又处虚境中。如果按顺序一一配对,由于后者每项都比原值大,因此它必然比原值大,但如果将后者递退一位,将1留空,nnn^2n^2,我们又会发现,由于二者后续形式一致,而无穷下可以进行去尾操作将二者强行配齐,于是前者比后者大1,即(n-1s=-1,如此这个本是正数的数又成了负数。可见无穷理论下的量,时大时小,虚虚实实,深不可测,简直就像修仙小说里的人物一样让人着迷。

以上这些例子表明了通过灵活的对象符号编码,配对形式构造,结合无穷的可递推性进行掐头去尾的魔法配齐就能构造出任何想要的无穷数量关系。这些证明虽然形式上有板有眼,像模像样,但实际上其从源头到过程都是非常不严谨,经不起推敲,而以这些证明为砖瓦建造起来的无穷幻境是根基不稳,摇摇欲坠的。

无穷计数原理的支持者们总是喜欢用有穷思维来反驳质疑者,认为以有穷经验为基础进行无穷性质推导是一种思维局限,无穷思维就是他们的尚方宝剑,面对质疑和逻辑冲突,他们总能驳斥道:虽然很奇怪,但无穷就是这样的来回避一切争议。但现实却恰恰相反,有穷经验才是无穷性质的本源。他们从未考察过自己理论依据的来源和可靠性,幻想他们坚守的无穷性质是纯粹的实在的实无穷客观性质,殊不知他们已经迷失在一个完全由主观幻想支配的空洞世界中。

在进行无穷性质推理时我们需要时刻谨记一点,有穷下的经验规则是一切推理的基石。虽然推导的结果可能违反另一些有穷规则,但在推理过程中我们至少要保证对所选取经验规则的规范使用,确保其最起码在有穷条件下是成立的,这是维持无穷性质与客观逻辑联系的唯一依托。一旦这个界限被打破整个推理就会失去根基,与逻辑世界脱离,成为空中楼阁,其推导出来的性质也会变成纯粹的幻想。而对角线证明与一一配对原理的使用早就已经跨过了这条逻辑世界的边境线,打破了的基本的客观有穷规律,使得其整个推理完全失去任何客观性,而在无法观察无穷性质的情况下,一口咬定这就是无穷具有的性质完全就是在编故事。我们不能像无良资本家一样,恭恭敬敬地请来有穷经验来为自己撑腰,将它骗进来后又冠冕堂皇地使用所谓可递推性,通过掐头去尾和配对形式构造篡改合同,肆意违反对他的承诺,最后还厚颜无耻地宣称自己的理论已经得到了这位已经被折磨得面目全非的逻辑元老的支持,这简直就是杀人又诛心的无赖行径。康托尔口口声声宣扬的数学自由最终演变成他与他的信徒们任意妄为的借口,这种所谓自由最终也成为了禁锢人们思想的学术牢笼。

单从逻辑严谨性上看,康托尔错漏百出的的无穷计数原理能大行其道实在让人匪夷所思。反对者们并非无理取闹,故意挑刺,他们只是不识时务,只认逻辑,不认权威,严守逻辑世界的大门,拒绝通融从未证明自己的纨绔子弟罢了。必须承认,康托尔的无穷世界确实引人入胜,他花样百出的各种证明也堪称一场精彩绝伦的形式逻辑表演,他对形式逻辑的构造出神入化,让人将他的把戏信以为真。但表演终究是表演,把戏终究会被揭穿,不管我们如何为之着迷,现实总会提醒我们,迷人背后往往潜藏着危险,自由往往会带来失控,神人一般都是神棍。如果放下对实无穷的执念与对无穷计数原理的迷信,康托尔的无穷世界在理性拷问下就会褪下华丽的装潢,显得千疮百孔,破败不堪,我们不可能始终留在那个有着奇幻的实在无穷的梦里。

纵观整场无穷实在化运动就是一场人类自编自导自演自欺的闹剧,人们前赴后继地探索,不厌其烦地推理,苦苦追寻心中那个神圣的实无穷。他们从不知道他们所追求的实无穷根本不存在,他们的所有努力只是一种毫无意义的逻辑构造游戏,注定徒劳无功。无穷的那些神奇的性质与其所依托的那些看起来坚实可靠的推理都是建立在幻想的基础上的,讨论无穷就像在讨论上帝一样,它既像上帝一样神奇,又像上帝一样虚幻。人们坚信一个神一样实在无穷的存在,并自顾自地丰富他的性质,争论他的模样,特点,性格,有人为自己发现的神奇性质而骄傲,有人为自己更合理的性质而争论,他们之间的争吵和那群摸象的盲人一样,让人哭笑不得,唯一不同的是他们摸的连象都不是,只是一个假的模型。

在这场运动中真正清醒的实无穷反对者很少,几乎没有人注意到他们所研究的对象和上帝一样,从来就不存在于客观现实中。无穷讨论中的各种矛盾和冲突也不是因为其与实在无穷间的性质冲突,只是人们自己所假设的性质,引入的原理和使用方式间的一场内斗罢了。实无穷的扭曲假设本身就已经注定了无休无止的逻辑冲突,无穷对象所具有可递推性与一个实在数量的固定要求间的矛盾并不存在用规定和推理消解的可能,无论人们怎么选择规则,运用规则,怎么在可递推性上作文章,都只是在绕开设置上的冲突,始终避免不了黔驴技穷的结局。而一些规则使用上的不规范甚至自己制造了许多的混淆是非的虚空性质,带来了更多逻辑冲突。

这场高举着逻辑主义大旗,轰轰烈烈的实无穷实在化运动事实上不仅没有实现逻辑主义的理想,而恰恰与之背道而驰,走成了逻辑形式主义。这场闹剧向我们展示了逻辑形式构造的危险性,逻辑远没有我们想象中那么可靠。逻辑推理总是掺杂着主观性,我们可以通过复杂精巧的形式构造,浑水摸鱼地编造出一些以假乱真的推理,建造出一个体系巨大,内部庞杂且相互支撑的伪逻辑系统,再配以强大的权威树立门槛,在这些加持下即便是再狗屁不通的歪理也能黄袍加身,成为无人不敬的真命天子。盲目的公理化运动反而筑起了一道认知的墙,禁锁了人们的想象力与理性直觉,深陷其中的逻辑主义派们的面纱后藏着的仍是刻着十字烙印的信徒面孔,这种扭曲的真理远比无知要更可怕。同时,这场运动的错误方向也再次警醒我们,权威在现代科学中仍然具有足以扭曲一切巨大的影响力,人们的理性素养仍不足以汇聚成坚实的理性之墙与之抗衡。

但无论现实如何,在任何时候坚守理性底线的有识之士都不会完全消亡,也绝不会放弃抗争,尽管这种抗争无异于以卵击石。其实在无穷计数原理创立之初反对者并不少数,其中还包含了许多知名的数学家,但在像红色革命一般轰轰烈烈的公理化浪潮下,在康托尔和希尔伯特等大名鼎鼎的权威压迫下,无穷理论的发展方向早已被这滚滚洪流所裹挟而不可逆转,反对者们最终还是无法阻止无穷计数原理和它制造出来的实无穷怪物登堂入室,进入数学神圣的殿堂。由于无穷计数原理已经在实质上成为一个官方权威理论,因此现在的反对者们经常被看作缺乏理性素养和数学基础的闹事民科,在舆论上处于绝对的下风。他们甚至都难以凝聚在一起,只能各自为战,像散兵游勇一样面对权威的高墙望而兴叹,在小圈子内或是网络中表达一下自己的担忧。由于如今反对者们的意见与文章已经基本进入不了公众视野,被拦在了正面战场之外,这些喧嚣甚至没有让数学世界激起一丝涟漪。虽然现实中关于无穷的争论似乎大局已定,但笔者却从不认为一切会就此结束,因为无穷计数原理从未在逻辑层面站稳脚跟,仅仅依靠权威和编造出来的所谓神力所筑起的高墙终会有崩坏的一天。

 

 

4. 对当今学术研究的担忧

罗素悖论一直止步不前,而歪曲的实无穷理论却野蛮生长,一边陷入迷宫失去方向,一边堕入幻境盲目向前,人们在纷繁复杂的逻辑世界里进退无据,无法用理性感知真理之光,找到真正的出路,总是在做着无用功甚至负作用,这背后反映的是人类研究问题的视野局限和层次思维的缺失。人们一方面缺乏耐心,急功近利地想要在没有解释罗素悖论的情况下通过形式限制来逃避问题,同时又在无穷研究中胡编滥造,然后用自欺欺人地构造形式逻辑来自圆其说。另一方面,人们又将大量时间和精力空耗在毫无意义的野蛮较量中,执疚于孰对孰错的狭隘争论,落俗于说服他人,树立权威,逞一时之快,而没有将心思真的放在解决问题上。

但越着急地冲入逻辑世界寻觅方法论,就越容易陷入直觉的陷阱,深陷狭小的逻辑泥潭中难以抽身。只有保持纯粹的求知精神,去全面地了解问题内外的拓展与细节,审视问题背后的本质,俯视语言系统和逻辑系统的全貌,多求知,缓求解,才能看清整个问题以及整个逻辑体系的脉络,从而系统性地理解和解决问题。不先了解语言系统和语句表达的方式就想解决罗素悖论,不先查明实无穷的来由,理清逻辑原理间的关系就想探索无穷性质都是本末倒置的,这种所谓研究如同无头苍蝇一样毫无章法。

罗素悖论再棘手也只是广阔逻辑世界中的一个小问题,相对于解决悖论本身,更重要的是破除本质主义思维,建立灵活协调的层级思维。随着一个又一个曾不可一世的科学原理垮台,我们必须认识到再去寻找所谓绝对的本质与真理已经毫无意义。任何科学原理都只是经验总结,没有任何经验是绝对可靠的,也没有任何原则是不可舍弃的。经验和原则都只是解释与复刻客观现象的砖瓦,我们要做的是将它们统一地看作原料与工具,尽可能地建立一个稳定坚固的逻辑堡垒。一个优秀的逻辑建筑师的首要素养就是层级思维,这要求我们破除对任何理论的迷信,将一切的原理一般化,用立体的逻辑视野研究规则之间的关系,建立规则上的规则,根据已知信息灵活地重构逻辑体系解释现象和问题。如果无法站在在更高的角度整体地俯瞰它们,很容易迷失在纷繁复杂的逻辑森林里。

这种素养在解决那些真正棘手的理论瓶颈和逻辑矛盾中尤为重要,这也是那些曾为人类世界带来巨大科学理论突破的伟人们所必备的基本素养,只可惜人们往往只看到他们那颠覆世界的理论,而忽视了他们宝石般的可贵品质,不仅没有放弃本质与权威,反而恭敬地将他们的理论捧上皇座,供奉起又一个本质和权威。人们仍然自顾自地守着自家那一亩三分地,相信自己寸目所观即是天下,站在地里最高的土丘上便以为真理就在脚下,昂着头与对面的一丘之貉高声争论,仿佛自己就是逻辑世界的主人,这一切就是发生在罗素悖论与实无穷研究中的真实图景。哲学认知是一切科学的基础,如果无法破除对本质的迷信,再先进的科学理论也只是杯水车薪,人类科学发展将困锁在自制的思想牢笼中。

相对这些思考方法与研究方向上的偏误,真正最让笔者感到担忧的是逐渐背离科学本身的研究目的和性质。那个让人激情澎湃的科学黄金时代已经过去,如今科学研究已经进入了一个漫长的萧条期。随着各领域主要理论陆续建立并系统化,科学世界就像淘金热后的贫瘠荒野,对于一个普通科研者而言新的科学发现与理论突破几乎就是在痴人说梦。越来越高的学术门槛和复杂抽象化的理论也消磨着学者们的意志,这一派荒芜寂寥的科学景象着实让跋涉在追寻真理之路上的学者们望而却步。

每次时代的改变总少不了识时务的俊杰,与艰难的科研道路形成鲜明对比的是学术权力与资源的丰富,他们敏锐地察觉到了这一切,毫不犹豫地甩掉科研的包袱,投入功利的怀抱中。更高的学术门槛意味着更小更分散的圈子,也意味着更大的操作空间和更集中的权力,这些促成了割据一方的的科研专制王国,羸弱的学术规范与标准已经无力管束他们了。在学术壁垒和权威巨幕的掩护下,学术功利派们游走于权术与规则之间,行营蝇狗苟之事,依靠歪门邪道挤到了学术界的前头,最终劣币驱逐良币,权术与人情成为了学术真正的研究对象。面对学术雾圈外无知公众的监督,他们不需要真的做学术,只需要编学术,演一场套着学术外壳的皮影戏就能轻易蒙混过关。而对于圈内的权威大鳄们,他们毕恭毕敬,谨小慎微,活像旧日的奴才太监,争抢着为半斗米而折腰的机会。尤其是在专制传统浓厚的国度内,学术界迅速地过渡到旧日光景,一个小的翻版专制国度轻易而举地就被重建出来了。科学从未真正解放,只是经历了一场挣脱神权束缚过后的自由狂欢,但随着新的权威确立,学术很快从文艺复兴走向了专制主义时代,重新陷入新的权力角逐和形式主义内耗中。这样的学术专制扼杀了人们的思想自由与活力,让科学世界成为了一潭腐臭凝滞的死水,很难想象像实无穷这样的闹剧还要持续多久。

在功利主义的异化下,学者们附和权威,迎合标准,大搞形式主义,竭力强撑起一片虚假的繁荣景象,虽然学术论文和课题越来越多,但人类的科学发展已经陷入了长时间的停滞,从未有真正的重大突破。相反,很多学术领域内正在进行着如实无穷研究一般的系统性歪理建造工程。识时务者为俊杰,无论对错,只要抱紧权威的大腿,表演一番文字游戏愚弄大众,便能从权威的金库里讨得几两银子,而为了获取稳定的俸禄,他们必定会坚决维护这个欺世盗名的学术权威,即便心中有愧也不敢轻举妄为。某种程度上讲,学术研究已经沦为了一场堂而皇之的分赃大会。在那狭隘的分赃标准下,谄媚表演永远比真才实学更受欢迎,直指功利的学术商人也总是比心向真理,严守戒律的苦行僧们更能迎合权威制定的标准,从而捞到更多的资源。在功利主义的主导下,学术人才的筛选逐渐发展成高度成熟的内卷式竞争,只有一心迎合标准,信仰权威的纯粹功利主义者才能从中脱颖而出。而如此培养出来的所谓人才也会毫不犹豫地加入这场权威主导的分赃盛宴中,成为驱动这个功利闭环的新动力。

如今,学生不在乎自己学的东西是否有意义,十年寒窗空废在那狭隘的考试内容间挤的头破血流,却从未对窗外广阔的知识世界张望过一眼。学者不在乎自己的研究是否有价值,费尽心思地摇摆身姿娇柔矫作以登上大雅之堂,早已分不清东南西北,更不知真理在何方。这样的选拔最后挑选出来的不是真正的学术人才,而是精于巧立名目,人情世故,形式主义的诈骗高手,这些鸠占鹊巢的所谓人才正在挤压着真正学术研究者的生存空间和舆论地位。学术的每一个环节都正在背离科研初衷,过去最受人们尊崇的科研工作已经腐化变质,只剩一股酸馊铜臭味,也许有一天我们不得不亲手推倒这座曾经神圣不可侵犯的象牙塔。

最可悲的是迷信权威的社会大众就像鲁迅笔下那些为行刑者高声喝彩,对就义者冷漠嬉笑的愚民一样,为学术的畸形发展推波助澜。人们没有给予那些敢冒天下之大不韪的真理斗士们以足够的尊重,无瑕聆听和思考他们的真知灼见,无论站出来的是圈内的教授还是同在圈外的平民都被一律视作无知无畏,哗众取宠的闹事民科。在巨大的阻力下,逆行者们的努力也只能付之东流。

虽然学术乱象横行,但学术变革的时机还未成熟,只有在科学的混乱和停滞真正拽紧人类的后颈之后,其激发出的的矛盾和愤怒才能助燃星星之火形成燎原之势。而在那之前,我们唯一能做的事情就是蛰伏和忍耐,延续希望之火,撑直理性脊梁,忍辱负重将发掘的成果和人才尽可能的保留下来。笔者自知人微言轻,所述拙见很难得到重视和认可,我也不敢奢望短期内实无穷反对者的肺腑之言能得到人们的理性尊重和客观对待,只希望在有生之年能看到对罗素悖论的研究有所进展,关于无穷的研究能迷途知返,重回正轨,更希望人类科学能浴火重生,焕发出更加纯粹热烈的理性光芒。

 

 

作者:梁灿文 邮箱:981808171@qq.com 微信:lcw13527141353

 

 



返转到

   zmn-000文清慧:发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录

       




 




https://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1295464.html

上一篇:Zmn-0592 欧阳耿:现有传统无穷理论体系的缺陷所决定的“无穷悖论综合症”
下一篇:Zmn-0594 thebeater:一个0.9循环等于1的初等“证明”

1 范秀山

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (2 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2022-1-28 16:33

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部