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Zmn-0655 薛问天：不要再错误地坚持把复合函数看作是【以x=g (y)为定义域的f函数】了，评师教民《0626》

已有 1117 次阅读 2021-9-2 08:40 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0655 薛问天：不要再错误地坚持把复合函数看作是【以x=g (y)为定义域的f函数】了，评师教民《0626》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对师教民先生《Zmn-0626》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

不要再错误地坚持把复合函数看作是

【以x=g (y)为定义域的f函数】了，评师教民《0626》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

我反复地说「师先生的关键错误是把复合函数看作是【以 x=g (y) 为定义域的 f 函数】」，「师教民先生直到现在还在坚持这些错误．错误地认为复合函数是【以 x=g (y) 为定义域的 f 函数】．」

一，认识这样的错误太简单，太明显了。希望师教民先生不要再坚持这个错误。

什么是函数y=f(ⅹ)的定义域，定义域是对函数自变量x取值范囤的规定。是限制x的变化范围的约定。说明函数y=f(x)的因变量y是随自变量ⅹ在定域中变化时相应的变化规律。因而在定义域给定后，函数y=f(x)仍旧是以x为自变量的函数。既使重新给定一个新的定义域，也不过是重新限制自变量x的变化范围，函数y=f(x)仍然是以x作为自变量的函数。只不过是自变量x的变化范囤有所改变而已。

因而师先生以函数x=g(y)作为定义域，本身就是错误的。因为函数x=g(y)的作用不是对x的变化范围的一种限制，而是提供一种变量x同变量y的函数对应变化关系。因而函数x=g(y)就不能作为限制函数y=f(x)的自变量x的变化范围的定义域。

师先生以函数x=g(y)作为y=f(x)的定义域，并不是为了使其起定义域的作用，去限制f的自变量的变化范围，而是令x=g(y)。师先生的错误就在这里，把复合函数中的复合映射f·g的第一步令x=g(y)，第二步令y=f(x)，当作是【以 x=g (y) 为定义域的 f 函数】了。

这里讲的复合函数，按照数学的正式定义，它是由函数y=f(x)同函数x=g(y)产生的一个新的函数y=f[g(y)]。这个复合函数的函数关系不是f而是f·g，自变量已不是x而是y，它的定义域已不是x的变化范围Df=Ug，而是y的变化范围Dg。因而复合函数不可能是为函数f给定一个定义域。因为前面说了，给定函数y=f(x)一个定义域，它的自变量仍然是x，不可能是y，它的函数关系只能是f而不能是f·g。因而复合函数不能是【以 x=g (y) 为定义域的 f 函数】。

但师教民先生始终坚持这个错误，不承认这个错误，不改正这个错误。已经成为我们讨论的一个障碍。所以我反复地说「师先生的关键错误是把复合函数看作是【以 x=g (y) 为定义域的 f 函数】」，「师教民先生直到现在还在坚持这些错误．错误地认为复合函数是【以 x=g (y) 为定义域的 f 函数】．」

有趣的是，师教民先生已无能力为他的错误作任何辩解，却无理说他的这个错误观点是我【改成了】的观点。我们來看他是怎么说的。

【1)我在我的多篇论文中多次说到：〖以 x=g(y) 为定义域的函数 y=f (x) 和复合函数 y=f (x) [x=g (y)]或 y=f [g (y)]虽然函数关系一个是 f 一个是 f·g 而不同，但是因为我的 f 函数 y=f (x) [定义域为 x=g(y)]=f (x) [x=g (y)]=f [g (y)] 而使得我的 f 函数 y=f (x) [定义域为 x=g(y)]和复合函数 f·g 就是同一个函数了．〗可是，薛问天先生把我上述的表达改成了「师先生的关键错误是把复合函数看作是【以 x=g (y) 为定义域的 f 函数】」(见《0626》中的2)。】

【1)我在我的上篇论文 Zmn-0603 中说的是：〖让函数 f 的自变量 x 受到 x=g (y) 的限制后，尽管函数关系 f 和 f·g 还是不同，但是由于y=f (x) [定义域为x=g(y)]=f (x) [x=g (y)]=f [g (y)]而使得 y=f (x) [定义域为 x=g(y)]和 f·g 就是同一个函数了．〗可是，薛问天先生把我上述的表达改成了「师教民先生直到现在还在坚持这些错误．错误地认为复合函数是【以 x=g (y) 为定义域的 f 函数】．」 (见《0626》中的6)。】

你说他讲不讲道理，明明白白说的是〖以 x=g(y) 为定义域的函数 y=f (x) 和复合函数...... 我的 f 函数 y=f (x) [定义域为 x=g(y)]和复合函数 f·g 就是同一个函数了． 〗明明是你親自说的，复合函数同【以 x=g (y) 为定义域的 f 函数】【是同一个函数】，这【同一函数】是你认为的，是你看作的，怎么说是我把你的观点【改成了】「把复合函数看作是【以 x=g (y) 为定义域的 f 函数】」，【改成了】「认为复合函数是【以 x=g (y) 为定义域的 f 函数】」呢 。难道你认为A和B是【同一函数】，同【把B看作是A】及【把B认为是A】有区别吗？要知道认为A和B是【同一函数】，就是【把B看作是A】以及【把B认为是A】，这里在逻辑上沒有任何区别。不知师教民先生用的是什么逻辑。

在我们上次讨论的问题上也同样，不知师先生用的是什么逻辑，智商竟然如此低下。明明他親口承认【该函数】同复合函数是【同一函数】，【该函数】就是复合函数。親口承认【复合函数的对应法则是 f 就错了】．但是却认为【该函数的函数关系是f】沒有错。親口承认【把函数 x=g(y)作为复合函数的定义域是错误的】，却认为【该函数的定义域是函数x=g(y)】这样的断言沒有错。真不知师先生用的是什么逻辑？

二，师教民先生认为【以 x=g (y) 为定义域的 f 函数】同复合函数【是同一个函数】的观点是错误的。特别是他在承认【函数关系一个是 f 一个是 f·g 而不同】的情况下，还认为它们是同一个函数，这就更错了。

这在函数理论中是很清楚的，函数有二大要素。「构成函数的要素是：定义域 Df 及对应法则 f．如果两个函数的定义域相同，而且对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的．」这不是我说的话，这是教科书中对函数要素的介绍。而且其中的「否则就是不同的」的语义也相当清楚。「否则」，就是指两个函数的定义域不相同，或者对应法则不相同。而「就是不同的」就是指这两个函数是不同的。也就是说知道【以 x=g (y) 为定义域的 f 函数】同复合函数的函数关系不同，承认【函数关系一个是 f 一个是 f·g 而不同】，就应当承认两者不能【是同一个函数】。

同样，师先生无法对他的错误辩解。就又來了【改成了】这一招。我们来㸔师先生怎么说的。

【1)我在我的论文 Zmn-0585 中说：〖薛问天先生说的【如果两个函数的定义域相同，而且对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的】当然没有错，问题就出在【否则就是不同的】上．〗可是，薛问天先生把上文改成了「他认为〖同一个函数当然其函数关系是相同的，定义域是相同的〗的论断是错误的．」 (见《0626》中的3)】。

【1)我在我的论文 Zmn-0585 中说：〖薛问天先生在自己上述的第 6 段中说的【如果两个函数的定义域相同，而且对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的．】是有严重问题的．薛问天先生说的【如果两个函数的定义域相同，而且对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的】当然没有错，问题就出在【否则就是不同的】上．如果【否则就是不同的】指的是【如果两个函数的定义域不同，或者对应法则不同，那么这两个函数就是定义域或者对应法则不同的函数】也没有错．但是，【否则就是不同的】指的是〖如果两个函数的定义域不同或者对应法则不同，那么这两个函数就不是同一个函数〗就错了． ......。〗可是，薛问天先生把我上述的表达改成了「师先生认为：〖同一个函数当然其函数关系是相同的，定义域是相同的〗的说法是错误的【是有严重问题的】」(见《0626》中的4)】

师先生承认他认为问题就出在【否则就是不同的】上．而且说得很清楚，【但是，【否则就是不同的】指的是〖如果两个函数的定义域不同或者对应法则不同，那么这两个函数就不是同一个函数〗就错了．】可师先生却说【薛问天先生把上文改成了「他认为〖同一个函数当然其函数关系是相同的，定义域是相同的〗的论断是错误的．」】

师先生，请问你的逻辑是什么逻辑，你的智商竟然如此低下。竟然㸔不懂你说的〖如果两个函数的定义域不同或者对应法则不同，那么这两个函数就不是同一个函数〗 同我说的〖同一个函数当然其函数关系是相同的，定义域是相同的〗 这两个命题在逻辑上是完全等价的同一个命题。 P→Q等价于乛Q→乛P。是你没有认清，脑子出问题了，还是我把你的观点【改成了】另外的观点？

教科书中强调函数的要素，就是在说明要素对函数的重要作用。什么是函数的【要素】，要素就是对函数起重作用的元素。要素相同，函数就相同。反之，函数相同，其要素就相同，即如果要素不同，自然函数就不同。

三，师先生对认为〖如果两个函数的定义域不同或者对应法则不同，那么这两个函数就不是同一个函数〗这个函数要素原理是错误的。他在文中所提供的理由是完全错误的。

师先生说【但是，「否则就是不同的」指的是〖如果两个函数的定义域不同或者对应法则不同，那么这两个函数就不是同一个函数〗就错了．理由是：我在以前多篇论文中早已证明：函数 y=|x| 和 y = √(x²) 的函数关系或对应法则不同，但是函数 y=|x| 和 y =√(x²) 却是同一个函数．我的函数 y=f (x) [定义域为 x=g(y)] 和复合函数 y=f [g (y)]虽然函数关系或对应法则一个是 f 一个是 f·g 而不同，但我的函数 y=f (x) [定义域为 x=g (y)]和复合函数 y=f [g (y)] 却是同一个函数．薛问天先生在令h=f×g后的函数y=h(y) 和复合函数y=f [g (y)] 虽然函数关系或对应法则一个是 h 一个是 f×g 而不同，但薛问天先生的函数 y=h (y) 和复合函数 y=f [g (y)] 却是同一个函数．〗】

首先，我早已指出，认为【函数 y=|x| 和 y = √(x²) 的函数关系或对应法则不同】的论断完全是错误的。函数 y=|x| 和 y = √(x²) 的函数关系完全相同。

什么是「函数关系」「对应法则」，我在《0577》和《0596》中，已明确地对此作了详细的解说。集合论是所有数学的基础，要正确理解集合论对函数关系的解释。「函数关系」在集合论中等同于「映射」。而「映射」定义为满足单值条件的「关系」，而函数「关系」定义为集合Y（函数值域）同集合X（函数定义域）的笛卡尔乘积YxX的子集。 「函数关系」是否相同就㸔这个YxX的子集是否相同。

函数 y=|x|和 y= √(x²)的函数关系是什么，是否相同，非常清楚。该函数的定义域是全体实数R，值域是大于等于0的实数R⁺。它们的函数关系是笛卡尔乘积R⁺xR的子集，即如下滿足函数关系的有序对〈y,x〉的集合。即

函数 y=|x|的函数关系是B={＜y,x＞丨y∈R⁺,x∈R,y=|x| }

函数 y= √(x²)的函数关系是C={＜y,x＞丨y∈R⁺,x∈R,y=√(x²) }

但它们都等于A={ ＜y,x＞丨y∈R+,x∈R，当ⅹ≥0时，y=x，当x＜0时，y=-x }。

很明显这是相等的集合B=C=A。可见，这两个函数y=|x|和 y= √(x²)的函数关系B和C都等于R⁺xR的子集合A，是完全相同的。师先生不会连这个集合的等式都㸔不懂吧，不会连【一个是 x 的绝对值，一个是 x 平方再开方的正值．】它们相应的R⁺xR的子集相同，表明它们的函数关系相同都看不懂吧。因而认为【函数 y=|x| 和 y = √(x²) 的函数关系不同】的论断完全是错误的。

另外我们知道h是复合函数的名称和标纪，函数h就是复合函数。h的函数关系自然就是复合函数的函数关系。师先生说什么【一个无中间变量、一个有中间变量而不同，】函数h代表的就是复合函数，复合函数有中间变量，当然函数h就有中间变量。师先生说它们的【函数关系或对应法则一个是 h 一个是 f×g 而不同】，也是完全错误的，是毫无根据的胡言乱语。如果认为h函数的函数关系是h，那么就有h=f·g。因而同一个函数不能有不同的函数关系，如果函数关系不同，就不能是同一个函数。

既然师先生认为，函数 y=f (x) [定义域为 x=g(y)] 和复合函数 y=f [g (y)]，它们函数关系一个是 f 一个是 f·g 显然不同，所以师先生的函数 y=f (x) [定义域为 x=g (y)]和复合函数 y=f [g (y)] 就不能是同一个函数。

四，关键是过第二关。

我上次已经说清楚，师教民先生的问题，关键是过第二关。就是要区分复合函数的因变量的微分dy③同函数y=f(x)的因变量的微分dy①。那自然就是先要区分复合函数和f函数的不同。而师教民先生之所以坚持把复合函数看作是【以 x=g (y) 为定义域的 f 函数】的错误，就是想混淆复合函数和f函数的不同。为混淆dy③同dy①制造借口。这点我们已看得非常清楚，当然这是绝对不能得逞的。

参考文献