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Zmn-0673 沈卫国：对集合论中基数问题的看法以及实数可数、不可数问题的进一步澄清--兼以回复反对伊战先生在科学网文

已有 1791 次阅读 2021-9-16 12:45 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0673 沈卫国：对集合论中基数问题的看法以及实数可数、不可数问题的进一步澄清--兼以回复反对伊战先生在科学网文清慧博客中的“Zmn-0664 反对伊战：评Zmn-0643、0648 、0654、0660”

【编者按。下面是沈卫国先生的文章。是对反对伊战先生的《Zmn-0664》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

对集合论中基数问题的看法以及实数可数、不可数问题的进一步澄清

——兼以回复反对伊战先生在科学网文清慧博客中的“Zmn-0664 反对伊战：评Zmn-0643、0648 、0654、0660”

沈卫国

内容提要：澄清基数运算中的问题，提出一个判定实数集合构造方面的问题，并证明其与康托对角线法所谓的证明实数不可数是矛盾的。进而进一步证明笔者系列论文否定实数不可数的观点的正确性。

关键词：集合论；基数；势；可数；不可数；实数；阿列夫；阿列夫0；阿列夫1；康托对角线法；构造；不可构造；无穷公理

本来对这个问题不想多谈，因为在我的心目中，由于对康托对角线法的彻底分析与澄清，根本就没有了什么实数不可数、阿里夫1等等这回事，因此根本就不再重视基数问题。显然，如果实数也是与自然数一样可数的，那么对无穷集合而言，就只有一个基数，理论大为简化合理，而且基数这个含糊不清的概念就该被恭恭敬敬地礼送于垃圾场。但后来想了想，似乎还是有说一下的必要。

反对伊战先生在该文中引了我的一段话：“在Zmn-0654中，沈卫国先生说： 【六、阿列夫系列不能用于具体计算。比如，2的阿列夫次方等等的表述，只是大致表述不同阿里夫的“量级”，实际也许根本就不该这么写。所以不必太当真。它们之间，没有通常算术运算规则那样的运算关系的。只是一个“借用”写法。按我的看法，这反映了无穷理论的不成熟。给人一个假象，似乎他们可以运算似的。既然不能运算，干嘛非写成似乎可以运算的形式？这的确对很多人（不仅仅是初学者）构成了误导。这些东西，按我的结果，根本就不应该存在。所以不必当真。】”

我说的很明白，是“没有通常算数运算规则那样的运算关系的”。

而反对伊战先生却说：“上述说法是不对的。序数之间可以相加、相乘，可以定义指数运算，基数之间也可以相加、相乘，可以定义指数运算，见 Kunen的 Set theory An Introduction to Independence Proofs 一书

http://www.doc88.com/p-9923642279588.html），1.7 Ordinals, 1.10 Cardinals。”

我的说法与反对伊战的说法有矛盾吗？基数运算，当然与一般的算数意义的运算很不同。这个谁都知道。因此它的运算“没有通常算数运算规则那样的运算关系的”。是当然的、无疑义的。我当然并没有否定有基数的重新定义之后的那些所谓的“运算”。只要是预选定义好了的。当然，另一方面，我认为在那些在基数定义下的所谓“运算规则”，正反映了基数这个概念的不堪。比如，按它的定义，对有限集合而言，其基数的“运算”与一般的算数运算规则没有什么区别。就是“数个数”。个数多的基数就大。但一涉及无穷集合，规则大变。比如对无穷集合而言，阿列夫0 加阿列夫0还是阿列夫0。阿列夫0乘以阿列夫0还是阿列夫0，等等，这当然不是通常意义的“算数运算规则”。甚至不是有限集合的基数的运算规则，而是所谓的“无穷基数运算规则”。而在此基础上，就会有无穷多个（就暂时先算其为“可数无穷多”吧。这里面细究也是有问题的：不可数无穷多个东西，如何相乘？）阿列夫0相乘，居然就“突然地”不再等于阿列夫0了（任何有限多的阿列夫0相乘，都还是阿列夫0），而是等于阿列夫0的阿列夫0次方了（定义成阿列夫1）。这有什么根据？就是有，也是违反常规的“根据”。实际上这个根据只是这样构成的集合是不可数的（因为得到的明显是一个实数集合，而实数集合被广泛认为事先其已经由康托对角线法被所谓的证明成了是不可数的），因此要给它安排基数的新的位置而已。否则尽可以无穷多个阿列夫0相乘还是阿列夫0好了。如果我们直接把基数用自然数代替，比如阿列夫0用“1”代替，就表示第一个等级的无穷。如此，有限个1相乘，当然还是1，但无限个1相乘，就成了2的1次方（还是2）了？当然这只是一个类比，但足以见得无穷集合的基数运算与通常的算数运算是完全两回事。既然是两回事，又凭什么按有限集合的写法、符号、公式来写？这不是误导是什么？比如2的阿列夫0次方乘以2的阿列夫0次方，等于2的“阿列夫0加上阿列夫0”次方，等于2的“2倍阿列夫0”次方，最终还是等于2的阿列夫0次方。这个运算在通常的算数运算中当然是没有的。在这个意义上，2的阿列夫0次方这个定义或说法，纯粹就是一种从算数运算规则中的“借用”，而且是很容易误导的借用，因此不是一个好的借用。符号，表述，写法，都按算数运算规则中的写，可是真正运算时，又不按通常的算数运算规则来算，另搞一套，这好么？所以我才会在这个意义上说，不必把什么2的阿列夫0次方之类的写法太当真，以为它们真的可以与算数运算相当、并且可以按照通常的算数运算规则来算似的。这是个误导。既然无穷基数的“运算”（如果还能称得上是“运算”的话）与人们熟知的、通常的算数运算是如此地不同，那么，按一句当下时髦儿的话，就是不要来“蹭”这个“热度”，请换其它符号、写法来表示这些基数及其运算，才是正道。否则在教学和研究实践中，很多人都有莫名其妙之感。都会想当然地认为这些基数的符号可以按它表面上表示的那样，就是算数运算。这就增加了理解上的混乱。这也就是我的“不必把什么2的阿列夫0次方之类的说法太当真”的意思。

下面再谈谈基数的定义问题。在李佛奇、叶景梅编著的«集合论导引»这本书的第74页，他们写道：

“把有限集推广到无限集，‘个数’的概念就成为‘势’的概念。这时，对有限集采用计数清点元素的方法已不适用，而须采取一一对应的方法。我们称对等的集合具有相同的势（或基数）。这就是说，对于集合A，我们令一事物a与之相应，使得凡对等于A的集合都相应于a，这种新的事物a，成为集合A的势。

“上述形式上的定义，只说出了势应该是什么：第一，与集合中元素的特性无关；第二，与集合中元素的次序无关。但是这里并没有说出势到底是什么。前人曾经试探给出势的‘精确’定义，但都不能满意，而且也并非必要。实质上势的关系，只不过是对等集合间的关系的一种方便的表达方式而已。至于它的“本质”的探讨，则应让位于哲学了。我们将满足于势应该是什么样的解释，满足于势是元素个数概念的推广、集合的势相同就是集合对等的理解。”

通过以上正规教科书中的引文，我们可以知道，无穷集合势（基数）的概念，远不像一些集合论超穷理论的卫道者所宣称的那样，是一个定义明确的概念。它的定义，起码也是一个循环定义。比如前面引文中的定义中的势A，是由a定义的。但反过来，a也只有由A来定义。而且它基本上被这些“数学家”甩给哲学家了。换言之，反正也说不清楚，就索性不说了，于是他们正在心安理得地用这些定义不清的概念在教他们的学生。而一旦学生提出疑义，他们就会说这些概念很清楚，书上都有云云。

以下着重谈谈“2的阿列夫0次方”这个表达的来历问题。

它的一个来源，就是康托由其对角线法及其等价形式所谓“证明”的实数不可数。既然实数不可数，而2的阿列夫0次方可以表示二进制的实数集，那么，其当然就是不可数的。

但是，我们可以看到，比如2的5次方，2的6次方,..........，2的n次方（n为任何正整数）等等，都是可数的，无论这个“n”有多大。但一旦n→阿里夫0或等于阿里夫0了，就“突然地”不可数了，中间并未经过任何可数无穷阶段。而自然数1,2,3,4,5，.....，n，.........，如果n→阿列夫0，中间也是没有经过任何可数无穷的！二者不是一样的吗？凭什么认为差别这么大，一个不可数，一个可数？既然由2的n次方随n→∞到达2的阿列夫0是公认的，那么，中间未经过可数无穷，直接到不可数无穷，是不合常理的。它的实际“对应原则”为位数n对应于2的n次方，等于另一个自然数n'，虽然n≠n',但却都是自然数。只不过是一大一小不同的自然数而已。n到2的n次方的对应，是一到多的对应；但n到n'的对应，是自然数到另一个自然数的一一对应关系。而n'以下，仍是1到n'的一个自然数序列。于是，由n到2的n次方，再到n',既然n与n',都是自然数，只不过在有限时，后者比前者大。但再大也是自然数。因此2的n次方也必然是自然数。如此，当n到无穷或趋于无穷时，n可以认为趋于阿列夫0，n'当然也只能是阿列夫0，于是夹在中间的也只能是2的阿列夫0仍旧等于阿列夫0，也就是可数。这与康托对角线法得到的结果矛盾。因此，二者必有一真，也必有一假。而按前述，我们在从2的n次方逐渐得到2的阿列夫0次方时，中间没有经过可数无穷，因此只能认为最终得到的2的阿里夫0次方就是可数的。这实际可以看成是二进制实数可数的一个证明或构造法。因为它与我们由有限的自然数n得到阿列夫0的途径完全一样。而康托对角线法由于依赖于位数与列表中所列出的实数的个数的一一对应这一特殊要求（笔者早就揭示的）或假设条件，因此不符合实数不可数的条件（不能依赖于某特殊的对应关系）。因此并没有像通常人们普遍认为的那样证明实数不可数。

总之，一个不可数集合，如果有的话，是不可能直接“构造”出来的。如果一个可数无穷集合还马马虎虎可以勉强算能够构造，比如自然数集合，我们一个一个地去“数”这一可以永远地操作的步骤，通过无穷公理，算是“构造”出了整个自然数集合这一可数集合的原型。那么，我们能够说可以通过一个一个去“数”元素的办法，构造出不可数集合来吗（即使有无穷公理）？当然不行。如果行，那与可数集合，与自然数集合又有什么区别呢？因为不可数的定义，就是不能像自然数那样借助于无穷公理一个一个地去构造。因此，一个不可数集合，如果有，它能被“证明”或实际“构造”出的，不过是它不能与一个可数集合一一对应而已。但它自己的所有元素，即使考虑了无穷公理，也只能是不可“构造”的，否则就与可数集合，自然数集合无法区别了。但是，被以往所忽视的是，2的阿列夫0次方这样的集合，却是能够采用与自然数集合相仿的方式，借助无穷公理被构造出来。只是过去认为康托对角线法等方法是“铁定地”证明了实数不可数，因此才不得不把2的阿列夫0次方这个被“构造”出来的实数集合的“基数”，看成原本不应该能够被构造出来的不可数的实数集合的基数。这个矛盾或问题，居然这么多年没有被人发觉。明确地说，如果2的阿列夫0次方是实数集合的不可数基数，那它就必然哪怕借助于无穷公理也不能被构造；反之，如果它居然是实际构造出来的，借助于无穷公理，那它就应该是一个可数集合的基数。这是一个矛盾，居然长久没有被人发现的矛盾。只要是实数不可数，这个矛盾就不可消除。因此，我们说，唯一的结果就是实数是可数的。以上，可以认为是关于实数可数（实数不可数不对）的一个有力的新证明。

综上，实数集合都具体借助无穷公理被“构造”出来了。却仅仅因为康托对角线法等方法的所谓“证明”，就说已经被“构造”出来的实数集合就是那个不可数集合。这个结论是隐含矛盾的。理由是不可数集合不可构造。既然在这个具体的“构造”过程中间没有经历可数基数这一步，那它的结果就只能是可数基数而不会是不可数基数。否则作为这个最终结果（不可数基数）之前必须经过的、作为中间结果的可数基数哪里去了？此时，如果还坚持康托对角线法已经证明了实数集合不可数，那么必然与前述结论矛盾！因此，二者必有一真，也必有一假。不可能同真同假。而且可以见到，这里对实数集合的构造是确实的，而康托对角线法所谓的证明实数不可数又早被笔者证明是不成立的（参见笔者诸多论文），因此对后者的否定就是必然的选择。这里的论述可以认为是对笔者过去论述的一个重要的补充或佐证。而且还更其有力。

参考文献

近期，知乎何许文章

国家科技图书文献中心预印本沈卫国文章

网上搜索“沈卫国康托对角线法”等

汉斯出版社，理论数学或预印本中笔者的文章

著作：论自然科学的若干基本问题，论熵、不可逆过程及数学中的无穷题的证明。

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