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Zmn-0641 沈卫国： 什么是真正意义的“连续统”
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Zmn-0641 沈卫国：什么是真正意义的“连续统”
【编者按。下面是沈卫国薛问天生的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
什么是真正意义的“连续统”
沈卫国
摘要：从点、线、面是几何基本概念出发，讨论了点态连续统的问题，明确指出线段不可能由抽象的点构成。点只能作为位置的标度，而位置是该点到基准点的距离，这是线段的距离、长度概念，也就是测度的本原概念。单纯建立在点集上，不可能由真正意义的连续统，连续统必须建立在作为独立基本概念的“线”的基础上。在此基础上，讨论了现有测度理论的局限性，比如有理数集合的测度为0，无理数集合的测度为1等理论，实际就是规定、定义，其合理性并不充分。
关键词：点；线；面；连续统；点态连续统；线段；距离；区段；长度；测度；端点；戴德金分割；区间套；开集合；闭集合；有理数；无理数；实数；可数；不可数；无穷大；无穷小；潜无穷；实无穷；序概念
几何公理中包括点、线、面、体等等的原始定义。而且这些都是基本概念，实际无法用其它概念定义。只能是些循环定义。因此，我们就此可知，线，不可能由点来组成或定义。面也不能由线和点来组成或定义。等等。否则就不是基本概念了。也就是，点、线、面、体，都是基本要素，不能用“降维”的办法来组成。否则只有一个要素“点”就可以了。因此，作为通常被理解成线或面等等的连续统，绝对不会是由点组成的。这从几何公理的组成就可以看出来。以往，似乎还没有看到什么人从这方面来认识问题的。
此外，抽象的点是没有体积、长度的，或者说体积、长度是0。因此不可能由它构成体积、长度不为0的“体”与“线”。无穷个0相加也还是0。
因此，现在的数学理论中把连续统也就是线定义成由实数组成或与实数集合等价的观点实际不能成立。起码也是没有说清楚的。
可以把没有大小、长度、体积的抽象点（或说它们的大小都为0）比作一把尺子上的没有宽度（为0）的刻度。刻度当然遍布尺子，但不能说尺子是由刻度构成的。尺子是由有长度的分子、原子、基本粒子等组成的，而不是由抽象的长度为0的刻度组成的。
长度、距离、区段、测度等集合的元素，不是点，而是更小的长度、距离、区段、测度。不是由点组成的线，尽管线中有点（譬如尺中之刻度）。但是，如果点只是单纯的无长度的一个“刻度”，那么，点的数值代表什么呢？我们说，数值代表该点位置到端点（0点）的距离或长度。就是比如一把尺子上的某一个刻度的位置到尺子端点的距离或长度。当然，点本身（无长度或长度为0）与其位置（到原点的距离或长度）是应该严格区分的。
长度、距离或区段为0，就是点。或说点无长度、距离，它不是非0的区段。或点的长度为0，是距离为0的区段，等等。不为0的任何事物、概念，不可能由等于0的事物、概念组成、构成。任何非0的长度、区段、距离等，必然涉及两个点（两点成一线），长度为0的一个点，不可能构成长度非0的距离。但长度非0的距离既然包括这两个端点，那么，自然也包括其中任何一个端点。同时自然，如果一个端点固定，另一个端点不固定，而是向前一个逼近，则所有这些小区间都要包含第一个端点。这实际就是区间套定理的基础。比如一个端点0，所有从其“出发”小区间都要以它为端点，也就是包括它。无论这个区间有多小。又按照点（位置）的稠密性，也就是任何两个点（位置）之间还有点（位置），实际应该理所应当地补充一个命题，就是任何两个点（位置）之间都有无穷多个点（位置）才完整。这是因为显然地，任何非0的区段、长度、距离等等，无论多么地小，其中都有无穷多个点（位置）。因为无穷小的定义，就是小了还可以更小。所以无穷小实际上是不可以“取定”的。即，没有一个确定的、固定不动的无穷小概念。因为“无穷”，无论大还是小，就是“没完”、“不可能完”、“无穷尽”之意。就算我们重新定义无穷以至无穷大、无穷小概念，使其可以被视为一个描述固定区段（只不过此时是所谓的、重新定义的“无穷小”的）的概念，但这也避免不了无穷小中还有无穷小，无穷大外还有无穷大的情况出现。这是因为，有些性质，是伴随到无穷的。比如，比任何区段小一半的区段，如果区段可以“到达”无穷小，那这个性质也比可以保持到无穷小，这不等于是说有比无穷小还小一半的无穷小吗？无穷大的情况也一样。因此，一个固定的，最小的无穷小，是不可能被定义出来的，因为其实际与无穷小的概念的定义本质地冲突。因此，你尽可以认为是“到达”了一个无穷小了，但肯定还有比这个无穷小还要小的无穷小存在，因为一些会导致出现比任何区段更小的区段的性质会延续到无穷小，也是无穷小的一部分。不是到了无穷小，这个性质就没有了，消失了。
上面有些偏题，言归正传。
所有套状的序列区段都包括的点，比如前面提到的原点或端点0，位置为0的那一点。但每一个此套序列中的区段都含有无穷多个点（位置），那么，有没有只包括两个点的区段呢？不存在这样的区段。因为按点的稠密性，这不可能出现。于是这个点就是所有套序列中的区段所共同的点（位置），但同时每一个区段又都有无穷个点（位置），同时各个区段又都不同，也即是必有点（位置）不是它们所共有的。实际上，这说明不可能有两个点（位置）可以是紧挨在一起的，中间再没有其它点的。
对于戴德金分割，是用有理数定义或逼近无理数的。但实际当然也可以用实数去逼近实数、用无理数去逼近无理数甚至有理数。但传统上的“开区段”究竟是不是一个确定的区段？我们说实际上不是。这是因为，开区段就是没有明确端点的区段，或其端点在这个区段之外。这个端点可以是被这个区段中的点无线逼近，作为不可达极限点（位置），但不是该区段的一部分。因此，这是个无端点的区段，也就是其明确的、固定的边界点（位置）不属于这个区段本身。换言之，这个开区段是没有属于自己的明确的、固定的边界点（位置）的。这个边界点（位置）属于别的区间。由于开区间（也就是开区段）没有属于自己的固定边界端点（位置），这个边界点（位置）属于别的区间，开区间的点，只能无限趋近于这个属于其它区间的边界点（位置）而不可达到它，也就是仅仅以它为一个不可达极限或永不可以到达的“目标”（既然不可达，就是永远也到不了）。因此，开区间与一个无穷位小数表示的无理数一样，只能定义，不能实际取到。因为其位数是无穷大。取不完的。且总会有任意大的有限位后的具体数值我们当时是不知道的。因此，像戴德金分割那样，一个闭区间（包括边界点的）与一个开区间（不包括边界点的）的无缝衔接，也就是连续性，只是理论上的，实际上是做不出来的。因为一个开区间自身，其端点是定不了、不固定的。它的定义，就是只能根据其它比邻区间的边界点（位置）来确定自身的。前面已经讨论了，任何区段中的点，也就是位置，即其与原点（端点、基准点）的距离，是确定的、固定的，因此，其所决定的距离、区段，也都是边界点（位置）可以固定的。因此，这些区段，只能是闭区间，而不会是开区间。因此，任何一个点（位置），对比邻的两个区段而言，都只能是既是左区间的终点，同时又是右区间的起点。二者是重合的。除非我们想要其中一个区间的端点不能被实际地取到。由于点本身是没有长度的（长度为0），它的重合或分属于两个互相衔接的比邻区段，并不影响这两个区段各自的长度。同时又可以使得这两个区段可分可合，还都有确定的、属于各自的固定边界，而不至于只是个开区间，只能以其他区间的端点为其不可达极限，因此找不出一个固定的、属于自己的边界点（位置）来。能够想象，有一把没有端点的尺子吗？这个尺子，只是以某一个并不属于它自身的点（位置）为其不可达极限（目标），有这样的尺子吗？可以做出来吗？这种与开区间对应的“开尺”，理论上你尽管去定义，但实际是操作不出来的。它必须借助于不属于它或被强行定义不属于它的一个“端点”（位置0）才可以存在下去，它不能独立地，不依赖其它区段、点（位置）而单独存在。因此在以其对自然或物理对象的描述上，不符合现实。它既无法把一个连续的线段切割成两个独立、完整、各自有其边界的、独立的线段，一个开线段只可以定义，不可以独立存在。你拿不出一个不依赖于其它线段的确定端点的开区间来，因为它的端点无法由自己来确定。同时自然，也就谈不上开区间与闭区间的合并问题。因为你找不到开区间的确定的端点。形象地说，如果一刀切断一根尺子，说断口处的端点属于B段了，而端点一边的其余所有的点，都属于A段了。作为一个定义，当然可以这么说。但如果你真的要拿出这个A段，就会问：这段的端点呢？在哪里？没有固定的端点，这个线段A，我们借助于已经属于B段的端点，可以有。但单独取不出来它。因为它的边界点在外面（尽管是比邻的）的另一个区段中，它自己没有确定的、固定不动的“边”，或说它的边界是潜无穷的、不定的。它没有最大或最小值，因此，一个确定的线段，不可能由点构成。显然，它只是存在于定义中。也可以说，这个定义就是：一个不可能单独在现实中存在的、无确定端点的开线段。既然等价地如此定义了，当然就是它了。但这种定义的线段，不具有单独的线段可加性与分割性。它只是存在于完整的、不可分割的线段中。这种线段或连续统，可以称之为“实际不可分连续统”，而相邻线段共有一个端点（位置）的线段或连续统，可以称之为“现实可分连续统”。我们实际需要的，当然是后者。更何况，我们一刀下去，边界点会属于哪一边的问题。如果认定其属于某一边，比如上面说的B段，那凭什么？为什么就不会是A段呢？给不出确实的理由来。因此，当然是端点同时属于两边最合理。
此外，众所周知，两个开区间是不可能“相连”（相互衔接）的。这由戴德金分割的一种形式就可以看出：无理数就是由两个开的有理数区间定义的。而由上文讨论可知，一开一闭两个相邻区间，实际也不可能“相连”（相互衔接），也就是实际上是不可连续的，它不是实际意义的连续统，或我们所企盼的真正的连续统。尽管从规定的意义上，你可以定义、规定任何形式、意义的所谓“连续统”。
总之，端点（位置）甚至任何一个抽象的点（位置）本身都不是区段、长度、线段等等涉及序概念集合的元素，其元素只能是更小的作为序元素的区段、长度、线段。点、位置本身，不是长度。也不是长度集合的元素。正如一把尺子不是由其上的长度为0的刻度本身所构成的，尽管这些刻度遍布于尺子之上。整个尺子，只能由更小的线段所依次顺序构成（序概念）。
我们可以有一个直观的说明或者证明：两条线十字相交，当然有交点。交点为两条线所共有。如果把两条线的十字交叉点各边的线看成不出头的四条线，也是可以的。这四条线共用一个交点，也就是这个交点为这四条线所共有，绝对不是拿掉其中一条线，这个交点就没有了，剩下的其它线就没有交点了，交点就成了空白点了。四条交叉线，如果我们拿掉两条，还剩两条，仍旧有其交点，而把这两条线拉直，甚至根本不用拉直，也是一条线（不过是直线与折线之分罢了）而交点此时就是分割点。作为交点时（看成两条线时），为二线共有，作为分割点时（看成同一条线时）分割线就是原先的交点，因此也是两段共有的，得证。
根据上面的过程描述，我们可以很容易地给出一个图示，这里省略。
传统数学分析中的测度理论，规定有理数的测度为0，无理数的测度为1，然后在此基础上建立积分理论，根据上面的讨论可知，这一论点的理论基础还是认为线是由点组成的。此一观点，必然要碰到根本就无长度可言的点，如何会汇集成线段的这个老问题。因此，测度论实际做的的根本就不是一个论证，而是规定。其隐含矛盾也是不言而喻的了。
对于戴德金分割，不妨再进一步讨论下。这里指的是“扩展戴德金分割”，就是分割本身不是经典戴德金分割的只涉及有理数，而是可以是无理数（扩展到实数全域）。如果按戴德金分割，一点把线段分成A、B两段，必然会是一开一闭。如果定义如此，当然可以，但如此的分法是构不成实无穷意义的“真实连续统”的。比如为开区间的那一段，比如A段，它自己的“边界”为开区间，真正的边界点是在对方（B段）一边的。自己一方没有静态的、固定不动的边界点，而是这个所谓的“边界”是无限接近于比邻对方（B段）的边界点（端点），即以比邻对方（B段）的端点为其不可达极限点，则A段自己一方的线段长度（测度），也必为一个不可达极限过程。注意：这里还不是取这个不可达极限值的意思，而是一个实质是潜无穷意义的不可达极限的实施过程本身。这当然意味着，线段的长度（测度）本身是不确定的，确定的只是其一个不可达到的、也就是永远取不到的、实际处于其他区段的极限值。这当然是荒唐的。现实中的线段长度，当然是确定的。可见，如果要达到A、B两段都长度确定的现实要求，必须端点（边界点）为两段所共有。也就是说，这个端点实际是两个线段的交点、共有点。以上议论，可以视为是一个证明。
传统意义的戴德金分割，只是涉及了四种情况中的三种情况：线上的一点，不是属于这边，就是属于那边，或者都不属，是一个单独的点，两边都是开区间。但它未提第四种情况，即二边共享端点的问题，也就是二边的交点的问题。上面已经讨论了，如果端点不共享成交点，则构不成实无穷意义的连续统，实际就是现实可操作意义的连续统。这就比如一个接力赛跑，在上一个选手把接力棒传递给下一个选手时，二者当然有“交集”，也即是某一瞬时是两人同时接触这个接力棒的。如果只是一个人（前者）拿着接力棒，而另一个人（后者）的手不过是无限接近这个接力棒，只是以它为目标（极限），但永不可达这个目标（交接点），试问，这个接力过程以至接力比赛，还能进行下去吗？它大概只能存在于极限理论之中吧？
戴德金分割，等价于上确界公理或原则（任德麟，微积分原理与严格的理论基础，科学出版社，P99），当然可以作为点集，但必须牢记其不是“测度集”、“长度集”。长度集A、B，交点共有，而它们的无论多么小的长度是不共有的。因为它们不是点集，点在线段的长度（测度）中只表示点的位置也就是这个点到原点或基准点的距离，但点本身长度为0，对长度值没有任何贡献（贡献为0）。前面已经说了，这就相当于一把尺子中的刻度集，而不是尺子本身。严格意义的刻度本身，是没有宽度（长度）的，只是这个刻度（点）与原点的距离，才是长度（测度）。这个刻度（点）既可以是某段距离的终点，当然也可以是与其相邻的另一段距离的起点，这个界点为两个线段所共有，它只是表示“分界”、“交点”，与线段的长度无关（不是长度的一部分，对长度的贡献为0）。它只是线段、距离、长度的起、终点的位置，处于该位置上的那个点（其实就是该位置，这是一个可以互定义的同义词）本身没有长度（长度为0），位置是该点（该位置）距离原点的长度，或说这个距离原点的长度就是该位置。这也是一个可以互定义的基本概念。
最后，不妨小结一下。所谓“连续统”，顾名思义，就应该是无缝地、一个接一个地连接上，它显然是一个“序概念”。但点态连续统，也就是传统的康托意义的所谓连续统，由于“点”这个概念本身没有“延展性”，即“长度”、“体积”为0，因此其累加也为0。哪怕无穷多个点累加，也是0。因此当然实际谈不上什么连续不连续。以往，通常说的连续统的依据，是所谓“点的稠密性”，也就是任何两点之间还有无穷个点。无论这两个点之间的距离多么地小。因此，可以看出，这里说的“两个点”，实际指的是“点所处的位置”，而前文已经讨论过了，所谓的“位置”（比如尺子上的刻度），是指的该点的位置离原点（0点）的距离。这就是一个长度概念了。说任何两个点之间还有无穷多个点，等于说任何两个位置之间还有无穷个位置。而所谓的“连续”，顾名思义，就是无缝、无缺失地依次相连。它是一个序关系。必须“无缝对接”，“无缺失地首尾相接”。也就是前一线段与后一线段必然要共用一个点（位置），以这个点的位置，作为两段之无缝分界。此段之尾，同时必为下段之首。因为点本身无长度（长度为0，因此这不会引起矛盾），否则必然出现“缝隙”，不可能连续。由此也可以看出，传统的戴德金分割，本质上是不允许点（位置）同属于不同的、尽管相邻的区段的。一个点，在戴德金那里，不是属于这段，就是属于那段，不能为两段所共有。戴德金及认同他理论的人，显然认为线段就是由点（位置）构成的，譬如说尺子是由上面的刻度所构成相似。如果这样认为，当然不可能再有一个点由不同线段共有的情况发生。因为一个集合的元素，每一个都是唯一的，不可能同一个元素算这个集合的两个不同的元素。但前面已经论述了，点（位置）并非距离、线段、长度的元素，即后者不是由前者构成的。
总之，所谓的“点态连续统”、“康托意义的连续统”、“实数连续统”等等概念，戴德金分割等等，尽管在历史上是有其相应的价值的，但在本质上，起码是没有彻底说清楚一些根本性问题的。作为点集，也就是前述位置集，由于点的稠密性（也可说就是位置的稠密性），任何两点（两个位置）间还有无穷多个点（位置），通常被认为这就是点集连续性的依据。但在笔者看来，点的稠密性与其说是连续性的依据，还不如说是不连续性（离散）的依据。这是因为，说两点间还有点，等于承认没有两个点（位置）可以是挨着的，这在不能两段共享同一点（位置）的系统中，显然就是不能连续（不能点点无缝相连，因为没有任何两个不同的点可以做到这一点）。总之，绝对不要以为任何两个点（位置）之间，还有点甚至无穷多个点（位置）就是连续上了。这只是想当然。把点的稠密性表述更加细化一下，就可以成为：任何两个点（位置）之间，还有无穷多个点（位置），而这其中的任何两个点（位置）同样因为其间还有无穷多个点（位置）因此是不能做到点点相连的。更精炼、直接一些的表述，就是：任何两个点之间，都有无穷多个不是两两相挨的点。这就等于告诉我们，按此种描述，点点不能相连，也就是不能连续。不能首尾相接。如果说可以，也只是一个定义、规定，实际是不讲理的，或无道理可以讲出来的。数学中经常有这种现象，把一个硬性的规定、定义，就兜了几个圈子，让人以为是讲理、推理得到的。数学与其它“实证科学”最大的不同，就是它玩儿的是概念，而概念只是依赖于定义，也就是“规定”。但毕竟，如果搞数学的就可以不讲道理，就只是一味地玩儿定义，还能让人信服吗？这个“道理”，谁都明白。所以有时候不得不披上一个讲理的外衣，用一大堆艰涩无比的名词、定义、循环论证等等，使其看起来在讲什么大道理似的。
所谓的点态连续统“理论”（实际就是规定、看法、理解、定义等等），导致有理数集的测度为0，无理数集的测度为1这种表面上是理论（讲道理），实际上是规定（没什么道理）的情况出现。其唯一的根据，就是无理数是所谓“不可数”的，而有理数是“可数的”，前者比后者多的多云云。且不论这个结论成立否（笔者早就论证了，康托用对角线法证明实数不可数的结论不能成立），就算成立，单纯的点集也构不成连续统，只有把点与位置绑定，也就是点作为距离、长度的一个标记、刻度时，才可以与连续概念发生联系。但这本质上还是一个长度、距离概念。总之，我们谈论连续性，讲的是用点（位置）所标记的线段的长度、距离，而不是只有本身长度为0的单纯的、抽象的点（位置）。
对连续统问题的彻底澄清，当然有助于对积分问题的理解。曾经有个应用物理方面的院士在一个场合说他们正在搞一个物理项目，要涉及对所有点的积分。那么，任何一段区间中都有无穷多个点（己注：按康托理论，甚至是不可数无穷个点。这个说法成立否，是另一个问题），如果以每一个点为自变量，那么，哪怕函数值极小，只要不是0，其积分也就是累加就是无穷大。他问我，这个问题如何解决？我当时对这个问题还没有什么研究，因此也没有说出什么来。现在清楚了，如果把连续统看成单纯的点集，此问题显然无解，只能用“定义”、“规定”来避免。但是，在把线段与点彻底分清后，此问题根本就不再存在了。
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