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Zmn-0687 沈卫国：关于新求导方法的讨论与澄清-回答薛问天先生zmn-0430文
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Zmn-0687 沈卫国：关于新求导方法的讨论与澄清-回答薛问天先生zmn-0430文
【编者按。下面是沈卫国先生的文章。是对薛问天先生的《Zmn-0430》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
-回答薛问天先生zmn-0430文“所谓新导数定义并未摆脱贝克莱悖论，评沈卫国先生zmn0422一文”
沈卫国
本不想就这个问题再多说什么。由于薛先生对这个问题的看法有些代表性，其言论有误导性，因此想想还是有必要再明确地阐述一下这个问题，以正视听。
转发薛问天先生的评语。
“沈先生居然忘了他是怎么求出切线的斜率來的。他是由2x+Δx，令其中Δx=0，求出切线的斜率的。当然，【Δx是交点的两个点的距离。距离=0，二点化为一点，】Δx=0，这是切线的特征，这没有错。但不要忘了你是从2x+Δx，令其中的Δx=0求出切线斜率的。这个2x+Δx是什么，是你在Δx≠0的条件下由割线的斜率推导出來的。割线的斜率为Δy/Δx=(2xΔx+ΔxΔx)/Δx，此式在Δx≠0的条件下等于Δy/Δx=(2x+Δx)。这里的2x+Δx是Δx≠0的割线的斜率，你根据什么断定由Δx≠0的割线的斜率，令其中的Δx=0，就等于切线的斜率。这里的Δx≠0同Δx=0，不就是贝克萊悖论吗？”
薛先生上议，较有代表性。持此议的不说是大有人在吧，起码也是“小有人在”。其实很明显，薛先生上议，是混淆了一条直线（此处是曲线的割线与切线）的斜率的必要条件与充分条件。我们说，上面提到的Δx与Δy，是曲线与作为直线的割线及切线的两个交点的坐标差，也就是“增量”，在Δx≠0时，Δy/Δx=(2xΔx+ΔxΔx)/Δx当然就是曲线纵、横坐标的增量比或曲线割线的纵、横坐标增量比，后者的数值当然就等于割线的斜率。但这个曲线与直线的两个交点的纵、横坐标差之比，可绝对并不是割线或切线斜率的定义！也就是它并不是割线或切线斜率的必要条件。我们说，对曲线与割线的两个交点而言，曲线的增量方程就是割线的增量方程（注意：这里不是增量比值方程！而仅仅是增量方程！）。比如上面薛先生讨论文中引用的二次函数，其增量方程为Δy=(2x+Δx)Δx，它也同时可视为是过割线与曲线的两个交点的割线的增量方程。其中的(2x+Δx)可以视为是这个割线方程（当然是直线方程、线性方程）的系数k，即k= (2x+Δx)，由于这里的k并不是常数，它是x与Δx的函数。在求导过程中并不考虑x的变化，只需要考虑Δx的改变。它随两个交点的变化而变化，因此k当然是两个交点的横坐标差Δx的函数，可以写成k（Δx）。（严格讲当然是k（x，Δx），不过此时x因与求导无关，被视为不变，因此可以不写）于是割线的增量方程可以写为人们熟悉的Δy=(2x+Δx)Δx = k（Δx）Δx。简单地，也可以写成人们更熟悉的Δy=kΔx，其中的k = 2x+Δx。K是一条直线方程（线性方程）的系数，而直线方程的系数就是其斜率，这个尽人皆知（初中水平。不知道或忘了的人，请去翻书）。为什么一到具体问题，就糊涂了？有没有一条定义，说是任何直线（当然包括割线与切线）的系数或斜率，唯一地取决于该直线与某曲线的两个交点的纵、横坐标差之比的？当然没有这个定义。我们只能得到在两个交点的横坐标差Δx≠0时，两个交点的纵、横坐标差之比，就等于或就是该割线的斜率。甚至可以由它“求出”该割线的斜率。但是，但是！该割线的斜率（系数），可不是唯一地只能由这两个与曲线的交点所决定或求出！它不是任何直线（当然包括割线与切线）斜率或系数的定义，不是求出这个斜率的必要条件。那么，任何直线（包括割线与切线）的系数或斜率的充要条件是什么呢？其实就是这条直线存在。更具体些就是在三维直角坐标系中存在（而在角坐标系中，不需要用斜率决定一条直线的方向。那里是用角度来标定方向的）。因为一条直线具有系数或斜率是其固有的性质、连带的性质。就是水平线，也有斜率为0。而直线上的任何具体的两个点，比如曲线与其割线的两个交点（当然间距不为0），只是求出、算出一条直线的斜率或系数的“充分条件”。
有了上面的认识，我们求曲线的割线或切线的系数（斜率），就可以完全有两个异于以往求导（求趋0极限）的更简单且彻底无矛盾的方法：
1、直接由割线的增量方程Δy=(2x+Δx)Δx = k（Δx）·Δx出发，求Δx=0时的k。可以吧？谁敢说不可以？此时当然有0 = k（0）·0，但此式中的那个k不是还在吗？我们求的不就是它吗？我们求的又不是Δy。此时的k，不是等于2x + 0啊？谁敢说不是，请给我站出来，自己走到墙角罚站去！难道一条直线上的两个点合二为一点了，这条直线的斜率就自动消失了？这条直线就退化成了一个点了吗？请问，用这种方法求导，还有分母上的自变量的增量吗？还用什么带分母的“不可达极限”吗？还能有什么“贝克莱悖论”吗？
2、除了上述直接了当的、最简单的方法，更一般的方法是：由于任何割线、切线都是直线，或可以无限长的“射线”，而不是止于其与曲线两个交点的线段（特别地在两个交点二合一时，该线段变成一个点，割线变切线，无法在此一个切点上直接定义切线的斜率），因此显然，该无限延伸的直线（射线）上的任何两个点的增量比都可以决定该直线的系数k（斜率），反之当然也成立。因为这是直角坐标系中的直线的性质所决定的。于是，前面早就说过了，决定该直线系数的远不是仅仅两个交点，特别是当两个交点二点合一时，它根本就无法再决定该直线的斜率了。但是，但是！难道任何直线就只有这两个交点是该直线上的点吗？或切线就只有切点这一个点？不是，当然不是！决定该直线斜率的点多了去了。因此，我们不妨把与曲线相交的割线方程直接写为Δy1=(2x+Δx)Δx1 = k（Δx）·Δx1，其中Δy1、Δx1，是该割线上的任何两个点。注意，是“任何”。它们可以是尚未合二为一的原先的两个交点的坐标，也可以不是。而式中的Δx，还是原先的两个交点的横坐标差。此时它只是决定该直线的斜率数值也就是角度了。当Δx不为0时，两个交点分离，此时的直线就是割线；当Δx等于0时，两个交点合为一点，此时的直线就是切线。但它们与该直线上的任何其它二点之差（由Δy1、Δx1表征）无任何关系。当Δx = 0时，曲线与切线相交于唯一的一个切点。但切线上大概不会只有这一个切点是点吧？此时的Δy1、Δx1表示的就是这其它的不限于切点的任意两个点的坐标差。而该切线的斜率（系数）可以由Δx = 0时的Δy1、Δx1之比即Δy1、Δx1来求出。尽管不是必须如此。这从前面的方法1可以看出来。即就算Δy1、Δx1都是0，该直线的系数（斜率）也存在，此时的求导法就回归前述方法1，此仍有0 = k（0）·0，同样可以由方法1求出斜率k。
以上求切线斜率（系数）的方法，如果可以称为是“求导”的方法的话，当然唯一的需要就是把导数的定义进行调整或“重新定义”。说来甚至“好笑”，这个“新定义”竟然就是尽人皆知的“老说法”：导数就是曲线的切线斜率！似乎没有什么稀奇，大家早就知道了。但既然知道，为什么不按我这里提出的最简单的方法来求这个“切线的斜率”呢？显然还是有所不知道。因为以往人们认为，这个切线的斜率只是数值上的，但其必须由曲线上的两个点去求。也就是它不仅仅只是切线这个直线的斜率（作为其性质），还必须是或满足曲线本身的性质。这牵涉到什么在无穷小段曲线是否会化为直线啦，曲线上的两个点趋于一个点时的不可达极限啦等等纠结无比的概念。总之，没有彻底搞清这个曲线的切线的斜率与这个曲线本身究竟是个什么关系。那个所谓的“微分三角形”究竟是0还是非0，不是0又是什么？是个不可达极限吗？既然不可达，却又被定义成新函数点，又可达了，是个什么意思？等等。总之，这个切线的斜率绝对不是仅涉及切线上的两个宏观意义的“增量”（否则不必这么麻烦地去求导数），但不是宏观意义的增量，又能是什么？曲线化成直线了吗？在什么意义上化成直线了？近似意义上吗？极限意义上吗？但这个极限可是不可达极限啊（在导数点并无函数值的）。等等。实际上传统上对微积分求导的诠释，无论对第一代还是第二代微积分，都没有很好地解决这个问题。都实际上有矛盾。区别仅仅是“明显的贝克莱悖论”与“隐晦的贝克莱悖论”之别罢了。对于“曲变直”的问题，现在可以说了：在任何情况下都不可能。无论是无限小意义还是不可达极限意义。曲就是曲，直就是直，不可能调和。即使在无穷小意义上（如果有无穷小的话），也是“无穷小的曲线”与“无穷小的直线”，这个区别一直延续到无穷小（论据：既然什么都可以无穷小下去，曲线凭什么就不能？难道无穷小还是直线的专利？）。换言之，曲线与直线之间截然不同的性质一直保持到无穷小（如果有“无穷小”这回事的话）。至于不可达极限点，比如切点，该单个的点本身无法确定斜率。因为这一个点仅仅是“一个点”，既不是曲线，也不是切线。它根本就不是“线”，而只是曲线或切线上的某一个具体的点而已。笔者提出的新定义，和基于此定义的求导新方法，本质上就是求曲线与割线的两个交点合二为一变为单一的切点时切线上任意两个其它点所决定的该切线的系数（斜率）。按这个思路、定义，导数的求法就彻底地摆脱了传统求法那种紧紧盯着对两个交点的纵、横坐标的增量比值（有分母上的自变量Δx存在！）求这个分母上的自变量Δx等于0或趋于0时的会产生0/0的情况再发生。于是令人难堪的明显（第一代）或隐晦（第二代）的贝克莱悖论就再也不存在了。
导数的物理对应事物之一是“瞬时速度”。如果对应几何上的“切线斜率”，而只有直线才会有斜率。于是，“瞬时速度”究竟是什么，按传统诠释（无论第一代还是第二代微积分）又会纠结于外力存在时的变速运动或曲线运动是否在无穷小时段或不可达极限点就“退化”成了匀速直线运动的问题。因为毕竟求出的就是匀速运动下才有的那个速度嘛（对应于几何上的直线斜率）。因为毕竟，变速或曲线运动的速度随时在变，而速度定义又严重依赖于不为0的时段（非瞬时），这就产生了矛盾。就会有一个瞬时速度究竟是什么、如何无矛盾地定义的问题。本质上，传统微积分诠释（无论第一代还是第二代微积分），都是试图在外力始终存在的情况下，在变速或曲线运动的基础上解释这个问题。笔者揭示，这种方法误解。只要外力存在，物体就会作变速或曲线运动，哪怕这个外力无限小，时段无限小。变速或曲线运动也会无限小，但绝对不会消失，或所谓的“退化”成了匀速直线运动！可是以往人们就是这么认为的，也只有这么认为：在无穷小段（第一代微积分）或不可达极限点（第二代微积分），变速运动或曲线运动与匀速直线运动二者合一了。否则怎么明明求的曲线的瞬时速度时，会出来个匀速直线运动的速度（对应于直线的斜率）？二者不合一，又能如何解释？可见，依笔者所见（事实也确是如此！），在传统微积分诠释下，这个问题根本无解。曲线与直线，变速与匀速，受力与不受力，不可调和。在无穷小也不可调和，在不可达极限点更不可调和。贝克莱悖论在本质上盖源于此。如何从根本上解决这个问题？笔者给出的答案是（与几何情况完全对应地）：一个受到外力作用作变速或曲线运动的物体的瞬时速度，是当假设这个外力突然解除消失的瞬间，该物体所作匀速直线运动的速度。就称此匀速直线运动的速度，为该受力变速或曲线运动在该时刻（瞬时、时间点）的瞬时速度。于是，对外力始终存在着的变速或曲线运动而言，其每一瞬时的瞬时速度，只是一个“虚拟”的速度。它并没有在现实中真的存在，只要外力始终存在。它只是假想这个外力“如果”突然间没有了的话，该物体作不再受外力时的匀速直线运动时的速度。如此一来，按此定义，不依赖非0时段的变速运动的瞬时速度（数值上等于匀速直线运动速度），就与现实中始终受到外力而始终（包括无穷小时段）在作变速或曲线运动（非匀速直线运动）再无矛盾了。总之一句话：曲线实，直线虚，再无矛盾。变速实，匀速虚，再无矛盾。受力实，非力虚，无矛盾。而如果曲线、直线，变速、匀速，受力、非力都实，则必有矛盾！因为它们即使在无穷小段，也是不同的。非看成相同，必有矛盾。无法调和。试图以不可达极限去调和，是个矫揉造作的假调和。属于把学生甚至教师本身弄晕了一时也提不出什么问题就算解决了问题的典型案例。
本不该这么啰嗦的。“聪明人一点就通”。但出乎笔者意料之外，现实远不是这么回事。所以笔者被“养成”了某种“话痨”模式。“车轱辘话”反复地说，“变着法地”去说（说笔者成了“苦口婆心”的老婆婆也不为过）。就是希望有人（还是经常自诩为人世间最最思维严密的“数学工作者”，呵呵）能够真正地如古人所说“心有灵犀一点通”，开启一下这些人内心深处的“创新之门”，当然是如果还有这么个“门”的话。笔者不想就此事“打脸”任何人，“讽刺”任何人，“贬低”任何人。只是希望有人“不被打脸”、“不被讽刺”、“不被贬低”而已。（特别是自诩思维严密无比的“数学工作者”。我这里故意不提“数学家”，是因为既然成“家”了，这点“小菜一碟”的东西自然不在话下。特别是在笔者如此详细、啰嗦地解释之后）
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