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Zmn-0707 李振华：绝对和相对，实无穷小，比较几个无限集的大小。我对数学的看法。
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Zmn-0707 李振华：绝对和相对，实无穷小，比较几个无限集的大小。我对数学的看法。
【编者按。下面是李振华先生的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
绝对和相对，实无穷小，比较几个无限集的大小。
我对数学的看法。
李振华
首先澄清一下本人过去犯下的一个错误：
先前我基于一个错误的方法认为[0.1)-[1,2)的基数是0，从而认为[0,1)的基数小于自然数集的。从现在看来无疑是错误的，现在我不再这样认为，我猜测[0.1)-[1,2)是无限集，这样就不会和不可数性矛盾，但我还无法证明这一点。
基本定义：
a:x元素a的重数是x。
A+B={x:(A(x)+B(x))|x:A(x)属于A，x:B(x)属于B}
A*B={x+y|x属于A,y属于B}。A*B={x+y:A(x)*B(y)|x:A(x)属于A,y:B(y)属于B}
B^{x}={{x:y}:B(y)|y:B(y)属于B}
A^(B+C)=A^B*A^C，A^(BC)=(A^B)^C 运算律，非定义。
减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。
自然数集合定义：n={0:n}。
现在我们来谈谈集合论中的绝对和相对以及无穷小量的使用。
康托提出要区分绝对无限和相对无限，他的超穷数是相对的，而绝对无穷是比任何超穷数都大的最大无穷。而本人认为，不仅无限分绝对和相对，有限也分绝对和相对。
集合的基数有绝对和相对之分。|{}|是绝对的0，|{0}|是绝对的1，|{0,0}|是绝对的2，而|{0,1:-1}|是相对的0，|{1}|是相对的1，|{0,1}|是相对的2。如果一个集合是数，那么它的基数是绝对的，而相对的基数，可以表示成带无穷小量的形式。
例子：
自然数集的基数为H。
|{}|=0
|{0}|=1
|{0,1:-1}|=1/H
|{0,-1:-1}|=-1/(H-1)
|{1}|=1-1/H
|{-1}|=1+1/(H-1)
|{0,1}|=2-1/H
为什么要这样做呢？这当然是有原因的。这是为了更好地表达集合之间的数量关系。在微积分中，我们是把无穷小变成0，而在集合论中，相反，我们是把0变成无穷小。在集合论中，在广义集合论中，在高等集合论中，我们也要使用无穷小量，而且是实无穷小，完成了的无穷小。
任何对无穷小的反驳，终将被证明是站不住脚的。康托历来反对无穷小，其文章充斥着无法理解的荒谬。他反对无穷小其实就是搬起石头砸自己的脚，如果无穷小是矛盾的，那他的超穷数也是矛盾的，因为他的无穷小是他的超穷数的倒数。
数学悖论，不可测集，分球悖论，这些都是拒绝无穷小所受到的惩罚。
这很像超实数，但还是不同，这种无穷小量是为集合运算服务的。下面我们以一个例子来说明：
由{0,1,2,..}^{1}=1/{0.{1}:-1}，把集合换成对应的数，可以得到公式：H^(1-1/H)-(H-1)^(1-1/1H)=1。把数换成对应的集合，得到：{0,1,2,...}^{1)-{1,2,3,...}^{1}={0,{1},{1:2},...}-{{1},{1:2},{1:3},...}={0}。
下面我们使用无穷小量来比较过去无法比较的3个无限集。
A={0,1,2,...}，B={0,{1},{1:2},...}，C={{0},{1},{2},...}。
注意，我们这里所说的比较大小，不是康托一一对应的方法，而是集合的运算。我们不仅关心大小，而且还关心比值和差值。在过去，比较这些集合的大小，是无法想象的，使用康托的方法，任务一下子就完成了，它们都是可数集，但无法回答比值和差值的问题。
比较A和B：
注意到A^{1}=B，所以有|B|=H^(1-1/H)，经计算，结果是:|A|/|B|的极限是1，|A|-|B|=无限。
比较A和C：
注意到C^{1}=C-{1}，经计算，结果是：|A|/|B|=无限，|A|-|B|=无限。
定性结果：|A|>|B|>|C|。
薛先生说我的方法只能扩展一小部分范围，今天我给出的例子表明，方法的适用范围远远超出了薛先生的想象。一一对应的方法无法替代运算的方法，因为一一对应的方法无法回答比值和差值的问题。
接下来谈谈我对数学的一些看法。
在数学中，严格化是没有意义的工作。严格的错误依旧是错误的，不严格的真理依旧是真理。
一个好的数学理论，不在于它是严格的，而在于它是简明的，高效的。
数学和其它学科一样，也会出错。
不存在一个绝对严格的理论，可以一劳永逸地解决数学家犯错误的问题，使数学家将来永远不犯错误。过去，现在，将来，数学家都会犯错误，错误是绝对的，修正错误的方法永远在错误之后。
300页证明一个世纪难题，是杰出的，300页证明1+1=2，则是无意义的。罗素的《数学原理》没有意义，逻辑主义不会被认可。
在非标准分析中，传达原理没有意义，证明引入无穷小不会产生矛盾也是没有意义的。真正的微积分理论必定是使用实无穷小的微积分，但不能是像非标准分析那样被数理逻辑束缚住手脚的微积分。Epsilon-delta语言没有意义。
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