Zmn-0697 薛问天：不同数系有不同运算和运算规则，不可混淆。评李振华《0658》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对李振华先生《Zmn-0658》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

不同数系有不同运算和运算规则，

不可混淆。评李振华《0658》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

李振华先生说【一边说不可数无法相加，一边写下2^c这样的式子，做自己认为是错误的事情，又认为自己是对的。自相矛盾的理论，自相矛盾的人。】

对此错误的论断，评论如下。

一，我们首先要认清，在数系中的运算，一般只允许进行有穷次。不允许进行无穷次。除非另外再做定义。因为人们不可能进行无穷次的演算，而所谓另外的定义，则必须是能通过有穷次的推导和操作来完成。

例如实数的加法，一般只有有穷次的加法。对于可数无穷次的加法，即所谓无穷级数，是要另外定义的。即定义无穷级数的和等于部分和的极限。人们不可能一个一个地进行无穷次的运算操作，但是求部分和及求极限却是可以在有穷步的操作下完成。

至于什么是不可数无穷个数的相加和相乘，当然并没有定义，不知是什么意思，不能进行。

而另一方面2^C是两个基数的幂运算，有明确的定义，是基数为C的集合到基数为2的集合的所有函数的集合的基数。 一个是在实数中不允许进行不可数无穷次加法和乘法运算，一个是在基数中可以执行一次幂运算，这两件亊有何矛盾？凭什么说这是【错误的事情】和【自相矛盾的理论】。

二，李振华先生的错误论断，主要来自对「不同的数系有不同的演算规律」这点缺乏足够的认识。

下面我们简单介绍一下实数，集合，基数和测度的运算及相应规则。

1，实数的运算，

实数有加，減，乘，除和幂等算术运算，及其相应的运算规律，如加和乘的可换律，结合律以及分配律等。一般地只允许有穷次的运算，但对可数无穷多次的加法和乘法，即无穷级数与无穷乘积，可用部分和与部分乘积的极限来定义。而不可数无穷多次的加法和乘法，在实数中是没有定义的，从而不允许进行。

2，集合的运算。

集合有交(∩)和并(∪)的运算。交A∩B表示既属于A又属于B的元素构成的集合。而并A∪B表示A和B中所有元素一起组成的集合。那么无穷次的交和并的运算可否进行呢？不能一次一次地进行无穷次，但是有这样的运算，用∩A表示A中所有元素的交。因为A中的元素全是集合，所以∩A就表示同时属于所有这些集合的元素组成的集合。另外，用∪A表示A中所有元素的并。因为A中的元素全是集合，所以∪A就表示所有这些集合的元素一起组成的集合。

有了∩A和∪A，如果A是无穷集，这就相当于无穷多个集合交和并。而且这个无穷集可以是可数的，也可以是不可数的集合。

3，基数的运算。

基数只有加，乘和幂三种演算，没有減法和除法。

基数的加法。设集合A的基数是α，集合B的基数是β，且A∩B=∅，则α+β是集合A∪B的基数。

基数的乘法。设集合A的基数是α，集合B的基数是β，则α×β是集合A×B(笛卡尔乘积)的基数。

基数的幂运算。设集合A的基数是α，集合B的基数是β，则α^β是集合C={f |f:B→A}的基数。即所有由B到A的函数构成的集合的基数。

基数的运算也只允许进行有穷次。但基数本身可以是超穷基数，是把无穷包含在超穷数中了。超穷数是无穷数。

4，测度的运算。

在勒貝格测度的理论中这样规定，

⑴，凡由单独一个点构成的集合测度为0，区间[a,b]的测度为b-a。于是单个实数，无论是有理数还是无理数，它的测度都是0。而区间[0,1]的测度为1。

⑵，有穷个或可数无穷多个互不相交的可测集合的并集的测度是这些集合测度之和。由于区间[0,1]中的有理数只有可数无穷多个，所以区间[0,1]中全部有理数的集合的测度为0。又由于区间[0,1]中只有有理数和无理数，而有理数集合的测度为0，所以无理数集合的测度自然等于1。由于无理数的个数是不可数无穷多，但测度理论中并未规定，不可数无多个可测集合的并集的测度是这些集合测度之和，所以这里并没有意味着，允许不可数个实数可以相加。实际上不可数无穷多个实数的相加是沒有定义的。确实是【不可数无法相加】。

综上所述，可见李先生所说【一边说不可数无法相加，一边写下2^c这样的式子，】认为这是矛盾，是对不同数系有不同的运算和运算规律缺乏认识。【不可数无法相加】指的是实数，而【写下2^c这样的式子】是基数中的运箅，这是不同数系中的事，不存在任何矛盾。

关于这点，新华先生也有相同的错误观点。他在《0648》中提出说有个【数运算法则】，这是并不存在的虚构的概念。不同的数系有不同的运算法则。在基数运算中根本就沒有基数的除法。他用除法去作推论，显然就犯了混淆数系的错误。

参考文献
Zmn-0658 李振华： 不可数个0无法相加是一个自相矛盾的观点

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