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Zmn-0682 薛问天：缺乏对逻辑的最基本认识，是沈卫国先生产生错误的主要原因。评《0649》
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Zmn-0682 薛问天：缺乏对逻辑的最基本认识，是沈卫国先生产生错误的主要原因。评《0649》
【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对沈卫国先生《Zmn-0649》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
缺乏对逻辑的最基本认识，是沈卫国先生
产生错误的主要原因。评《0649》
薛问天
沈卫国先生有他的优点，喜欢写些文章，发表一些他自己的㸔法。但他没有发现他的一个重要缺陷，就是他在逻辑上，缺乏一些最基本的认识，从而常犯错误。严童的是他沒有认识刭他的错误，以为他是对的，所以很难改正。
一，关于对反证法的逻辑的理解，就是一个重要的例子。
实际上反映出他对【在假定P下推出Q】和【推出Q】的区别，即【证明P→Q】和【证明Q】的区别，竟然分别不出来，竟然混为一谈。
严重的是他认为【本人玩儿反证法玩儿了那么多年，居然最后还不懂！】其实是他真没弄懂反证法的逻辑。
沈卫国先生说【薛先生自己说的：“即康托尔定理并不是直接【从假设实数可数，推出实数不可数】C→乛C，而证明了乛C【实数不可数】的。而是用反证法由C→(B∧乛B)【从假设实数可数，推出矛盾】，证明了乛C【实数不可数】。”
你敢说你自己没有从假设“实数可数”，得到最终结果“实数不可数”？】
当然我敢说，"实数不可数"的结论不是在"实数可数"的假定下得到的。也就是说，反证法所证明的结论，并不是在反证法的假定下得到的结论。而且由于反证法的假定推出了矛盾，从而推翻了反证法的假定，而得出了结论。因而这个结论是直接为真的结论，而不是在反证法假定下为真的结论。也就是说在逻辑上，反证法是 Σ，C⺊(B∧乛B)，从而Σ⺊乛C 。并不是直接由 Σ，C⺊乛C，因为由此得出的是 Σ⺊C→乛C，而不是Σ⺊乛C。即推出的是C→乛C，而不是乛C。
我是希望沈卫国先生把这个道理，化点时间弄清楚，这不是省略表述的问题，而是严格的逻辑问题。就是要严格区分命题Q同蕴涵命题P→Q的区别。也就是要认清，反证法并不是在反证法的假定下，推出结论。而是在推翻了反证法的假定后，得出要证明的结论。
【玩儿反证法玩儿了那么多年，居然最后还不懂！】这个教训确实值得反省和深思！
二，关于认为反证法具有【不完备性】和【局限性问题】的错误。主要是逻辑的错误。
沈先生认为反证法是由C推出乛C，而没有从乛C推出乛C从而认为反证法有所谓【局限性】。实际上反证法是由C→(B∧乛B)，直接推出乛C。根本不需要再由乛C推出乛C，所以根本不存在【局限性】的问题。
当然如果真由C推出乛C，也可用反证法來证。此时也不存在【局限性】的问题。
沈先生针对我说的这句话〖如果我们确实由【假定实数可数】证明了【实数不可数】，在假定【实数不可数】的条件下，当然不能用原证明的方法來证明【实数不可数】，但这只是说用此法【没有证明实数不可数】，并不是说用其它方法就【不能证明实数数不可数】。〗
沈卫国先生质问说【我什么时候说用其他方法就“不能证明实数不可数”了。】
那就请问【由“证明了实数不可数”，又可以推出“没有即不可以证明实数不可数”。】这句话又是谁说的。话中的【没有】当然指的是用此法【没有证明实数不可数】，话中的【不可以证明实数不可数】，指的当然是用任何方法都【不能证明实数数不可数】。你用【即】这个词把它们等同起来，还要问【我什么时侯说】？我明确告你，你在《0630》中说康托尔的反证法是【悖论】时说的。
关于这点我在上文中己经说得相当清楚。〖但是由【实数不可数】的假定，只能推出，用原來的方法(即用原來由【实数可数】推出【实数不可数】的方法)推不出【实数不可数】。亦即可得出的只是"由此法没有证明实数不可数"，而并没有得出沈先生所说的【“不可以证明实数不可数”】的结论。可见沈先生在这里犯了偷换概念的错误。因为“可以证明实数不可数”，同“不可以证明实数不可数”是矛盾的，但同"由此法没有证明实数不可数"并无任何矛盾。〗
沈卫国先生错误地认为反证法是由反证法的假定推出结论的，C→乛C。然后说这是由C推出乛C，没有由乛C推出乛C。接着把【没有】偷换成【不可以】，认为他证明了不可以由乛C推出乛C，从而得出矛盾。说反证法【不完备】，【有局限性】，他的这种偷换概念的推论显然是错误的。
我在前文中已经指出:〖实际上由假定【实数不可数】就已经推出了【实数不可数】。这就是乛C→乛C。也就是说如果推出了C→乛C，因为又有乛C→乛C，所以(C∨乛C)→乛C。而我们知C∨乛C恒真，因而可推出乛C为真。这里的反证法并沒有什么【不完备性】和【局限性问题】。〗
沈先生缺乏最基本的逻辑常识，竟然说【薛先生也真够逗的，我的具体分析你提也不提，就说乛C→乛C，你这叫“推理”？我看你是“不讲理”。......开玩笑！这叫命题重复，同义反复。毫无意义的。】
沈先生竟然反对A→A这样的永真命题來了。希望沈先生去学学最简单的数理逻辑，在逻辑学中有一类最筒单的公式，它是永真的，专业上叫重言式。如A→A，A∧B→A，A→A∨B，... 等。乛C→乛C就是重言式，当然可以在推理中使用。怎么能反对这样的推理，还认为它是【同义反复，毫无意义。】我劝沈先生，还是化点时间补一点最基本的逻辑知识吧！
三，关于沈先生的七个错误。
我在《0646》中批评了沈卫国先生的七个错误。他的回复都没有集中我批评的要害。
1，错误地认为不可数的定义是康托尔证明的【错误的根本原因】。
沈先生对此说不出任何反对的理由，因为康托尔的证明并不是直接用不可数的定义去证明实数不可数的。所以这个错误是明显的。
2，沈先生认为【在此我们必须强调一个事实，就是在任何多进制下，其特定位数所能表达的数与这个特定的位数之间是不能一一对应的。】
沈先生的错误在于认为【以上“事实”当然很好“证明”，甚至根本就无需证明，因它就是多进制之所以被构造的目的。因此也可以看成是一个公理性的“事实”。】
这当然就是需要证明的命题。在位数无穷时，这就是康托尔定理要证明的结论。把它㸔作是公理，甚至在证明康托尔定理时还要利用这个亊实。显然是严重的逻辑混乱。沈先生无法辩驳，却拿下面这段话來反驳。
沈先生在这次反驳中问道【实数不可数的定义是什么？不是“不能与自然数一一对应”？如果它是“不能与每位多值的位数一一对应”的话，按数学的严格性，在实数不可数的定义中是不是必须如此地写？】
这个提问同上述把要证明的命题说成是公理的错误毫无关系。只说明是沈先生的对康托尔定理证明的误读。康托尔的证明就没有用【“不能与每位多值的位数一一对应”】来证明实数不可数。所以说沈先生的这个提问毫无意义。在康托定理中用到假定实数集合可数，从而实数集合同自然数一一对应。用到无穷小数的位数同自然数一一对应。从而以n为编号的实数αn存在有笫n位的小数αnn。构造的无穷小数b有第n位小数bn。沈先生你是否连「以n为编号的实数αn存在有笫n位的小数αnn。构造的无穷小数b有第n位小数bn。」这样的简单亊实也反对吗！
3 ，沈先生错误地认为集合的不可数不可能得到证明，这是对人类推理能力的严重低估。
沈先生说【你薛先生给我说一说。光喊口号无用的。连可数种对应方式下的结论都无法穷尽，都无法在有限步中完成，你怎么居然可以在有限步中证明出来可数无穷之外还有无穷的？】
沈先生的这句话说明他对人类的逻辑推理的能力太低估了。请您看一看学一学康托尔的幂集定理的证明。这个定理就是用有限步的证明，证明了集合的幂集的基数大于原集合的基数。可数无穷集合的幂集就是不可数无穷的。这个定理可以用有限步的推理得到严格的证明。【可以在有限步中证明出来可数无穷之外还有无穷的】。这是亊实，不是【空喊口号】。
4，沈先生关于位数与多态自然数一一对应的奇谈怪论。
李先生上次说【多进制下的位数，虽然其可以用自然数去标定，但其每一位都不是单态的，因此位数，当其不仅仅是单态的自然数时，也就是不是每位的状态被额外地规定死不能再变更时，它绝对不是一般意义的自然数。】在这里是沈先生故意把水搅混，位数集同自然数集一一对应。是每个位同每个自然数的对应。每个位可以取其值，是多态的，这同自然数没有任何关系，同每个自然数对应的是每个位，位的态可以有多态，但每个位只有一个，所以自然数不会因同多态的位集对应而变成多态自然数，说同位数对应的自然数【它绝对不是一般意义的自然数】，是绝对错误的。同位数对应的自然数就是普通意义的自然数。
而这次《0649》又说【您薛先生既然说与位数对应，就是与自然数对应。那么，就应该像个与自然数对应的样子，好么。与自然数对应了，自然数是不是每个单值的？如此，您说与位数对应一样，那么，每位是不是也应该是单值的？换言之，每位是不是不允许再改变？如果不能改变，对角线法的逐位求异还能进行下去吗？】
在这里沈先生陷入严重的逻辑混乱，自然数是同位数一一对应，自然数是单值的1就是1，2就是2，同样，位数也是单独的，第1位小数就是第1位小数，第2位小数就是第2位小数。【每位是不是也应该是单值的？换言之，每位是不是不允许再改变？】每个位的位数只有唯一的一个，不会变化。这里讲的一一对应是自然数同位数的对应。各位的值变化不影响位数的变化。每个编号为n的实数αn，都有它an的第n位小数ann，这同它的值等于什么沒有关系。an的第n位小数是ann，这个位数是唯一确定的。一一对应说的正是它的位数是唯一确定的。因而【对角线的逐位求异】完全可以顺利进行。
5，荒谬的悖论说。
沈先生认为【由反证法推出“可以证明实数不可数”；但又由“证明了实数不可数”，又可以推出“没有即不可以证明实数不可数”。】从而他认为【我们实际可以得到一个悖论。】
我上次批评说〖由【实数不可数】的假定，只能推出，用原來的方法(即用原來由【实数可数】推出【实数不可数】的方法)推不出【实数不可数】。亦即可得出的只是"由此法没有证明实数不可数"，而并没有得出沈先生所说的【“不可以证明实数不可数”】的结论。可见沈先生在这里犯了偷换概念的错误。〗
沈先生提不出任何反驳的理由。却说道【...我从来说的就是“此法没有证明实数不可数”，从来也没有就此就得到“不可以证明实数不可数”。】
我前面已经说过，那就请问【由“证明了实数不可数”，又可以推出“没有即不可以证明实数不可数”。】这句话又是谁说的。话中的【没有】当然指的是用此法【没有证明实数不可数】，你用【即】这个词把它同【不可以证明实数不可数】等同起来，这不全是你说的吗？这你怎能否认得了。
6，由对定理证明的歪曲和误读所产生的错误视角。
沈先生说【从另一个角度，也可以看出实数不可数并没有被康托对角线法证明。】什么视角呢？就是有人以为康托尔的证明是根据可数集合，发现了一个个不在其中的元素，就证明此集合不可数了。这当然是对康托尔证明的误读。我批评的是由沈先生的误读所带來的错误视角。沈先生对此批评提不出任何意见来，却说【您不是故意歪曲我的论点？还是您逻辑水平太差？谁说“可以得到全部实数”了？我明明说的是“没有证明一定构不成全部实数”，二者的区别您分不清？】沈先生的逻辑也太成问题了，沈先生强调说【一定构不成全部实数】没有被证明，不就是想说明【可以得到全部实数】吗？
7，这里的肯定的命题与否定的命题之间的界限是清晰的，一点也下模糊。
沈先生对我的批评提不出任何反对意见。却说【那好，您既然这么说，就请您秉承数学的严密性要求，按与位数一一对应来定义可数与不可数，好么？您别说什么它就是与自然数一一对应。既然二者一样（您一口咬定），您以后以及教科书中以后就按“位数”写，好不？您敢不敢这么改？您如果没有胆量这么改，就请您不必再多说什么了。】
我当然敢，而且比你的要求更高。不是改，我可以证明一个如下的定理。
定理，设A是任意可数无穷集，则凡是能同A一一对应的集合都是可数无穷集。凡是不能同A一一对应的无穷隼合，都不是可数穷穷集合。
根据这个定理，由于无穷小数的位数集是可数无穷的。所以就可以用同无穷小数的位数集是否可以一一对应，来判定任何无穷集是否可数。这是千真万确的亊，当然敢说。
不过我要在此说清，康托尔的证明并不是用此来证明【实数不可数】的。这同康托尔定理的证明毫无关系。用此来质疑康托尔定理的证明，完全是沈先生对康托尔证明的误读。
沈先生在文中最后说【陶哲轩已经明确讲了：反证法并不是一个十分靠得住的证明方法，实际上就是它有可能在证明中引入隐蔽的假设。哪像薛先生这样，只要写出反证法的形式，就一定对，就不会把反证法用错了？】
这又是沈先生的错误理解，陶先生在这里強调的是要正确地使用反证法。并不是在否定反证法，说反证法是靠不住的证明方法。而是说要正确地使用反证法。任何靠得住的证明方法，都要按它的规定正确使用。
沈先生说什么【只要写出反证法的形式，就一定对，就不会把反证法用错了。】这并不如沈先生所说，【像薛先生】的观点。薛先生认为正确【写出反证法的形式】是正确使用反证法的必要条件。连【写出反证法的形式】都写不对，当然就不可能正确使用反证法，甚至都不可能正确理解反证法是什么。
总而言之。沈先生对我在《0646》中批评的七个错误。提不出任何反对意见。都是拿一些其他问题来干扰，而这些问题也都错误连篇，不堪一击。
参考文献
Zmn-0649 沈卫国： 评薛问天先生：“沈卫国先生的错误质疑來自对康托尔定理证明的理解错误。评《0630》”一文的评论
Zmn-0646 薛问天： 沈卫国先生的错误质疑來自对康托尔定理证明的理解错误。评《0630》
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zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
Zmn-0673 沈卫国： 对集合论中基数问题的看法以及实数可数、不可数问题的进一步澄清--兼以回复反对伊战先生在科学网文
Zmn-0655 薛问天： 不要再错误地坚持把复合函数看作是【以x=g (y)为定义域的f函数】了，评师教民《0626》
Zmn-0649 沈卫国： 评薛问天先生：“沈卫国先生的错误质疑來自对康托尔定理证明的理解错误。评《0630》”一文的评论
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