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Zmn-0698 薛问天：不要再坚持错误了。评师教民先生的《0663》
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Zmn-0698 薛问天：不要再坚持错误了。评师教民先生的《0663》
【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对师教民先生《Zmn-0663》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
不要再坚持错误了。
评师教民先生的《0663》
薛问天
我在《Zmn-0655》中明确告诉师教民先生《不要再错误地 坚持把复合函数看作是【以 x=g (y)为定义域的 f 函数】了。但是师教民先生，在《0663》的回复中并没有承认和改正他的错误，提出了5点意见，现对其意见的错误分析如下，请师教民先生不要再坚持这个错误了。
1，关于函数的定义域问题。
师先生说【我说「以函数 x=g(y)作为 y=f (x)的定义域」， 就是「为了使其起定义域的作用」， 并且也确实起到了定义域的作用． 薛问天先生把我的 「为了使其起定义域的作用」 改成「并不是为了使其起定义域的作用」】。
我们的判断，当然不是以你的【我说】作为标准，而是以【实际】作为标准。关键是要正确理解，什么是【定义域】。函数的定义域是对函数自变量的变化范围的约定。你的【 以函数 x=g(y)作为 y=f (x)的定义域】，仅仅是对函数y=f (y)的自变量x的变化范围作约定吗？如果仅仅是以x=g (y)的值域Ug，作为y=f (x)自变量x的变化范围的约定，你的函数y=f (x)[定义域为 x=g(y)]能同复合函数是【同一函数】吗？请你来回答这个问题。如果仅仅是限制定义域的改变，函数应是y=f (x)[定义域为 x=g(y)的值域]，是不可能同复合函数成为同一函数的。
你想作的是令x=g(y)，但这是复合函数中构成函数关系即复合映射f·g的第一步，第二步是令y=f(x)。因而令x=g(y)是构成复合函数的步骡，并不能用以x=g(y)作为函数y=f(x)的【定义域】来实现。所以把y=f (x)[定义域为 x=g(y)]㸔作是复合函数是错误的。另一方面，以函数来作为定义域本身就是错误的，只能以函数的值域作为定义域才符合定义域的含义，但这并不是师先生实际的意向。
2，关于函数自变量的问题。
师先生说【我让我的 f 函数受到上述的限制以后，也就使我的 f 函数 y=f (x)[定义域为 x=g(y)]=f (x)[x=g (y)]=f [g (y)] 了， 从而使我的 f 函数： y=f (x) [定义域为 x=g (y)]与您上述的 复合函数 f·g： y=f (x) [x=g (y)]=f [g (y)]就成为同一个函数了． 总不能只许您放火、不许我点灯吧？这样您不就太霸道了吗?】
这不是霸道，而是劝你不要犯错误，我已说过多次，一方面用函数作为【定义域】是错误的，另一方面把f 函数:y=f (x) [定义域为 x=g (y)]，看作是复合函数更是错误的。你的函数f的自变量是x，但复合函数中x是中间变量，自变量是y。这明显不同。
3，认为和㸔作【A和B是同一函数】，同认为和㸔作【B函数是A函数】 有区别吗?
【师教民回答： 当然有区别！ 最根本的区别就是： 我要是说「认为A和 B是【同一函数】」，您就不敢反驳我，更驳不倒我！ 我要是说「把B看作是A」或「把B认为是A」， 您就敢反驳我， 甚至可能驳倒我！ 】
这纯粹是为转移话题而作的狡辩。这种问题还需要争辩吗？你真认为【把A和B㸔作是同一个对象】，同认为和看作【对象B是对象A】 有区别吗?
师先生说【我的确说过、 认为、 看作〖我的 f 函数： y=f (x)[定义域为 x=g(y)]和复合函数 f·g 是同一个函数． 〗 但是我没有说过、 认为、 看作〖复合函数是以 x=g (y)为定义域的 f 函数〗】。．
师先生強调说他说过【复合函数同以 x=g (y)为定义域的 f 函数是同一函数】，但沒说过【复合函数是以 x=g (y)为定义域的 f 函数】。那我问你，你认为【复合函数是以 x=g (y)为定义域的 f 函数】是对还是错？你敢回答这个问题吗？这才是问题的本质。
师先生说什么【我要是说〖认为A和B是【同一函数】〗，您就不敢反驳我，】我一直在反对，怎么说【不敢反驳】？
我早就作过批评，函数不能作为定义域。定义域的改变和限制，只是对函数自变量x的变化范围的改变。定义域的改变和限制不能把自变量x改为自变量y。你的函数f的自变量是x，复合函数的自变量是y。你的函数f的函数关系是f，复合函数的函数关系是f·g。这一切都说明你的函数f不是复合函数，说明你的函数f同复合函数不是【同一个函数】，怎么能说【不敢反驳】。
4，关于什么是函数关系。以及什么是函数关系即映射的相同和不相同。我己说得相当清楚，在集合论中，非常严格地把【关系】定义为【笛卡尔乘积的子集】，因而函数关系的相同就是此关系代表的子集的相同。这是集合论的基本常识，并不是我个人的意见。而师先生由于知识的缺乏，竟然认为他【已经驳倒了】这个基本常识。
师先生说【我在我的论文 Zmn-0585 的四中就已经驳倒了.对于我的驳斥意见， 薛问天先生至今未敢评论、 无力回应、 没法驳倒.。】这次我又把师先生的《0585》四看了看，其实在文中所引的我的文字，已把函数关系是笛卡尔乘积的子集介绍得一清二楚，只是师先缺乏这方面的基本知识。师先生说【函数关系是什么？就是函数的因变量和自变量在变化时 所依据的法则或遵循的规律！不是您所说的定义域和值域的笛卡尔乘积的子集．】师先生的错误就在于他不了解这个子集，列出的因变量y同自变量值的序偶＜y,x＞的集合，就是对函数关系，即因变量随自变量变化的【规律】的严格的表达。他不了解这个笛卡尔子集的相同就是规律的相同，此子集的不同就是规律的不同。
因此我建议师先生学点集合论的基本教材。我推荐北师大的《基础集合论》第二章关系与函数。
基础集合论讲完序偶，笛卡尔乘积后马上就讲关系。明确指出集合Y和Ⅹ的关系R，是序偶＜y,x＞的集合(y∈Y，x∈X，)，即是笛卡尔乘积YxX的子集合。
关于具体函数y=|x|和 y= √(x2)的函数关系是什么，是否相同，我在《0655》中已说得相当清楚，
〖 函数 y=|x|和 y= √(x2)的函数关系是什么，是否相同，非常清楚。该函数的定义域是全体实数R，值域是大于等于0的实数R+。它们的函数关系是笛卡尔乘积R+xR的子集，即如下滿足函数关系的有序对〈y,x〉的集合。即
函数 y=|x|的函数关系是B={＜y,x＞丨y∈R+,x∈R,y=|x| }
函数 y= √(x2)的函数关系是C={＜y,x＞丨y∈R+,x∈R,y=√(x2) }
但它们都等于A={ ＜y,x＞丨y∈R+,x∈R，当ⅹ≥0时，y=x，当x＜0时，y=-x }。
很明显这是相等的集合B=C=A。可见，这两个函数y=|x|和 y= √(x2)的函数关系B和C都等于R+xR的子集合A，是完全相同的。师先生不会连这个集合的等式都㸔不懂吧，〗
师先生真是没㸔懂，说什么【薛问天先生说到的具体内容「x≥0 时， y=x，当 xく0 时， y=-x」中，「x≥0， xく0」 倒是自变量的取值范围即集合 D，但是「y=x， y=-x」 却是因变量随自变量的变化而变化时所遵循的【规律】， 是函数． 薛问天先生不承认函数是集合，所以「y=x， y=-x」就不是集合了，】
师先生竟然㸔不懂对序偶渠合A的定义，这里A,B,C当然都是定义的笛卡尔釆积UxD的子集合。怎么【就不是集合】了。
师先生说【这就说明， 薛问天先生是实实在在地比较函数的因变量随自变量的变化而变化时所遵循的【规律】，而不是比较他口口声声说的【DxU 笛卡尔乘积的子集】．】
看来，师先生根本就不了解，这些子集合就是对这些【规律】的严格表达。
正因为集合｛＜y,n＞| y=sin(2nπ+π/4),n是整数｝
=｛＜y,n＞| y=cos(2nπ+π/4),n是整数｝
这两个集合相等，所以函数y=sin(2nπ+π/4)(n是整数｝。同函数y=cos(2nπ+π/4)(n是整数｝的函数关系相同。
正因为集合｛＜y,x＞| y=sin(2xπ+π/4),x是实数｝
≠｛＜y,x＞| y=cos(2xπ+π/4),x是实数｝
这两个集合不相等，所以函数y=sin(2xπ+π/4)(x是实数｝。同函数y=cos(2xπ+π/4)(x是实数｝的函数关系不相同。
5，笫n个问题。
师先生说【我要奉劝薛问天先生， 还是老老实实地讨论这第 n 个问题吧！等这第 n 个问题解决了，一切问题就都解决了． 】
好吧，我就再一次不厌其烦地讨论师先生提出的第n个问题。
师先生说这第 n 个问题为：【函数 h: y=h (y)和复合函数 f·g， 由于一个无中间变量、 一个有中间变量而不同， 所以认为复合函数的对应法则是 h 就错了． 但是，我们命令 y=h (y)=f [g (y)]以后，尽管函数关系 h 和 f·g 还是不同，但是由于 y=h (y)=f [g (y)]而使得函数 h 和复合函数 f·g 就是同一个函数了．
同理， 函数 f： y=f (x)和复合函数 f·g 由于函数关系不同， 所以认为复合函数的对应法则是 f 就错了， 但是，让函数 f 的自变量 x 受到 x=g (y) 的限制后，尽管函数关系 f 和 f·g 还是不同，但是由于y=f (x) [定义域为x=g(y)]=f (x) [x=g (y)]=f [g (y)]而使得 y=f (x) [定义域为 x=g(y)]和 f·g 就是同一个函数了． 【命令 y=h (y)=f [g (y)]以后，尽管函数关系 h 和 f·g 还是不同，但是函数 h 和复合函数 f·g 是同一个函数】 和【让函数 f 的自变量 x 受到 x=g (y) 的限制以后，尽管函数关系 f 和 f·g 还是不同，但是函数 f 和复合函数 f·g 是同一个函数】 及【函数 y=|x| 和 函数 y =√ x2 的函数关系尽管不同，但是函数 y=|x| 和 y=√x2 是同一个函数】 的道理是相同的．】
仔细看看这句话，这第n个问题并不是提出的什么问题，而是用三套函数的例子，来错误地表明他的一个错误的观点，即「两个函数关系不同的函数，可以通过【命令...】或【让...】，就可以使这两个函数成为【同一个函数】。」
这个观点显然是错误的。因为在数学分析理论关于函数的要素中已说得相当清楚，函数有二大要素。「构成函数的要素是： 定义域 Df 及对应法则 f． 如果两个函数的定义域相同， 而且对应法则也相同， 那么这两个函数就是相同的， 否则就是不同的． 」这个「否则就是不同的」意思就是「如果定义域不同或对应法则不同，则这两个函数就不同」。因而函数关系(即对应法则)不同的函数，不能成为【同一个函数】。
下面我们來㸔看师先生所举的这三套例子的错误。
⑴，函数h和复合函数f[g(y)]。
师先生说【函数 h: y=h (y)和复合函数 f·g， 由于一个无中间变量、 一个有中间变量而不同， 所以认为复合函数的对应法则是 h 就错了．】我们知道h是为复合函数定的名称和记号，函数h就是复合函数。复合函数有中间变量，函数h当然有中间变量，怎么能说函数h【无中间变量】呢。复合函数的函数关系(对应法则)是f·g，显然函数h的函数关系也是f·g，如果你用h也来表示函数h的函数关系，则此函数关系h=f·g。怎么能说【函数关系 h 和 f·g 还是不同，】所以说师先生认为函数h和复合函数的函数关系不同是错误的。不能用此例来论证他的错误观点。h是复合函数的名称和标记，所以h和复合函数的定义域和函数关系都相同，因而显然是相同的同一函数。
⑵，师先生的函数f:y=f (x) [定义域为x=g(y)] 和复合函数。
本文的1,2,3,4全是说的这个错误。师先生的函数f:y=f (x) [定义域为x=g(y)]本身就是一个错误的含义矛盾的表达。函数不能作为函数的【定义域】，因为定义域是函数自变量的变化范围的约定。
你说【让函数 f 的自变量 x 受到 x=g (y) 的限制】。有两种可能的解释。
如果你的【限制】只是对定义域进行限制，也就是只限制自变量x的变化范围，此函数的函数关系才是f，函数的自变量也不作改变。但它只能是函数y=f(x)，而不能同复合函数是同一个函数。另外，这不能说是【函数f: y=f (x) [定义域为x=g(y)] 】，而只能说是【函数f: y=f (x) [定义域为x=g(y)的值域] 】。
可是这不是你的意思，你的【限制】，并不是作为定义域，只限制x的变化范围。而是令x的值等于函数x=g(y)的值。而令x=g(y)，这己是在作构成复合函数的函数关系f·g的动作了。在构造函数关系f·g中，笫一步令x=g(y)，第二步令y=f(x)。这是在构造复合函数，这样构造的是复合函数的函数关系，函数关系已是f·g。不能把它同函数关系是f的函数y=f(x)，作定义域的限制混为一谈。
这两种解释是不同的，即函数关系是f的函数y=f(x)(定义域受某种限制)，同函数关系是f·g的复合函数，一般不可能是【同一个函数】。
⑶，前面4已讲过，函数y=|x|和 y= √(x2)的函数关系B和C都等于R+xR的子集合A，是完全相同的，函数关系不是不同的。
综上所述，师教民先生的第n个问题所举的三套例子，和所提出的论断「两个函数关系不同的函数，可以通过【命令...】或【让...】，就可以使这两个函数成为【同一个函数】。」都是错误的。因而函数关系(即对应法则)不同的函数，不能成为【同一个函数】。
参考目录
Zmn-0663 师教民：评薛问天先生的文章0655
Zmn-0655 薛问天： 不要再错误地坚持把复合函数看作是【以x=g (y)为定义域的f函数】了，评师教民《0626》
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