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Zmn-0707 李振华:绝对和相对,实无穷小,比较几个无限集的大小。我对数学的看法。

已有 793 次阅读 2021-10-24 08:41 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0707 李振华:绝对和相对,实无穷小,比较几个无限集的大小。我对数学的看法。

【编者按。下面是李振华先生的文章。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

绝对和相对,实无穷小,比较几个无限集的大小。

我对数学的看法。

李振华

 

首先澄清一下本人过去犯下的一个错误:

先前我基于一个错误的方法认为[0.1)-[1,2)的基数是0,从而认为[0,1)的基数小于自然数集的。从现在看来无疑是错误的,现在我不再这样认为,我猜测[0.1)-[1,2)是无限集,这样就不会和不可数性矛盾,但我还无法证明这一点。

基本定义:

a:x元素a的重数是x。

A+B={x:(A(x)+B(x))|x:A(x)属于A,x:B(x)属于B}

A*B={x+y|x属于A,y属于B}。A*B={x+y:A(x)*B(y)|x:A(x)属于A,y:B(y)属于B}

B^{x}={{x:y}:B(y)|y:B(y)属于B}

A^(B+C)=A^B*A^C,A^(BC)=(A^B)^C   运算律,非定义。

减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运算。

自然数集合定义:n={0:n}。

 

现在我们来谈谈集合论中的绝对和相对以及无穷小量的使用。

康托提出要区分绝对无限和相对无限,他的超穷数是相对的,而绝对无穷是比任何超穷数都大的最大无穷。而本人认为,不仅无限分绝对和相对,有限也分绝对和相对。

集合的基数有绝对和相对之分。|{}|是绝对的0,|{0}|是绝对的1,|{0,0}|是绝对的2,而|{0,1:-1}|是相对的0,|{1}|是相对的1,|{0,1}|是相对的2。如果一个集合是数,那么它的基数是绝对的,而相对的基数,可以表示成带无穷小量的形式。

例子:

自然数集的基数为H。

|{}|=0

|{0}|=1

|{0,1:-1}|=1/H

|{0,-1:-1}|=-1/(H-1)

|{1}|=1-1/H

|{-1}|=1+1/(H-1)

|{0,1}|=2-1/H

为什么要这样做呢?这当然是有原因的。这是为了更好地表达集合之间的数量关系。在微积分中,我们是把无穷小变成0,而在集合论中,相反,我们是把0变成无穷小。在集合论中,在广义集合论中,在高等集合论中,我们也要使用无穷小量,而且是实无穷小,完成了的无穷小。

任何对无穷小的反驳,终将被证明是站不住脚的。康托历来反对无穷小,其文章充斥着无法理解的荒谬。他反对无穷小其实就是搬起石头砸自己的脚,如果无穷小是矛盾的,那他的超穷数也是矛盾的,因为他的无穷小是他的超穷数的倒数。

数学悖论,不可测集,分球悖论,这些都是拒绝无穷小所受到的惩罚。

这很像超实数,但还是不同,这种无穷小量是为集合运算服务的。下面我们以一个例子来说明:

由{0,1,2,..}^{1}=1/{0.{1}:-1},把集合换成对应的数,可以得到公式:H^(1-1/H)-(H-1)^(1-1/1H)=1。把数换成对应的集合,得到:{0,1,2,...}^{1)-{1,2,3,...}^{1}={0,{1},{1:2},...}-{{1},{1:2},{1:3},...}={0}。

下面我们使用无穷小量来比较过去无法比较的3个无限集。

A={0,1,2,...},B={0,{1},{1:2},...},C={{0},{1},{2},...}。

注意,我们这里所说的比较大小,不是康托一一对应的方法,而是集合的运算。我们不仅关心大小,而且还关心比值和差值。在过去,比较这些集合的大小,是无法想象的,使用康托的方法,任务一下子就完成了,它们都是可数集,但无法回答比值和差值的问题。

比较A和B:

注意到A^{1}=B,所以有|B|=H^(1-1/H),经计算,结果是:|A|/|B|的极限是1,|A|-|B|=无限。

比较A和C:

注意到C^{1}=C-{1},经计算,结果是:|A|/|B|=无限,|A|-|B|=无限。

定性结果:|A|>|B|>|C|。

薛先生说我的方法只能扩展一小部分范围,今天我给出的例子表明,方法的适用范围远远超出了薛先生的想象。一一对应的方法无法替代运算的方法,因为一一对应的方法无法回答比值和差值的问题。

接下来谈谈我对数学的一些看法。

在数学中,严格化是没有意义的工作。严格的错误依旧是错误的,不严格的真理依旧是真理。

一个好的数学理论,不在于它是严格的,而在于它是简明的,高效的。

数学和其它学科一样,也会出错。

不存在一个绝对严格的理论,可以一劳永逸地解决数学家犯错误的问题,使数学家将来永远不犯错误。过去,现在,将来,数学家都会犯错误,错误是绝对的,修正错误的方法永远在错误之后。

300页证明一个世纪难题,是杰出的,300页证明1+1=2,则是无意义的。罗素的《数学原理》没有意义,逻辑主义不会被认可。

在非标准分析中,传达原理没有意义,证明引入无穷小不会产生矛盾也是没有意义的。真正的微积分理论必定是使用实无穷小的微积分,但不能是像非标准分析那样被数理逻辑束缚住手脚的微积分。Epsilon-delta语言没有意义。




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