Zmn-0610 李鸿仪：从一些数学悖论看数学家思维的局限（一）：谷堆悖论

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从一些数学悖论看数学家思维的局限性

（一）：谷堆悖论

李鸿仪

所谓悖论，就是自相矛盾，在逻辑上是绝对不允许的。因此，任何一门学科，如果还存在悖论的话，只能说明这门学科还很不成熟，需要大力发展。

在《悖论的非客观性》【1】一文里，我曾经说过：只要概念、思维清楚，任何悖论都是可以消解的，甚至根本就不应该出现。

因此，所谓悖论，都是概念或思维不清楚造成的，并不具备客观意义。所有将悖论客观化，学术化的做法都是错误的。

数学悖论也不例外。

也就是说，只要概念、思维足够清楚，根本就没有什么数学悖论。

这么说数学家们可能很不服气：你这不是在说我们的概念、思维不清楚吗？

以下通过分析一些具体例子，看能不能让数学家们心服口服？

1）谷堆悖论

1粒谷形不成堆，2粒谷形不成堆，3粒谷形不成堆.....世界上没有谷堆？

数学家对数字是敏感的，因此对这个悖论，很多数学家就倾向于像给特定高度的人制定一个肥胖标准一样，规定到多少多少粒算堆就可以了。

然而，这样考虑问题太不合理了：比如10000粒谷算堆，9999粒谷不算堆？

也有的人倾向于用模糊数学的隶属函数来解决这个问题，但也存在着如何划分界限的问题。

在日常生活中，堆是必须能够分层的。因此，哪怕只有三粒，如果能形成品字形的两层，就不能不说是一个堆；相反，如果不能分层，哪怕有一万粒平铺着的稻谷，都不能算堆。

所以，这里的关键在于要有关于堆的明确且合理的定义*。如果做不到这一点，则说明概念不清楚，出现悖论并不奇怪。

*研究过数学的人都知道，数学其实是从定义开始的：一旦定义了某一个新的概念，在研究该概念和其他已有概念的关系中，就完全有可能形成一些新的概念体系甚至一个新的数学分支。

但在如何定义这一问题上，数学界却存在一些糊涂观点。

例如有的数学家认为，数学是自由的，只要自洽，我爱怎么定义是我的自由，别人管不着。

这种想法很幼稚:人类之所以要定义某一个概念，是因为要将某个事物与其他事物清楚地区分开来以便于研究。以谷堆悖论为例，胡乱定义能做到这一点吗？

既然数学定义是用来界定数学对象的，数学定义是否合理就与其所要界定的对象是否存在且有意义有关。有些数学对象是本来就存在的，比如说正方形，三角形，元素数目等，有些对象似乎本来并不存在，而是定义出来的，其实这是一种假象。以复数为例，本来就是某一类方程的解，只是当人们没有认识到这一点之前，可能误以为它是不存在的。非欧空间也是这种情况。永远不可能存在的东西，定义了也不会有意义。

也就是说，科学的定义只能发现已存在的事实，而不能创造不存在的“事实”。

另外，有些数学家认为，一个概念体系只要自洽就可以，完全不用考虑其与实际情况是否一致。这对自己的要求恐怕是太低了。比如说，1+1＝3和1+2＝4、3-1＝1等都完全是自洽的，但是有意义吗？这种东西创造起来很容易，以后用计算机或许可以无限制地创造出来，其实不过是学术垃圾而已。真正能够沉淀下来的，必定是少之又少的有实际意义的东西。

而且，一旦概念体系与现实世界脱离关系，该概念体系的正确与否，就无法得到现实世界的反馈信息，只能靠数学家的逻辑思维来保证。大量存在的数学悖论表明，数学家们未必有这个能力。也就是说，这样的概念体系，不但其意义存疑，甚至其是否自洽，也难以得到保证，最后很可能成为一堆既没有意义，也不知对错，最多只能供数学家们自娱自乐的学术垃圾而已。

还有，数学中存在着一些未加定义就开始使用的概念，比如说后继数，公理化集合论中的集合概念等，理由是它们是原始概念，找不出更普遍的概念来定义它们。

这种理由是不成立的。数学定义的目的是为了界定某一个数学对象，只要不会产生歧义，界定的方法可以有多种多样，并不一定要用更普遍的概念来定义。而且有些所谓原始的概念，其实并不原始。例如，集合是由元素组成的，先有元素，后有集合。因此，元素是比集合更原始的概念。只要把元素这一概念定义好了，就可以很明确地定义集合。只要定义明确，就不应该产生悖论。

这种对重要的概念不加定义就使用的现象也是不正常的。仍然以谷堆悖论为例，如果没有谷堆这一概念的精确定义，能讨论清楚吗？如果不加定义而用一大堆未必正确的规定来规范谷堆这个概念的使用，难道不是舍近求远走弯路吗？

【1】李鸿仪. 《悖论的非客观性》

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（待续）

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