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Zmn-0619 薛问天：关键是过第二关。评师教民先生《0603》
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Zmn-0619 薛问天：关键是过第二关。评师教民先生《0603》
【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对师教民先生的《Zmn-0603》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
关键是过第二关。
评师教民先生《0603》
薛问天
一，师教民先生的关键错误是把复合函数看作是【以ⅹ=g(y)为定义域的f函数】。他的《0603》沒有对他的错误提出任何新的辩解。
我在《0596》中引述了师教民先生親口说的两句话，说明他已认识到【复合函数的对应法则是 f 就错了】和【把函数 x=g(y)作为复合函数的定义域是错误的】。他在《0603》中说【我早就在我以前的多篇论文中已经驳倒】，这是你親口说的话，你驳不倒，驳倒的含义是这不是你親口说的话。白纸黑字，你否定不了你写的文字。你親口说的话直接批判了你的错误观点。
师教民先生说这只是他说的【半句话】，.【薛问天先生对我的上述这段话中的： 同理前中的但是前的关于函数 h 的内容不敢评论、 同理后中的但是后的关于函数 f 的内容不敢评论， 只是挑出【函数 f 和复合函数 f×g 由于函数关系不同， 所以认为复合函数的对应法则是 f 就错了】 这半句话来评论， 是没有能力评论我这整段话的表现，是没有理由说明我这整段话错误的表现． 】
【我说的全段话为：『我〖始终认为【把函数 x=g(y) 作为复 合函数的定义域】是错误的〗， 但是， 我也〖始终认为【把函 数 x=g(y)作为函数 y=f (x)的定义域】是正确的〗，由这半句话来评论， 是没有能力评论我这整段话的表现，是没有理由说明我这整段话错误的表现． 】
关于这点，我不能不批评师教民先生的智商了。关于师教民先生所说的【同理前中的但是前的关于函数 h 的内容】和【 同理后中的但是后的关于函数 f 的内 容】中的错误观点，我一直在批评，怎么能说我【不敢评论】、【没有能力评论】和【没有理由说明我这整段话错误】呢？师先生的智商已经低到，看不出我在《0596》文中所讲的这些话就是对他错误观点的评论和批评。
我在《0596》中讲了很多。如说: 〖师先生的关键错误是把复合函数看作是【以ⅹ=g(y)为定义域的f函数】。既然认为【该函数】同复合函数是【同一函数】，【该函数】就是复合函数。那么认为 复合函数的对应法则是 f 就错了．而认为【该函数的函数关系是f】能不错吗？既然【该函数】就是复合函数，认为把函数 x=g(y)作为复合函数的定义域是错误的，难道【该函数的定义域是函数x=g(y)】这样的断言还不错吗？真不知师先生用的是什么逻辑？〗
〖师先生错误地认为同一个函数可以函数关系不同。他认为「同一个函数当然其函数关系是相同的，定义域是相同的」的论断是错误的。他说【理由为： 函数 y=|x|和 函数 y =√(x2) 是同一个函数，但 y=|x| 和 y = √(x2) 的函数关系不同．】师先生所讲的这个理由是完全错误的，因为y=|x| 和 y = √(x2) 的函数关系完全相同，说其【函数关系不同】根本就是错误的。〗
〖师先生认为：「同一个函数当然其函数关系是相同的，定义域是相同的」的说法是错误的【是有严重问题的】，不是函数的二要素。并说它是函数的二要素 【当然错误】。
其实这就是函数二要素原理的基本内容。教科书中说道「构成函数的要素是： 定义域 Df 及对应法则 f． 如果两个函数的定义域相同， 而且对应法则也相同， 那么这两个函数就是相同的， 否则就是不同的． 」已经说得很清楚，并不是【画蛇添足】。同一个函数当然其函数关系是相同的，定义域是相同的。师先生认为这不是二要素原则的看法当然是错误的。书中说的「否则就是不同」当然指的是函数不同。即「如果两个函数的定义域不同或者对应法则不同， 那么这两个函数就不是同一个函数」，这是千真万确的。师先生的错误关键是，y=|x| 和 y = √(x2) 的函数关系完全相同，而师先生说其不同是错误的。h是复合函数的记号，h的函数关系就是f·g，当然完全相同，说其不同也是不对的。师先生所依据的根据是错误的，因而得出错误的结论。〗
〖把复合函数看作是函数关系是f，定义域是函数x=g(y)的观点是错误的。......〗......。
师先生的智商竟然如此低下，看不出这就是对他的【整段话的评论】，这就是对他的错误观点的评论。师教民先生直到现在还在坚持这些错误。错误地认为复合函数是【以ⅹ=g(y)为定义域的f函数】。如果他真的有能力和敢于对他的这些错误提出辩解，对这些错误做出说明，完全可以说出来。但是，他在《0603》中提不出任何辩解和理由，却又不肯承认这些错误。
二，关键是要过笫二关。
回想一下我们讨论的來由。我们的讨论是由师教民先生提出的问题开始的。师教民先生说【我己经请教过的上百名大专家都回答不了我请教的问题。形成了学生把老师问得张口结舌，老师把专家问得无言以对的尴尬局面，而使微积分的教学无法真正进行下去！】
他的问题是，书中规定dx=Δx，但是【在一般函数y=f(x)中有dx≠Δx。】他举了两个例子。
【① 设y=√x，则x=y2，故dx=2yΔy=...≠Δx。
② 设y=f(x)，则ⅹ=g(y)，则...
dydx=ΔyΔx，如果规定dx=Δx，则有dy=Δy，这就与Δy=dy+o(Δy)≠dy相矛盾了，从而进一步敲定了极限理论规定的dx=Δx是错误的。】（师教民先生的信件，查看《Zmn-012》）
不知师教民先生现在的观点如何。是否承认他若干年前所【敲定了极限理论规定dⅹ=Δx是错误的】的论断是错误的。
承认这个错误要过一个关。即要分清微分有两个不同的微分，一个是函数自变量的微分，一个是函数因变量的微分。微积分中规定函数自变量的微分dx=Δx，即笫一个例子中函数y=√x的自变量的微分dx=Δx，而师先生列出的是函数x=y2的因变量的微分，dx≠Δx很正常，这里没有矛盾没有错误。同样，在例②的dydx=ΔyΔx中的dy,dx必须同时是因变量的微分，或同时是自变量的微分。
说清楚点，就是
设有可导的函数y=f(x)，x=g(y)，f和g互为反函数，即y=f(g(y))=y。我们知道:
dy=Adx，A=f’(x)=dy/dx......①
dx=Bdy，B=g’(y)=dx/dy......② 。
为了叙述方便，我们把①同②中的dx、dy分别记作为dx①，dx②，dy①和dy②。上式变为:
dy①=Adx①，A=f’(x)=dy①/dx①, dx①=Δx......①
dx②=Bdy②，B=g’(y)=dx②/dy②, dy②=Δy......② 。
这样就非常清楚，是dx①=Δx，dx②≠Δx，因而没有任何矛盾。
在例2中，由于f和g互为反函数，导数互为倒数: f‘(x)=1/g’(x)。所以有
(dy①/dx①)=1/(dx②/dy②)
再根据倒数的性质有
dy①/dx①=dy②/dx②，和
dy①dx②=dy②dx①=ΔyΔx。
这里由dx①=Δx只能推出dy②=Δy，推不出dy①=Δy，所从这里沒有同dy①≠Δy的矛盾。
我想，师教民先生的这一关应当已经通过了，已经认识到他质疑的错误了。但是还有第二关，现在的问题是师教民先生的第二关没有过，这笫二关是不仅要认识到微分不仅对于因变量同自变量的微分是不同的微分变量，还要认识到即使都是因变量的微分，对于不同函数的因变量的微分，它也是不同的微分变量。具体说來就是要区分复合函数的因变量的微分，同构成复合函数的构成函数f的因变量的微分。仔细说來是这样。
由于正反函数，可以㸔作是复合函数的特例，由正反两个函数y=f(x)和x=g(y)可以构成复合函数，y=h(y)=f[g(y)]，对此复合函数的微分是
dy③=Cdy②，C=h'(y)=AB=f’(x)g'(y)=dy③/dy②......③
在这里函数y=h(y)和函数x=g(y)的自变量的微分都是Δy，所以相等都是dy② ，第二关的关键是关于函数y=f(x)和复合函数y=h(y)，它们的因变量都是y，但是要认识到它们的微分变量是不同的。即复合函数h的因变量微分是dy③，而函数f的因变量微分是dy①。它们的不同实际上很容易理解，因为函数f的微分dy①=AΔx，而复合函数h的微分dy③=ABΔy=Adx② (因为BΔy=dx②)，我们已知一般Δx≠dx②，所以一般dy③≠dy①。
师教民先生就硬是要混淆复合函数h和函数f的关系，说dy③=dy①。当然如果dy③=dy①，就同实际上的dy③≠dy①发生矛盾。所以说师教民先生的问题，就是过笫二关的问题。就是只要师先生过了第二关，认识到函数f和复合函数h是不同的函数，它们的微分变量是不同的，所有的问题就都解决了。
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