Zmn-0632 李鸿仪：从一些数学悖论看数学家思维的局限性（二）

：托里拆利小号悖论

【编者按。下面是李鸿仪先生的文章。是李鸿仪先生的《Zmn-0610》文章的续篇。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

从一些数学悖论看数学家思维的局限性（二）

：托里拆利小号悖论

李鸿仪

17世纪的几何悖论：意大利数学家托里拆利（Evangelista Torricelli）将y=1/x中x≥1的部分绕着x轴旋转了一圈，得到了小号状图形。然后他得出：这个小号的表面积无穷大，可体积却是 π。

有限的体积，却有无限的表面积，很多数学家因此感到困惑：如果我们把小号看作一个容器，难道我们漆一个容器所需要的漆比装满这个容器所需要的漆更多？

有的数学家甚至因此怀疑相应的积分公式是否可靠，但是查来查去又查不出任何问题。

有限的体积，无限的表面积，这个真的很奇怪吗？

表面积和体积是单位不同的两个概念，根本就没有可比性，所以有限的体积完全可以有无限的表面积。例如，我们在切蛋糕的时候，虽然蛋糕的体积并没有变，但是它的表面积却增加了，而且如果这个蛋糕可以切成无限薄的话，这个表面积就可以无限大。

数学家们不能只看数字的大小吧，至少还要看看单位吧，不同的单位有可比性吗？比如说100比1大，所以100分比1元更值钱？

在我教的物化中，有《表面化学》一章，就是专门研究表面积与体积之比的。比如说体积不大的活性炭，却可以吸附大量的有害气体，就是因为它有很多微小的孔，表面积很大。在我们看来是再正常不过的事情，数学家竟然把它当做悖论在研究？

至于漆小号所需要的油漆的体积，等于漆的厚度乘小号的面积。既然小号的内径可以无限小，漆的厚度为什么不可以也是无限小？而如果漆的厚度是无限小的话，所需要的漆完全是可以有限甚至无限小的，完全可以远远少于灌满小号所需要的漆，存在什么悖论？

怀疑相关的积分公式是不是有问题则更是令人啼笑皆非。类似的问题并非一定要用积分公式来讨论：小学生也会证明，空心圆柱体的表面积与圆柱体体积之比为4／r（内外表面都算）或2／r（只算内表面或外表面），因此半径r趋于零的时候，这个比值就趋于无限大，非常正常，哪里有悖论啊？

总之，这个所谓的悖论，纯粹就是混淆了体积和表面积这两个不同的概念所致，根本就不应该出现。

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