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Zmn-0632 李鸿仪:从一些数学悖论看数学家思维的局限性(二) :托里拆利小号悖论

已有 314 次阅读 2021-8-17 09:31 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流|文章来源:转载

Zmn-0632 李鸿仪:从一些数学悖论看数学家思维的局限性(二)

:托里拆利小号悖论

【编者按。下面是李鸿仪先生的文章。是李鸿仪先生的《Zmn-0610》文章的续篇。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

从一些数学悖论看数学家思维的局限性(二)

:托里拆利小号悖论

李鸿仪

 

17世纪的几何悖论:意大利数学家托里拆利(Evangelista Torricelli)将y=1/x中x≥1的部分绕着x轴旋转了一圈,得到了小号状图形。然后他得出:这个小号的表面积无穷大,可体积却是 π。

有限的体积,却有无限的表面积,很多数学家因此感到困惑:如果我们把小号看作一个容器,难道我们漆一个容器所需要的漆比装满这个容器所需要的漆更多?

有的数学家甚至因此怀疑相应的积分公式是否可靠,但是查来查去又查不出任何问题。

有限的体积,无限的表面积,这个真的很奇怪吗?

表面积和体积是单位不同的两个概念,根本就没有可比性,所以有限的体积完全可以有无限的表面积。例如,我们在切蛋糕的时候,虽然蛋糕的体积并没有变,但是它的表面积却增加了,而且如果这个蛋糕可以切成无限薄的话,这个表面积就可以无限大。

数学家们不能只看数字的大小吧,至少还要看看单位吧,不同的单位有可比性吗?比如说100比1大,所以100分比1元更值钱?

在我教的物化中,有《表面化学》一章,就是专门研究表面积与体积之比的。比如说体积不大的活性炭,却可以吸附大量的有害气体,就是因为它有很多微小的孔,表面积很大。在我们看来是再正常不过的事情,数学家竟然把它当做悖论在研究?

至于漆小号所需要的油漆的体积,等于漆的厚度乘小号的面积。既然小号的内径可以无限小,漆的厚度为什么不可以也是无限小?而如果漆的厚度是无限小的话,所需要的漆完全是可以有限甚至无限小的,完全可以远远少于灌满小号所需要的漆,存在什么悖论?

怀疑相关的积分公式是不是有问题则更是令人啼笑皆非。类似的问题并非一定要用积分公式来讨论:小学生也会证明,空心圆柱体的表面积与圆柱体体积之比为4/r(内外表面都算)或2/r(只算内表面或外表面),因此半径r趋于零的时候,这个比值就趋于无限大,非常正常,哪里有悖论啊?

总之,这个所谓的悖论,纯粹就是混淆了体积和表面积这两个不同的概念所致,根本就不应该出现。




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