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Zmn-0631 薛问天：正确认识悖论和数学的自由与自冶，评李鸿仪先生的《0610》
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Zmn-0631 薛问天：正确认识悖论和数学的自由与自冶，评李鸿仪先生的《0610》
【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对李鸿仪先生《Zmn-0610》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
正确认识悖论和数学的自由与自冶，
评李鸿仪先生的《0610》
薛问天
1 ，什么是悖论。
首先对悖论这个概念要有正确的认识。李先生所提出的【谷堆悖论】实际上不是悖论，而是一个谬误的论断。
关于什么是悖论，我认为在业界已基本上达成共识，那就是：在关于背景知识的一定假定下(I)，运用正确的逻辑推理(II)，推出了一个自反的命题(III)，所谓自反的命题，就是如果这个命题为真，可推出此命题为假，如果此命题为假，可推出此命题为真。这就是悖论的三要素: (Ⅰ) 有一定的背景知识的假定， (Ⅱ) 正确的逻辑推理，(Ⅲ)推出自反的命题。
李鸿仪先生说【所谓悖论，就是自相矛盾，】这是对的没错，但这只是悖论的笫三要素，悖论中推出的自反命题，是个自相矛盾的命题。
但是李先生说【所谓悖论，都是概念或思维不清楚造成的，】这句话就没有说清悖论的实质。悖论中的逻辑推理是慨念和思维清晰的正确的逻辑推理，凡是在推理中有逻辑错误，所推出的就是错谬的命题，这不能算作悖论。悖论的产生是由于在背景的某些假定中有不当之处，不是逻辑推理的错误。
李先生所说的【1）谷堆悖论
1粒谷形不成堆，2粒谷形不成堆，3粒谷形不成堆.....世界上没有谷堆？】
是错误的推理形成的谬论，怎么能由1粒,2粒,3粒谷形不成堆，就推出世界上没有谷堆呢？这是逻辑推理错误导致的谬误命题，所以不能算作悖论。
当然李先生说的【只要概念、思维足够清楚，根本就没有什么数学悖论。】也没有说中悖论的要害。消除悖论是要发现和进一步改正这些有关背景知识的不当假定。靠【概念、思维足够清楚】，没有正确发现背景知识的这不当的假定，仍然消除不了悖论。
李先生说谷堆问题【这里的关键在于要有关于堆的明确且合理的定义】，我认为是对的。谷堆问题，不是悖论，也不是数学问题。是有些人想对谷堆这个模糊的概念给以明确的数量的定义。这类问题在日常生活中也常见，例如对老年、中年、青年和少年定个具体的年龄界线，对高收入、中等收入、低收入和贫困收入定个具体的钱数等，定出个具体界线虽然不一定准，但在使统计操作正常运行等方面还是有用的。因而如何定义谷堆，要不要分小堆、中堆和大堆，以及如何定，这是完全可以根据谷物存储方面的需要來定的。这里面沒有悖论也不是数学问题。
2 ，关于数学的自由和自冶。
李鸿仪先生认为【数学是自由的，只要自洽，】是【数学界却存在一些糊涂观点。】我认为这个观点是不对的。纯粹数学和应用数学的研究方法不同。纯粹数学只要所建立的数学系统是自冶的，无矛盾，就认为它是正确的数学理论。因为自冶的数学系统无矛盾，就有实际应用的可能。而应用数学才是研究哪些数学理论更加有用。
李先生认为【既然数学定义是用来界定数学对象的，数学定义是否合理就与其所要界定的对象是否存在且有意义有关。】要求数学家在定义数学概念时，以【对象是否存在且有意义】作为合理的标准，这是不现实的。因为数学研究靠的是推理，所研究的对象不一定当时就是已经存在的亊实和有重要意义。很可能是若干年后才被证实的。因而数学研究的合理性的标准就是无冲突、无矛盾的自冶。只要自冶就是合理的。
实践证明，有不少数学理论的出现都是根据自冶原理研究出來的，在他们研究的时候并不知道结果有何用途，但最后的实践证明有用。例如最近透露华为的5G之所以领先，是用到了一个数学编码的成果，而研究这个数学编码的人，并不知道这个成果如此有用。
理论和实践是相辅相成密切关联的，一定要辩证地來认识。理论來源于实践这是当然的道理，但理论研究超越实践，理论在前实践在后的情况也常常发生。就拿计算机來说，20世纪30年就有了图灵机这个通用计算机的数学理论，但真正的通用电子计算机是在40年代末才出现的。数学上的复数和非欧几何是最典型的例子，是先在数学上发现，后來才找到现实世界的重要应用。
李鸿仪先生说【科学的定义只能发现已存在的事实，而不能创造不存在的“事实”。】
在科学研究中，特别在纯粹数学(理论数学)的研究中，这种描述不是真正的实际情况。在实际的数学的研究中，并不是只在【发现已存在的亊实】，而是还包括根据自冶原理，去发现甚至创造那些【可能存在的事实】，而这些亊实当时并不是已经存在，或已知存在。如果只限于【发现已存在的事实】，则大大限制了数学等科学的发展。有些数学理论，在开始出现时，很多人都认为【不可能存在】，但最后亊实证明，不仅存在，而且有重要应用。所以在数学的科学研究中，不要总是指责说数学研究的对象，不是【已存在的亊实】。其实只要是自冶的，是可能存在的，就应鼓励研究。
例如现代物理学中暗物质的发现，并不是用实验发现的【已经存在的事实】，而是理论推出现实世界应该存在的亊实。
另外李先生对自冶的理解，也存在问题。自冶在数学中要求是相当高的，要求数学具有高度的数学严密性，任何数学概念都要有严格的定义。任何判定都要有严格的证明。不能存在任何矛盾，数学系统必须满足协调一致性(无矛盾性)等。而李先生却对自冶性胡乱描述，说【比如说，1+1＝3和1+2＝4、3-1＝1等都完全是自洽的，】，这怎么能自冶，这同自然数中的1+1=2，1+2=3，3-1=2完全矛盾，怎么能说是自冶的呢？
李先生说【数学中存在着一些未加定义就开始使用的概念，比如说后继数，公理化集合论中的集合概念等，理由是它们是原始概念，找不出更普遍的概念来定义它们。】
数学中要求每个概念都要有严格的数学定义。而且对定义也有非常严格的要求。并不是说要用【更普遍的慨念去定义它们】。而是要用已有定义的概念和原始概念去定义尚未定义的概念。任何一个数学概念都要有一个定义链，一直归宿刭未定义的原始概念。数学中只有少数概念是没有定义的，称为原始概念。而原始概念的确切含义，则是由公理來约束和规定。
例如自然数的「后继」，在皮亜诺公理中是原始概念，它的确切含义和属性是由皮亚诺公理规定的，如皮亚诺的这五条公理除第一公理外都与后继概念有关：
Ⅰ、0是自然数；
Ⅱ、每一个确定的自然数a，都具有确定的后继数a' ，a'也是自然数。
Ⅲ、0不是任何自然数的后继数；
Ⅳ、不同的自然数有不同的后继数；
Ⅴ、设S⊆N（自然数），且满足两个条件（i）0∈S；（ii）如果∀n∈S，那么n'∈S。则S是包含全体自然数的集合。即S=N。
也就是说「后继」虽然在皮亜诺公理表述的自然数理论中，是无定义的原始概念，但它的确切含义，完全由公理所决定。
在公理集合论中，集合是原始概念，所有的元素都是集合。而什么是集合呢，集合就是满足所有集合公理的对象。因而虽然集合这个概念没有直接的定义，但集合的所有含义都是由集合的公理所决定的。
在集合论中，「后继」已不是原始概念，而是有定义的。 集合a'=α∪｛a｝定义为元素a的后继。
集合论中，自然数是有定义的。公理集合论中的无穷公理说存在着归纳集合。自然数集合定义为最小的归纳集合。在公理集合论中可以严格地证明，这样定义的自然数完全符合皮亚诺的五条公理。在集合论中皮亜诺公理成为可证明的定理，可由集合论的公理进行严格的证明。
李鸿仪先生认为原始概念是【找不出更普遍的概念来定义它们。】说【数学定义的目的是为了界定某一个数学对象，只要不会产生歧义，】
这种对数学定义的理解过于狹窄，【不产生歧义】只是对定义的要求，而不是目的，定义的目的是为每个数学概念给出它的确切含义，因而必须用已经有定义的概念，也就是已经知道含义的概念去定义未知含义的概念，在定义中所用到的概念不是李先生说的什么【更普遍的概念】，在定义中用到的概念你必须知道它的确切含义，【更普遍的概念】你知道它的确切含义吗？任何一个数学系统，在定义链中最后都要归宿到没有定义的原始概念，这些概念的确切含义不是由定义给出，而是由它满足的公理所给定。
李先生文中还说【界定的方法可以有多种多样，并不一定要用更普遍的概念来定义。而且有些所谓原始的概念，其实并不原始。例如，集合是由元素组成的，先有元素，后有集合。因此，元素是比集合更原始的概念。只要把元素这一概念定义好了，就可以很明确地定义集合。】
在公理集合论中，是把元素㸔作是集合，任何集合都可作为元素而且任何元素都是集合。所以集合是原始概念。用公理來决定集合的确切含义。李先生说的这段话太随意了，想把元素作为原始概念，你如何用元素来定义集合？如何建立元素的公理，來规定元素的确切含义？你定义一下试试㸔，不那么简单，说得太随意了，你做做看，行不行做了才知道。不做光说，是空话，一点意义都没有。
关于谷堆的指责和抱怨也是一样，李先生说【这种对重要的概念不加定义就使用的现象也是不正常的。仍然以谷堆悖论为例，如果没有谷堆这一概念的精确定义，能讨论清楚吗？如果不加定义而用一大堆未必正确的规定来规范谷堆这个概念的使用，难道不是舍近求远走弯路吗？ 】
说得很好听，你做做㸔，你去给谷堆下个精确定义试试看。行不行做了才知道。不做光说，是空话，一点意义都没有。
参考文献
Zmn-0610 李鸿仪：从一些数学悖论看数学家思维的局限（一）：谷堆悖论
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zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
https://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1299936.html
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