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Zmn-0696 薛问天：关于区间[0,1)实数集的若干性质，评新华先生的《0648》

已有 2898 次阅读 2021-10-7 08:56 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0696 薛问天：关于区间[0,1)实数集的若干性质，评新华先生的《0648》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对新华先生《Zmn-0648》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

关于区间[0,1)实数集的若干性质

评新华先生的《0648》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，新华先生问【数轴上区间[0,1)是连续的区间，对应的长度为1的线段，那么离散点是否能构成连续的线呢？离散的实数是否能构成连续的实数区间呢？】

要回答这个问题，必须先问新华先生，你说的【连续】和【离散】是什么含义，即它们的定义是什么？你首先必须把概念的准确含义搞清楚了，问题才能回答准确。

在数学分析中【离散】是同【稠密】互斥和相对立的概念。【离散】是非【稠密】，【稠密】是非【离散】。什么是【稠密】？稠密性定义为，如果任意两点间都存在其它点。称为这个点集是稠密的。如果任意两数间都存在其它数。称为这个数集是稠密的。

显然区间中的点集是稠密的，不是离散的。同样区间中的实数集，无理数集，有理数集都是稠密的，不是离散的。而自然数集不是稠密的，是离散的。

在数学分析中【连续】是同【不连续】互斥和相对立的概念。【连续】是非【不连续】，【不连续】是非【连续】。什么是【连续】？连续性定义为，如果点集合中任意的点序列的极限点，都在于点集合中。称为这个点集是连续的。如果某数集合中任意的数序列的极限，都属于此数集合。称为这个数集是连续的。

显然区间[0,1]中的点集是连续的，不是不连续的。同样区间[0,1]中的实数集也是连续的，不是不连续的。但无理数集，有理数集都不是连续的，而是不连续的。

新华先生的问题中说区间中的点是【离散点】，说实数是【离散的实数】，不对，不符合这个定义.

实数区间[a,b]指的就是满足大于等于a小于等于b的全部实数。当然实数区间是由实数构成的。 在解析几何中，直线和曲线就是指其坐标满足一定方程的点。当然这些点能构成这些直线和曲线。在这些数学理论中，并无出现任何矛盾和问题，

二，新华先生问【在实变函数论中，区间[0,1)中的有理数集是离散的，去掉有理数集，剩余的是无理数小区间，还是离散的无理数集呢？】

区间[0,1)中的有理数集是稠密的，不是【离散的】。去掉有理数集，剩余的是无理数的集合，不构成【小区间】。无理数集合，有理数集合仍然是稠密的，不是离散的。但是已不是连续的集合了。成为不连续集合。

三，新华先生问【在区间[0,1)中的有理数与无理数也只是数值不同，只有所表示的点位置不同，其它属性是相同的，能否按照求区间[0,1)中的有理数集的测度的方法求区间[0,1)中的无理数集的测度？】

有理数点和无理数点的每一个点的测度都一样，测度都为0。但按勒貝格测度的规定，可数无穷多个互不相交的测度为0的集合的并集的测度为0，而不可数无穷多个互不相交测度为0的集合的并集的测度不是0，可以大于0，甚至无测度(不可测集)。由于区间[0,1]中有理数的个数是可数无穷多个。所以有理数集合的测度等于0。而区间[0,1]中无理数有不可数无穷多个，所以区间[0,1]中所有无理数的集合的测度不是0而等于1。又由于规定，如果集合A=B∪C，而且B∩C=∅，则A的测度等于B和C测度之和，因而[0,1/2]中无理数集合的测度等于 1/2。这是实数集合勒貝格测度的性质，这里测度已同基数无关，基数同样是不可数无穷多个，基数相同，但测度不同。

四，新华先生问【既然康托尔按照一数两码制。有1=0.999⋯，表明1也应该属于区间[0,1)，为什么不把区间[0,1) 写成区间[0,1]，康托尔对角线证法也不把区间[0,1)写成区间[0,1]？】

在实数的十进制无穷小数的表示中，所有的有穷小数(它是有理数的一部分)，都有一数两码。即可以表示为后有无穷个0，或后有无穷个9。如1/2=0.5000...=0.4999...。1=1,000...=0.999...等。这是非常清楚和明确的。

因而全部纯无穷小数(即整数部分是0的无穷小数)的集合，它是[0,1]，而绝不是[0,1)。因而康托尔定理的证明中，如说到全体纯小数，则所涉及的也是[0,1]。不过有的康托尔定理证明的叙述中，并不涉及全体纯小数，而是说[0,1)中的实数都可用十进制纯小数表示，这当然也并没有错。因为这里说的是全体[0,1)中实数，而不是全体纯小数。所以并无任何错误。证明[0,1)不可数，和证明[0,1]不可数都是正确的康托尔定理的证明。这里不存在任何问题。

五，新华先生问【

】

从这个问题的提出，可以㸔出，新华先生对极限是局限于实数范围内的这点，缺乏足够的认识。要非常明确极限这个概念只在实数这个数域中有效。实数序列的极限是一个确定的实数，这里面所有的数都是实数。这是有严格定义的。对极限是无穷大∞的情况，说的是这个实数序列的属性，∞并不是数。极限在基数中是无效的。

无穷小数可以表示为0.a1a2...。而n位有穷小数的个数等于10ⁿ。但不能认为无穷小数集合的基数等于10的无穷乘积，而无穷乘积等于有穷乘积10ⁿ的极限。因为按极限的定义，求出极限是无穷大∞ 。要知道无穷级数′1+1+1+...的和是部分和n的极限，也是无穷大。这种用实数极限的方法只能求出是无序大，根本求不出集合的确切基数出来。所以才发展了基数的理论。用基数的理论，证明了康托尔定理，证明了区间的实数集合，即全体无穷小数的集合不可数，证明了集合的幂集的基数大于原集的基数，基数有א_-o (A|eph-0)，א_-i(Aleph-1)，...等以及基数的运算。求集合的基数要用基数的理论和方法去求，而不能用实数序列求极限的方法去求。

六，新华先生说【

】

新华先生说有个【数运算法则】，这是并不存在的虚构的概念。不同的数系有不同的运算法则。实数，序数和基数都有加，乘和冪等运算，但它们的定义以及相应的运算法则都有不同，学习时必须分别学习，使用时也必须明确说明用的是哪个数系的运算。这是相当重要的，很多错误都是由于混淆了相应的数系而导致的。

在基数中，有基数的加，乘和幂运算，但沒有減和除运算（新华先生用除法进行推导是不允许的）。基数中幂运算是这样定义的，设集合A的基数是α，集合B的基数是β，则α^β是集合C={f |f:B→A}的基数。即所有由B到A的函数构成的集合的基数。所以所有十进制无穷小数集合的基数是10^א-^o，而所有二进制无穷小数集合的基数是2^א-^o。而且可以证明10^א-^o=2^א-^o这些都属基数的理论。

七，新华先生问【康托尔的超穷数理论，引入超穷序数和超穷基数，它们都是表示数量关系，超穷序数和超穷基数是否存在联系？是否存在对应关系？是否可以互相比较大小？是否能够反映客观世界事物发展规律？是否能够接受实践的检验？是否内部没有矛盾，能够自圆其说？】

超穷序数和超穷基数，它们表示的数量关系，分别是序数的数量关系和基数的数量关系。即良序集的序型和集合的势。序数和基数，当然有关系。任何序数都是小于它的序数的集合，既然是集合就有集合的基数。所以每个序数都有它的基数。但是不同的超穷序数可能有相同的基数。由于有良序定理，任何集合都可以定义良序构成良序集，存在与其等势的序数，于是序数的基数包括了全部的基数。从而可以用等势序数中的最小序数来唯一确定地定义基数。也就是说，基数同等势序数的最小序数可以建立一一对应。

至于大小关系，可以这么讲，两个良序集，如果它们的序数相同，则基数相同。但两个良序集的基数相同则序数不一定相等。如果良序集A的基数大于良序集B的基数，则A的序数肯定大于B的序数。但如果A的序数大于B的序数，则A的基数不一定大于B的基数，有可能是同势序数，其基数相等。

序数和基数的理论当然有其实践基础。現实世界中有很多良序集，其序型是超穷序数，有很多集合其基数是超穷基数。作为理论系统当然是严格推理，不允许自相矛看，必然是自园其说。要对理论提出质疑，必须拿出根据来，不能凭主观想像，随意乱讲。

八，新华先生问【任意一个数都是有限的，因此一一对应的操作过程只能在有限的条件下进行，都是可以趋向无穷，操作过程也只能是从有限次趋向无穷次，由于操作过程的次数与序数构成一一对应，因此序数也只能从有限趋向无穷，这与自然数序列是一致的。那么如何通过一一对应法则使得区间[0,1)中纯十进制纯小数与超穷序数构成一一对应的？又如何把超穷序数对应到超穷基数的？】

新华先生讲【任意一个数都是有限的】。请问你这句话的含义是什么意思，你的【数】指的是什么数，自然数，实数，还是指的是序数和基数？你的【有限】又指的是什么。我们只对【有限集合】有严格的定义，你说的【数】是【有限】指的到底是什么意思？

我们说每个自然数是有限的，是指每个白然数n，都表示一个集合n=｛0,1,2,...,n-1｝，这个集合是有限集合。所以说每个自然数都是有限的数。含义非常明确。我们说每个实数是有限的，是指每个实数都存在一个比它大的自然数，此实数小于此自然数，小于此有限数，所以实数都是有限数。

也就是说我们可以这样定义有限数。如果一个数是一个有限集合，则此数是有限数。如果一个数小于某有限数，则此数是有限数。在此定义下，每个自然数，每个实数都是有限数。完全正确。但用此定义来说。说超穷序数和超穷基数是有限数就完全错了。因为超穷序数代表的集合是无穷集合，不是有穷集合。超穷基数不可能小于任何有限数。

新华先生说【因此一一对应的操作过程只能在有限的条件下进行，都是可以趋向无穷，操作过程也只能是从有限次趋向无穷次，】

这个说法就不对了。每个自然数和实数本身是有限数，但由自然数和实数构成的集合却完全可能是无穷集合。而一一对应完全可能在无穷集合之间进行，怎么能说是【只在有限条件下进行】。何况我们论证两个集合一一对应，并不需要人去进行什么无穷次的或【趋于无穷次】的【操作过程】，而是通过思维逻辑推理来断定两个集合间存在着一个双射。例如我们证明自然数集同偶数集一一对应，只需要证明函数y=2x是这两个集合之间的双射，并不需要进行无穷次或【趋于无穷】次的一个什么【操作过程】。

新华先生说【由于操作过程的次数与序数构成一一对应，因此序数也只能从有限趋向无穷，这与自然数序列是一致的。】说的茣明奇妙，不知在说什么。判断一个良序集的序型是序数α，确实需要论证此良序集同序数α表示的集合存在保序的一一对应。这是一个论证过程，而不是操作过程，更何况序数α的构成，即序数α是所有小于α的序数的集合早已完成。同一一对应并无关系。第一个超穷序数ω是由所有自然数即有限序数构成的集合。可以说序数ω的构成是由有限到无穷，但后面的更多的超穷序数的构成集合中，也包含比它小的超穷序数，不能再说是由有限到无穷了，而是由小的无穷到更大的无穷。

新华先生最后问【那么如何通过一一对应法则使得区间[0,1)中纯十进制纯小数与超穷序数构成一一对应的？又如何把超穷序数对应到超穷基数的？】

先要说清楚，区间[0,1)中纯十进制无穷小数，按照它的自然序，它不是良序集，它没有序型，从而没有序数。也就是说，没有序数其所表示的集合能同它建立保序的一一对应。

但是区间[0,1)中纯十进制无穷小数这个集合(记为R)，可以按照另外构造的序关系，形成良序集，同某序数建立保序的一一关系。这是可从严格证明的。大致的证明思路是这样的。根据选择公理可以证明良序定理，即任何集合都可构造一个良序关系，使此集合成为良序集。另外知任何良序集都有一序数，使此良序集可同此序数表示的集合建立保序的一一对应关系。所以集合R能以构造的良序，同某超穷序数表示的集合，建立保序的一一对应。由于基数是同势序数中最小的序数。自然也可同基数建立一一对应。

这里对【存在】有一个认识问题，在数学上【存在】是要经过公理等严格的逻辑推理证明的。不是谁说存在就存在。例如空集的存在就要有空集存在的公理来保证。自然数集的存在，就要由无穷公理保证归纳集合的存在，由子集分离公理保证最小归纳集合的存在，由于自然数集是最小归纳集合，这才推理证明了自然数集的存在。

另一方面人们只要承认公理和推理的正确性，也应确切地承认由推理所证明的存在。所以也应承认我们所证明的区间[0,1)中纯十进制纯小数与超穷序数建立的保序一一对应的存在，以及同相应的基数建立一一对应的存在。这就是对新华先生所问问题的回答。

参考文献

Zmn-0648 新华：区间[0,1)实数集几个值得探讨问题

返转到

zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录