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Zmn-0646 薛问天：沈卫国先生的错误质疑來自对康托尔定理证明的理解错误。评《0630》
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Zmn-0646 薛问天：沈卫国先生的错误质疑來自对康托尔定理证明的理解错误。评《0630》
【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对沈卫国先生《Zmn-0630》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
沈卫国先生的错误质疑來自对康托尔定理
证明的理解错误。评《0630》
薛问天
沈卫国先生对康托尔定理证明的所谓【逻辑问题再析】(《0630》)，是对康托尔定理证明的质疑，认为定理证明有错。实际上是沈卫国先生没有完全㸔懂证明，他的质疑的错误來自他对该证明的理解错误。
一， 沈先生错误地认为康托尔的证明是【从假设实数可数，推出实数不可数】。这是沈先生对康托尔定理证明的严重误读。
我们來㸔㸔沈先生对康托尔证明的理解。他是这样写的。
【由假设全部实数可数
→ 可以列出整个实数集的每一个元素（实数）
→→ 〖整个实数集合的每一个元素（实数）可以与表示这些实数的无穷小数的每一位逐次一一对应〗
→ 〖引用前述“事实F”，无论无意还是有意。这里实际等于是引入了新的前提条件，并且以往为康托所忽略〗
→ 由对角线法的操作步骤，即逐位求异，得到一个新的、不在原序列中的实数
→ 〖整个实数集的元素不能当采用与无穷位小数的位数逐次一一对应的特殊的对应原则时被全部列出〗
→ 整个实数集合不可数 。】
这是对康托尔定理证明的严重误读。康托尔的证明并不是沈先生所说的【从假设实数可数，推出实数不可数】。
康托尔证明用的是反证法，假设全部实数可数，然后作如下推理。
全部实数可数
→ 全部实数同自然数一一对应，全部实数形成一个无穷序列，任何实数都有一个自然数编号αn。
→ 任何实数αn都是一个无穷小数，都有其第n位小数αnn。因而存在实数b=0.b1b2...bn...，其中bn≠ann。可证对任何n有b≠αn，所以实数b不在序列中。
→【序列是全体实数形成的(B)】，而又【存在实数不在序列之中(乛B)】。即推出的是个矛盾。
即全体实数可数→矛盾。从而推翻了反证法的【全体实数可数(C)】的假定，从而证明了【全体实数不可数(乛C)】。并不是如沈先生所说的那样，由【得到一个新的、不在原序列中的实数】就根据实数集合在同位数集合的一一对应中不能【全部列出】，或根据沈先生所说【为康托所忽略】的【"事实F"】，就直接推出【实数不可数】。
即康托尔定理并不是直接【从假设实数可数，推出实数不可数】C→乛C，而证明了乛C【实数不可数】的。而是用反证法由C→(B∧乛B)【从假设实数可数，推出矛盾】，证明了乛C【实数不可数】。
所以说沈先生对康托尔的证明存在‘严重误读。
二，沈先生所指的【反证法的局限性问题】是错误的指责。
沈先生的一个奇怪逻辑，认为既然康托的证明是【从假设实数可数，推出实数不可数】，那么用此証法从假设实数不可数，就推不出实数不可数。因而他认为【从假设实数不可数，又可以推出没有证明实数不可数。这个结果无论是看成一个悖论（推出了矛盾），还是直接看结论，都说明由康托对角线法可以证明实数不可数的结论不成立。】沈先生这里的推论是逻辑混乱的。如果我们确实由【假定实数可数】证明了【实数不可数】，在假定【实数不可数】的条件下，当然不能用原证明的方法來证明【实数不可数】，但这只是说用此法【没有证明实数不可数】，并不是说用其它方法就【不能证明实数数不可数】。实际上由假定【实数不可数】就已经推出了【实数不可数】。这就是乛C→乛C。也就是说如果推出了C→乛C，因为又有乛C→乛C，所以(C∨乛C)→乛C。而我们知C∨乛C恒真，因而可推出乛C为真。这里的反证法并沒有什么【不完备性】和【局限性问题】。
反证法一般是指推出C→(B∧乛B)，因为B∧乛B恒假，所以推出乛C为真。但是如果推出C→乛C，也可利用反证法來证。因为如果推出C→乛C，由于有C→C，所以可推出C→(乛C∧C)。利用反证法，知乛C∧C恒假，所以推翻反证法的假定而得出乛C为真。只不过康托尔定理的证明不是这样由【实数可数】直接证明【实数不可数】，而是由【实数可数】推出矛盾，是用反证法证明了【实数不可数】。
三，沈先生对康托尔定理证明的错误质疑。
沈先生在文中有不少错误的论断，现逐项分析如下。
1，错误地认为不可数的定义是康托尔证明的【错误的根本原因】
沈先生说的【不可数，就是不能在任何一种（无穷多种）对应方式下与自然数一一对应。】这个意思当然是对的，一个集合可数是存在一个它同自然数集的映射是双射，那么不可数就是它同自然数之间的所有映射都不是双射。这在任何专业的教科书中都是讲得清清楚楚的。而沈先生却认为对这点的忽略【这实际上不能不说是康托对角线法运用以至其结论错误的根本原因。】显然是错误的，康托尔的证明用的是反证法，是由【实数可数】推出矛盾，根本就没有直接证明某集合不可数，怎么会有这样的忽略。
2，沈先生认为【在此我们必须强调一个事实，就是在任何多进制下，其特定位数所能表达的数与这个特定的位数之间是不能一一对应的。】
这就是他所谓的【"事实F"】。我们知道这个亊实对所有的有穷位小数可以严格证明，因为n位十进制有穷小数的个数是10n，所以n个元素的位数的集合自然不能同10n个元素的n位有穷小数的集合一一对应。但是对无穷小数来说，位数集就是自然数集，无穷小数的集合就是单位区间中的实数集，说它们不能一一对应，指的就是康托尔定理要证明的【实数不可数】。沈先生竟然说【以上“事实”当然很好“证明”，甚至根本就无需证明，因它就是多进制之所以被构造的目的。因此也可以看成是一个公理性的“事实”。】还认为【这实际上也是康托对角线法得以进行下去的前提或基础。因此，整个康托对角线法的结论前，必须加上这个前提。】把要证明的结论作为公理，作为证明的前提，沈先生对康托尔定理证明的理解，已陷入严重的逻辑混乱。
3 ，沈先生错误地认为集合的不可数不可能得到证明，
他说【本质上不可数是不能证明的：有谁能真的穷尽无穷多种证明？而证明任何集合的不可数，就需要无穷多种证明。因为对两个无穷集合而言，之间的对应方式有无穷多种。】这完全低估了人类逻辑推理的能力。康托尔定理证明的本身就是对这种观点的无情驳斥。用反证法假定集合可数，如果推出了矛盾，就可证明此集合不可数。并不需要进行无穷次的证明。
4，沈先生关于位数与多态自然数一一对应的奇谈怪论。
李先生说【多进制下的位数，虽然其可以用自然数去标定，但其每一位都不是单态的，因此位数，当其不仅仅是单态的自然数时，也就是不是每位的状态被额外地规定死不能再变更时，它绝对不是一般意义的自然数。】在这里是沈先生故意把水搅混，位数集同自然数集一一对应。是每个位同每个自然数的对应。每个位可以取其值，是多态的，这同自然数没有任何关系，同每个自然数对应的是每个位，位的态可以有多态，但每个位只有一个，所以自然数不会因同多态的位集对应而变成多态自然数，说同位数对应的自然数【它绝对不是一般意义的自然数】，是绝对错误的。同位数对应的自然数就是普通意义的自然数。
更何况康托尔的证明并不是根据实数集合【与每位多值的所有组合数一一对应不上，】來证明【实数不可数】的。沈先生说【必须再一次明确，可数不可数的定义，都是指的与每个单值的自然数去一一对应，而不是指的去与每位多值的位数一一对应。这是一种特殊的对应方式，与每位多值的所有组合数一一对应不上，只说明不能在与位数一一对应的前提下达到这种对应，而并没有证明这个集合不能在其它对应方式下可以与每个单值的真正意义的、纯的自然数的一一对应。】说这种话纯属无的放矢。因而沈先生所说的【康托对角线法及其结论实数不可数，问题盖出于此。】这种质疑完全來自对康托尔证明的严重误读。
5，荒谬的悖论说。
沈先生认为【由反证法推出“可以证明实数不可数”；但又由“证明了实数不可数”，又可以推出“没有即不可以证明实数不可数”。】从而他认为【我们实际可以得到一个悖论。】
我已在前面指出，如果确实由【实数可数】推出了【实数不可数】(薛注，这不是康托尔证明的方法)，当然可以用反证法证明【实数不可数】。因而说“可以证明实数不可数”是正确的。
但是由【实数不可数】的假定，只能推出，用原來的方法(即用原來由【实数可数】推出【实数不可数】的方法)推不出【实数不可数】。亦即可得出的只是"由此法没有证明实数不可数"，而并没有得出沈先生所说的【“不可以证明实数不可数”】的结论。可见沈先生在这里犯了偷换概念的错误。因为“可以证明实数不可数”，同“不可以证明实数不可数”是矛盾的，但同"由此法没有证明实数不可数"并无任何矛盾。
6，由对定理证明的歪曲和误读所产生的错误视角。
沈先生说【从另一个角度，也可以看出实数不可数并没有被康托对角线法证明。】什么视角呢？就是有人以为康托尔的证明是根据可数集合，发现了一个不在其中的元素，就证明此集合不可数了。这当然是对康托尔证明的误读。
沈先生说【一个无穷可数集，再加一个元素（比如对角线上新产生的那个），仍旧可数。此对角线过程、步骤可以可数无穷次地进行下去......其所添加的实数当然是可数的。那么......其所新产生并新添加到原序列中的实数全体就一定构不成全部实数。此点是没有被证明的。】也就是说可数的实数集合经过这样一个个地添加实数，可以得到全部实数。从而全部实数仍然是可数的。所以用发现不在序列中存在实数的理由证明不了全体实数不可数。这种质疑完全是出于对康托尔证明的误读，康托尔并没有这样来证明【实数不可数】，所以沈先生的质疑的视角就是根本错误的，是无中生有的无的放矢。
7，这里的肯定的命题与否定的命题之间的界限是清晰的，一点也下模糊。
沈先生说什么【肯定的命题与否定的命题之间的界限是模糊的】。这对于【实数集合可数】同它的否定命题【实数集合不可数】根本不适合。在这里界限相当清楚，丝毫不模糊。沈先生说【人们原本理所当然地以为（甚至还谈不上“以为”，而是根本就没有意识到），凡是能够与无穷位小数位数（以自然数标记）一一对应的集合就是可数的，反之就是不可数的。但实际上我们已经看到了，不能与无穷位小数的位数一一对应的，其实不止是不可数集（如果还有的话。证明不存在不可数集是另一个问题），还包括无穷多的可数集。】
要知道同以自然数标记的无穷小数的位数一一对应，就是同自然数一一对应。不能与其一一对应就是不可数。认为【不能与无穷位小数的位数一一对应的，其实不止是不可数集，......还包括无穷多的可数集。】完全是不符合实际的错误的结论。
而且康托尔也并不是用此来证明【实数不可数】的。这同康托尔定理的证明毫无关系。
沈卫国先生的错误质疑，完全是來自他对康托尔定理证明的误读。把康托尔定理用反证法由【从假设实数可数，推出矛盾】，证明了【实数不可数】,误认为是直接【从假设实数可数，推出实数不可数】。这是对康托尔定理证明的严重误读。
参考文献
Zmn-0630 沈卫国： 反证法以及康托对角线法证明中的逻辑问题再析康托
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zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
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