Zmn-0708 薛问天： 所谓【新的导数定义】问题之所在，评沈卫国《0687》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对沈卫国先生《Zmn-0687》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

所谓【新的导数定义】问题之所在

评沈卫国《0687》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

沈国卫所谓的新的导数定义，就是把求导数定义为求切线斜率，还是老方法，用Δx≠0的割线的斜率，令其中的Δx=0，求切线的斜率。这个错误，我在《0430》中已说得相当清楚。

我说〖 不要忘了你是从2x+Δx，令其中的Δx=0求出切线斜率的。这个2x+Δx是什么，是你在Δx≠0的条件下由割线的斜率推导出來的。割线的斜率为Δy/Δx=(2xΔx+ΔxΔx)/Δx，此式在Δx≠0的条件下等于Δy/Δx=(2x+Δx)。这里的2x+Δx是Δx≠0的割线的斜率，你根据什么断定由:Δx≠0的割线的斜率，令其中的Δx=0，就等于切线的斜率。这里的Δx≠0同Δx=0，不就是贝克萊悖论吗？〗

这已经把沈卫国先生提出的所谓【新的导数定义】，实际上就是第一代微积分的有矛盾的定义，说得很清楚了。我们来㸔沈先生怎么辩解。

沈先生说‘【Δx与Δy，是曲线与作为直线的割线及切线的两个交点的坐标差，也就是“增量”，在Δx≠0时，Δy/Δx=(2xΔx+ΔxΔx)/Δx当然就是曲线纵、横坐标的增量比或曲线割线的纵、横坐标增量比，后者的数值当然就等于割线的斜率。】只要把上述语句中的【切线】二字取掉，可以说完全正确。因为这里的Δy是曲线的增量，和割线的增量一致，同切线的增量并无任何关系。而且说清楚了割线是有Δx≠0这个严格的条件。当然还应表明这些随Δx变化的割线的斜率就等于2x+Δx。

但是沈先生接着说【但这个曲线与直线的两个交点的纵、横坐标差之比，可绝对并不是割线或切线斜率的定义！也就是它并不是割线或切线斜率的必要条件。】【该割线的斜率（系数），可不是唯一地只能由这两个与曲线的交点所决定或求出！它不是任何直线（当然包括割线与切线）斜率或系数的定义，不是求出这个斜率的必要条件。】

首先句中提及【切线】是不对的，因为这同切线毫无关系。这句话对于割线对不对呢？也不对。割线随Δx的不同而不同，有很多割线，但Δy/Δx就是这些每个割线斜率的定义，Δy/Δx既是这些割线的斜率的充分条件也是必要条件。凭什么说Δy/Δx不是这些割线斜率的必要条件。要知道直线在各点的斜率是相等的，每个割纬无论在割线直线上哪点，无论选其任何增量Δxn和Δyn，都有斜率Δyn/Δxn=Δy/Δx。不存在不是必要条件的任何问题。

沈先生对于割线斜率的论述，说【Δy=kΔx，其中的k = 2x+Δx。K是一条直线方程（线性方程）的系数，而直线方程的系数就是其斜率，】这个对于割线斜率的论述都沒有错，不过要注意这里的割线不止一条，割线随Δx的不同而不同，它们的斜率k=2x+Δx，也随Δx的不同而不同。因而k不是【一条直线】的斜率而k=2x+Δx是各条割线的斜率，随Δx的不同而不同，而且Δx≠0。

其实关键是什么是【切线】的定义，如何求【切线斜率】？

有趣的是沈先生下面的两段话。

沈先生说【1、直接由割线的增量方程Δy=(2x+Δx)Δx = k（Δx）·Δx出发，求Δx=0时的k。可以吧？谁敢说不可以？此时当然有0 = k（0）·0，但此式中的那个k不是还在吗？我们求的不就是它吗？我们求的又不是Δy。此时的k，不是等于2x + 0啊？谁敢说不是，请给我站出来，】

我就敢说不可以。因为前面已论证了，对于Δx≠0时k=2x+Δx是割线的斜率，你现在令Δx=0，求出的k=2x是什么？请沈先生回答，你用Δx≠0的割线斜率k=2x+Δx，令Δx=0求出的k是什么？你现在还说不出，你后面说它是切线的斜率，当然是毫无根据的。

沈先生接着问【难道一条直线上的两个点合二为一点了，这条直线的斜率就自动消失了？这条直线就退化成了一个点了吗？】

这问得更莫明其妙，沈先生说的是哪一条直线上的两个点变成一个点，斜率就消失了？你说的是割线吗？割线不止一条，所有的割线都不允许Δx=0，怎么会两点变一点？所有的割线都设有消失。沈先生所问的这个直线根本就不存在。

沈先生又问【请问，用这种方法求导，还有分母上的自变量的增量吗？还用什么带分母的“不可达极限”吗？还能有什么“贝克莱悖论”吗？】

沈先生此问说明他对“贝克莱悖论”缺乏最基本的了解，“贝克莱悖论”指的就是Δx=0和Δx≠0的矛盾。不是什么【分母上的自变量的增量】。

沈先生在他的第2段中说【......我们不妨把与曲线相交的割线方程直接写为Δy1=(2x+Δx)Δx1 = k（Δx）·Δx1，其中Δy1、Δx1，是该割线上的任何两个点。注意，是“任何”。它们可以是尚未合二为一的原先的两个交点的坐标，也可以不是。而式中的Δx，还是原先的两个交点的横坐标差。此时它只是决定该直线的斜率数值也就是角度了。】这段话基本上是对的，说明k=Δy/Δx=2x+Δx在Δx≠0时，是割线斜率的必要充分条件，对割线上的任何增量Δy1，ΔX1 ，都有Δy1/ΔX1=k。问题出在求切线的斜率。

沈先生接着说【当Δx不为0时，两个交点分离，此时的直线就是割线；当Δx等于0时，两个交点合为一点，此时的直线就是切线。】当Δx≠0时曲线上有两个点，由此两个点决定的直线是割线，这是对的，但当Δx=0时，只有一个点，我们知道经过一个点的直线有很多很多，沈先说的【切线】的那个【此时的直线】，请问是过此一点的哪条直线。你根本说不清楚。所以说沈先生在这里并没有给出切线的具体定义。

但是沈先生却认为切线的斜率就是他用方法1求出的k，即用Δx≠0的割线斜率k=2x+Δx，令Δx=0求出的k。沈卫国讲不出任何理由，为计么这样求出的k就是切线的斜率？他甚至连什么是切线，什么是他讲的【此时的直线】都未定义清楚，怎么能讲清楚这样令Δx=0求出的k就是切线的斜率？

我们知道切线是割线的极限，切线的斜率是割线斜率的极限，这里必须有极限的概念才能由割线定义和求出切线来。不用割线的极限，在这里根本定义不出切线来。

沈先生说【笔者提出的新定义，和基于此定义的求导新方法，本质上就是求曲线与割线的两个交点合二为一变为单一的切点时切线上任意两个其它点所决定的该切线的系数（斜率）。】

沈先生说的割线变切线，割线是割线，切线是切线，割线怎么能变成计么切线。另外他说的根本不符合他作的实际。沈先生明明是用Δx≠0的割线斜率k=2x+Δx，令Δx=0求出的k，来作为切线的斜率的。根本不是去求【切线上任意两个其它点所决定的该切线的系数（斜率）。】不知沈先生为何在此要说此假话。看来是因为用Δx≠0的割线斜率k=2x+Δx，令Δx=0求出的k，来作为切线的斜率，找不出任何理由。这就是沈先生的【导数新论】的真相。

综上所述，沈国卫先生所谓的新的导数定义，就是把求导数定义为求切线斜率。但是什么是切线，沈国卫先生并未定义清楚。而仍然是毫无根据地用他提出的方法1求出的k，即用Δx≠0的割线斜率k=2x+Δx，令Δx=0求出的k，作为切线斜率。没有说清切线是割线的极限，切线的斜率是割线斜率的极限。这是沈国卫先生所谓【新的导数定义】问题之所在，同第一代微积分完全一样并未摆脱贝克萊悖论。

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