Zmn-0695 反对伊战：回复林益先生的Zmn-0692

【编者按。下面是反对伊战先生的文章。是对林益先生的《Zmn- 0692》文章的回复。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

回复林益先生的Zmn-0692

反对伊战

我觉得林益先生看过康托的原著，但不了解现代数学中对序数、基数的定义 ，就好像一个人会古文，但不会现代文，与现代人交谈时会说你这个说法与古文不符，这样的交谈是有麻烦的。所以林益先生最好找一本公理集合论的教科书看一下。否则现在这样，通过网上让别人大量地解释，来学公理集合论，很麻烦。

下面，我来回答林益先生的问题。

1、我说【假想我们数完了全体自然数】，这是便于我们理解序数、基数概念而采用的方法，你当然可以认为全体自然数不能被数完。顺便说一下，一个无穷过程是可以完成的。我在Zmn-0679中说【一个无穷过程完成了，是指这个无穷过程中的每一项都完成了。关于“小球从0等速直线运动到1”问题，我们可以换成阿基里斯追乌龟的问题来考虑。阿基里斯和乌龟在实数轴上。时刻为0时阿基里斯在0处，乌龟在0.9米处。阿基里斯以每秒1米的速度等速直线运动，乌龟以每秒0.1米的速度等速直线运动。时刻为0.9秒时，阿基里斯运动到0.9米处，而乌龟则运动到0.99米处，时刻为0.99秒时，阿基里斯运动到0.99米处，而乌龟则运动到0.999米处…这个过程一直继续下去，我们就得到了无穷序列0.9米，0.99米，0.999米…在时刻为1秒时，阿基里斯在1米处追上了乌龟，阿基里斯追乌龟的过程结束，无穷序列0.9米，0.99米，0.999米…完成。】

2、关于【我用ω表示 omega】，我原文写的是【我用w表示 omega】，因为我不能打希腊字母 奥米伽，就用 w 代替。文博主 将 w 改为 ω。

3、 定理 如果a是一个可数序数，那么序数ω的 a 次方也是一个可数序数。

证明： 我们将ω的 a 次方记为 ω^a。如果有可数序数 c 满足ω^ c 为不可数序数，考虑集合B={x: x 小于等于 c， 且ω^x 为不可数序数}。因为c 属于B，所以B不是空集，所以B中有最小元，将这个最小元记为b。所以，ω^b为不可数序数，对于x<b有ω^x是可数序数。下面分2种情形讨论。

情形1  b是一个后继序数，即存在序数d 满足b=d+1。 则ω^b=ω^(d+1)=ω^d乘以ω。因为ω^d和ω都是可数序数，所以ω^d乘以ω是可数序数，即ω^b是可数序数，这与已知ω^b是不可数序数矛盾。

情形2   b是一个极限序数。则由定义，ω^b等于ω^x的并，这里x取遍小于b的序数。由于b是可数序数，小于b的序数只有可数个，而每一个ω^x都是可数集，所以ω^x的并也是可数集，所以ω^b是可数序数，这与已知ω^b是不可数序数矛盾。

在2种情形下都得到矛盾，所以可数序数 c 满足ω^ c 为不可数序数，这样的c不存在。所以原定理得证。

4、引用上面的定理，取a=ω， 得ω^ω是可数序数，取a=ω^ω， 得ω^（ω^ω）是可数序数，等等。这里，不要混淆基数 阿列夫0 的阿列夫0 次方与序数 ω^ω。基数阿列夫0的 阿列夫0 次方是基数的指数运算，序数 ω^ω是序数的指数运算，这是一个容易搞混的地方。基数 阿列夫0 的阿列夫0 次方是不可数基数，序数 ω^ω是可数序数。至于大基数定理，这个定理说什么？大于等于阿列夫 1的序数都是不可数序数，小于阿列夫 1的序数都是可数序数。

5、关于Hilbert 1900年提出的23个问题，见

https://zhidao.baidu.com/question/712382872782628765.html，【（1）康托的连续统基数问题。
　　1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。】

可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，说明实数集基数是最小的不可数基数，即实数集基数等于阿列夫 1。而实数集基数就是[0,1]区间实数的基数，就是2的 阿里夫0 次方。