Zmn-0688 反对伊战：回复林益先生的Zmn-0686

【编者按。下面是反对伊战先生的评论。是对林益先生的《Zmn-0686》文章的回复。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

回复林益先生的Zmn-0686

反对伊战

你看过康托的原著，但不了解现代数学中对序数、基数的定义 ，就好像一个人会古文，但不会现代文，与现代人交谈时会说你这个说法与古文不符，这样的交谈是有麻烦的。

我在 Zmn-0511 中直观地介绍了序数、基数的含义，从那一段介绍看，基数是序数的说法是没有问题的。

那一段文字如下。

【我先聊一聊序数和基数，使大家对序数和基数有一些直观的概念。

设想桌子上有一些苹果，有一个人叫张三，想知道如果他一天吃一个苹果，能吃多少天。他于是从左向右数了起来：1,2,3,4,5。这样，他得到了序数5。如果他换一种次序（比如从右向左或别的次序）数，仍然会得到5，当然，这是生活常识。由于不管按什么次序，只要一个不漏、无重复地数，都得到5，我们就得到了基数5的概念。我们说有5个苹果。对于有限个物体，不管按什么次序数，结果都一样，数学上对此是有证明的。对于自然数，序数、基数总是相等的，所以在中、小学我们不区分序数、基数的概念，统称为自然数。现在，假想我们数完了全体自然数，继续往下数：ω （ω 表omega）,ω+1,ω+2…这时候，数无穷集得到的结果就与数的次序有关。比如，数全体自然数之集，我们先按1,2,3…次序数，数完全体非零自然数，最后数0，我们得到序数ω。如果，我们先按1,3,5…次序数，数完全体正奇数，然后按2,4,6…的序数，数完全体正偶数（对2我们数ω, 对4我们数ω+1，等等），最后数0，我们得到序数ω+ω，按别的次序数，我们还会得到别的序数。那么，全体自然数之集，元素个数是对少呢？ ω? ω+ω? 或别的序数？康托规定元素个数是各种数法中得到的最小序数！这个最小序数被称为集合的基数。对于自然数之集，这个最小序数为ω，所以自然数之集的基数为ω。】

我用ω表示 omega 。可以证明如果a是一个可数序数，那么序数ω的 a 次方也是一个可数序数。所以，ω的 ω 次方和 ω的（ω的 ω 次方）次方，ω的[ω的（ω的 ω 次方）次方] 次方 等等都是可数序数。这里，不要混淆 基数阿列夫0的 阿列夫0 次方与序数 ω的 ω 次方。基数阿列夫0的 阿列夫0 次方是基数的指数运算，序数 ω的 ω 次方是序数的指数运算，这是一个容易搞混的地方。

[0,1]区间实数的基数（即2的 阿里夫0 次方）是阿里夫1，还是阿里夫2…？这个问题是连续统假设问题。连续统假设说2的 阿里夫0 次方等于阿里夫1。连续统假设问题是Hilbert 1900年提出的23个问题中的第一个问题。在1960年代，Cohen 证明了连续统假设是独立于ZFC公理的，即用ZFC公理既不能证明连续统假设为真，也不能证明连续统假设为假。

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