Zmn-0601  thebeater：从无穷序列到非标准分析，简评zmn-597和zmn-599

【编者按。下面是thebeater先生的文章。是对《zmn-0597》和《zmn-0599》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

题目：从无穷序列到非标准分析，简评zmn-597和zmn-599

正文：

从定义、公理走到命题，这是数学家干的事情；但是选取什么样的公理和定义，这就是个哲学问题了。

非常感谢林益老师和数森老师的点评，使我受益匪浅。尤其是数森老师，原来我的这些见解早已被数森老师在zmn-541里讨论的很清楚了，我真是关公门前耍大刀啊。但是对于数森老师的非标准分析的见解，我有一些不同意见，在此发表一下。

我先回顾一下我在zmn-594里的内容。关于0.9循环，我是这样定义的。

定义1.1 “0.9循环”是比0.9,0.99,0.999,……都要大的最小实数

定义1.2 “0.9循环”是比0.9,0.99,0.999,……都要大，但不超过1的唯一实数

定义1.1和1.2是等价的，并且定义了唯一的实数，这在zmn-594里已经讨论的很清楚了。并且我在zmn-594写了证明，这个实数“0.9循环”就是1。但这个定义好不好呢？这是个哲学问题，我先在这里按下不表，先来评论一下林益老师的zmn-597。

林益老师认为，0.9循环“在不断变化之中”，“可以表示为无穷级数0.9+0.09+0.009+…”，从而“不是实数”。在zmn-541中，数森老师批驳了这一观点，认为把0.9循环“规定为潜无穷（动点）是不合理的”。而在这里，我先暂且接受林益老师的观点，尝试用更加数学的语言表述林益老师的意思，请您看一下我有没有理解正确。定义2.1 假设x1,x2,x3,…都是实数。我们把形如(x1,x2,x3,…)的序列称为实数序列

定义2.2 我们称实数序列全体为“林数”

定义2.3 设x是实数，我们把x与实数序列(x,x,x,x,…)视为等同，从而所有实数都是“林数”

定义2.4 我们定义“0.9循环(LY)”为“林数”(0.9,0.99,0.999,0.9999,0.99999,…)

“林数”之间可以加减乘，如果分母的每个位置都不是零的话还可以除，可以说是与实数非常像的数了。而且“0.9循环(LY)”把林益老师提到的无穷级数的每一项都放进来了，体现了“不断变化之中”的这个意思。而且很显然，“0.9循环(LY)”并不等于1，即“林数”(1,1,1,1,1,…)。

那么“林数”是不是实数的好的推广呢？我认为不是的。原因就是，两个“林数”一般不能比较大小！那我们凭什么说0.9循环与1谁大谁小呢？我们要研究的就是大小关系，但是“林数”却没法解决这一关系，这与我们的研究目的背道而驰。数森老师在zmn-541中也指出了这一问题。我也给一个类似的例子。我们考虑两个“林数”

 (0.9,0.99,0.999,0.9999,0.99999,0.999999,…)

 (0.99,0.99,0.99,0.99999,0.99999,0.99999,…)

每一位来看，这两个“林数”的大小关系此消彼长，没办法确定大小关系。这似乎不太合理。我想，如同林益老师一样，许多数学家也碰到了这种问题，但是先贤的智慧确实值得敬佩，数学家想到了一个方法，可以解决“林数”不能比较大小的问题，这就是非标准分析。数森老师在zmn-541中大概介绍了非标准分析的概念，也就是利用一个非主超滤，在实数序列全体上定义了一种等价关系，然后得到全体等价类，称为非标准实数。这里的数学内容比较复杂，如果大家真的有兴趣我可以自己或者跟数森老师合作写一个具体的介绍。有兴趣的话，各位老师可以看非标准分析创始人鲁滨逊的书，还有中科大的汪芳庭老师的书《数学基础》中的4.4节给了一个非常入门的介绍。我在这里就不展开讨论了，就我个人的理解给一些结论吧。按照数森老师的记号，实数序列我们用圆括号表示，而等价类，即非标准实数用方括号。

定义3.1 “0.9循环(SS)”定义为非标准实数[0.9,0.99,0.999,0.9999,0.99999,…]

在此基础上，确实“0.9循环(SS)”是严格小于1的。

正如最开始说的，如何选取定义是哲学问题，似乎每个定义都有各自的好处，也有各自的问题。但是因为数学是严谨的，选定一个定义就必须接受他所带来的所有推论。这就像娶媳妇一样，不能又看着张家姑娘好看，又惦记李家姑娘贤惠。请允许我简单分析一下三种定义的优缺点吧。

“0.9循环”（定义1.1）

优点一、只用了实数理论，这个理论大家中学都学过，易于接受

优点二、 定义2.1十分的合情，我们把一个数叫做0.9循环，肯定希望他是比那些0.9,0.99,0.999,……都要大的最小数。只是把“数”框定在实数范围内是否合理的问题了。

缺点一、引出了0.9循环等于1这一不符合某些人直觉的结论。

“0.9循环(LY)”（定义2.4）

优点一、符合林益老师“不断变化之中”的直觉

缺点一、数森老师就不赞同林益老师这个直觉，想必他肯定不喜欢这个定义

缺点二、“林数”往往不能比较大小，但是我们想研究的就是大小关系，这与我们的目的背道而驰

“0.9循环(SS)”（定义3.1）

优点一、也部分符合林益老师“不断变化之中”的直觉，而且非标准实数可以比较大小

但是缺点呢，我还是叫做是问题吧。这里可能需要跟数森老师仔细讨论。以下是个人见解。实际上，我个人对于非标准实数这个理论非常喜欢，对此理论毫无怀疑之处，但是我想提出的意见在于，在非标准实数的框架下，把“0.9循环(SS)”称为0.9循环是否合理？为此我提出如下问题。

问题一、太过繁杂

非标准实数理论需要熟悉超滤的理论，而超滤的存在性又需要选择公理。我看到选择公理在啄木鸟中讨论多次了，如果我们接受选择公理，那就要接受不可测集。在这么一个简单的、小学生都能理解的0.9循环问题上，是否有必要引入如此高深的理论呢？这值得商榷。

问题二、与其他无穷循环小数之间的关系

直觉上来看，0.9循环和0.99，99循环似乎是一样的数，因为写出来的话一模一样。但是按照数森老师的构造，我们应当把0.99循环定义为[0.99,0.9999,0.999999,…]，但这个非标准实数是严格大于“0.9循环(SS)”的，这符合直觉吗？

问题三、与定义1.1的类比

假设有人生活在非标准实数的世界里，把非标准实数作为他们的计量工具使用，就像我们用实数计量一样。那么他们使用的数数工具是什么呢？想必是非标准自然数吧。因此，对于非标准实数而言，用非标准自然数去替代自然数才是比较合理的选择。更数学地说，如果我们用非标准集合论的公理去构造了非标准实数，那么标准自然数全体在非标准自然数中不是集合（如果是的话，非标准实数就不满足实数的确界存在公理了）。如果套用定义1.2的格式，“0.9循环(SS)”确实是一个比0.9,0.99,0.999,……都要大并且小于1的非标准实数（这样的非标准实数并不唯一）。但是，这个命题并不是合法的命题，因为{0.9,0.99,0.999,……}不是非标准集合论下合法的集合。那么似乎我们可以这么定义：

定义3.2 “0.9循环(NS)”是比任何1-10^(-N)，N是非标准自然数都要大的最小非标准实数

那么可以证明，“0.9循环(NS)”就等于1了。请数森老师看一看，这样定义是否更加自然？

问题四、还是比较大小的问题

前面我用来想林益老师提问的例子，这里一样可以拿进来。

 [0.9,0.99,0.999,0.9999,0.99999,0.999999,…]

 [0.99,0.99,0.99,0.99999,0.99999,0.99999,…]

这两个非标准实数，哪个大？虽然他们有确定的大小关系，但是这个大小关系跟一开始选好的非主超滤是有关的。如果选不同的非主超滤，就会得到截然相反的结果，甚至有可能他们相等！虽然非标准实数可以比较大小，但是比较大小的结果却未必清晰。因此，谈论非标准实数之间的大小关系，有时候也是无意义的。这合理吗？

因此，基于以上的讨论，我觉得定义1.1应当是合理的定义。乍一看，似乎“0.9循环”与1毫无关系。但经过了zmn-594的一番证明之后，却能够证明他等于1！这种出乎意料之外，又在情理之中的现象，不正是数学之美吗？而且哪怕在非标准分析的框架下，利用非标准分析的语言同样可以写出定义3.2，并且证明非标准分析下的0.9循环等于1，这体现了数学的大一统之美啊！

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