论无穷编码的实数镜像数

沟壑满布，《统一无穷理论》难以逾越

郝克刚 2012-10-24

一，       前言

何华灿教授很早就把他的书稿发给了我，可直到最近才抽空拜读。尽管我对他提出的《统一无穷理论》并不认同，不过他提出的无穷位编码数，作为单位区间[0,1]实数集合的对称物倒还是有些意思。特写一短文谈谈看法。

我们知道单位区间[0,1]的有穷（位）小数可以用有穷位的十进制（或其它进制）编码来表示，小数点放在高位左边，如.3824等。对于位数长度没有限制，低位可以向右边任意延伸，只要是有穷位就行。同样，一个有穷自然数也可以用有穷位的十进制编码来表示，不过左右的方向刚好相反。小数点放在最低位右边（通常不写），如49376等。高位可以向左边任意延伸增加位数，位数不限。自然数集合刚好是有穷小数集合的镜像，一一对应。两个集合的势都等于可数无穷א₀ 。

编码长度，即编码位的个数，可以任意多，但是必须是有穷个。如果把编码位数扩展为无穷大，则编码所表示的数就从单位区间[0,1]的有穷小数扩展为无穷小数，也就是单位区间[0,1]中的所有实数。例如    . 31415926535……就表示无理数π/10。

那么，对于自然数来说，把编码位数扩展为无穷大，其编码所表示的数又是什么样的数呢。换句话说，作为单位区间实数的对称物，即它的镜像究竟是什么样的对象呢？在文献中我过去还真没看到过有人对此进行过研究。何华灿教授认为这是所谓的“完整的自然数”，对其可以用理想计数器的加1操作，逐一生成，可以排成一列，最终到达无穷大。并且认为可以用此数谱替代层次的无穷体系，建立统一的无穷理论。当然，笔者不会同意这样的论断。我们来具体地分析一下这个实数的镜像数，看看它的构造和属性。原来这个镜像数并不简单，它由无数个族构成，族之间大部分无法比较大小，加1减1运算互不可达。沟壑林立，恐怕《统一无穷理论》难以逾越。

本文为镜像数建立了与自然数兼容的比较大小的序关系和定义了加1减1操作。研究表明镜像数可以分为无穷多个族，族内的数可以比较大小，并按大小排成一列，可以通过加1减1操作到达。但是族间却有着万丈深渊相互隔离，不允许加1减1操作相互逾越。镜像数的族集合有最大族和最小族，但是并不是所有的族都可比较大小。也就是说镜像数的族集合只是个偏序集。各族不能排成一列。

本文只是对镜像数的最初步的分析和研究。不过有了以上分析，读者就不难看出，这样的镜像数肯定担负不起何教授赋予它的艰巨的“统一无穷理论”的使命。

二，       基本定义

定义1（有穷位十进制自然数） 对于所有的有穷数n，有穷序列

a = <a_n,a_n-1,…,a₂,a₁>

均称之为有穷位十进制自然数（简称有穷自然数），其中各个位值a_i属于N₁₀={0,1,…,9}，i=1,2,…,n。并定义有穷自然数的数值为:

v(a)= a_n´10^n-1+ a_n-1´10^n-2+ …+ a₂´10¹+ a₁´10⁰

显然，如果令a’ = <0,…,0,a_n,a_n-1,…,a₂,a₁>,即左面补有穷个0，数值不变：v(a)= v(a’)

定义2（有穷自然数的相等和大于关系）设有两个有穷自然数:

a = <a_n,a_n-1,…,a₂,a₁>

b = <b_m,b_m-1,…,b₂,b₁>

我们称a等于b 记作a=b，当且仅当v(a)=v(b); 称a大于b 记作a>b当且仅当v(a)>v(b)。

下面我们将编码位数扩展到无穷大，定义镜像数

定义3（无穷位编码的镜像数） 我们将下述无穷序列称之为无穷位编码镜像数（简称镜像数）

a = <…,a_n,…,a₂,a₁>

其中各个位值a_i属于N₁₀={0,1,…,9}，i=1,2,…,n,…。

我们可以用在左面补无穷个0的办法，把有穷自然数变成无穷位编码镜像数。于是我们可以说有穷自然数是镜像数的真子集。它的特征是前面有无穷多个0。即有下述命题：一个镜像数是有穷自然数的必要充分条件是存在一个有穷数n,使得该镜像数n位以前的位值全为0。

三，       镜像数的相等关系和序关系

我们知道有穷自然数的相等关系和序关系是按照数的值来定义的。这时如果定义镜像数的数值为:

v(a)= …+a_n´10^n-1+ a_n-1´10^n-2+ …+ a₂´10¹+ a₁´10⁰

一般情况，即除了对应于有穷自然数的镜像数以外，这是一个发散的无穷级数，其值等于无穷大。无法按数值的大小来定义它们之间的相等关系和序关系。为此我们需要一种关于镜像数相等关系和序关系的不依赖数值的定义。由于有穷自然数是镜像数的子集，这种定义还要同自然数的原序关系兼容。

镜像数相等关系可以很自然地定义。

定义4（镜像数相等关系）两个镜像数:

a = <…,a_n,a_n-1,…,a₂,a₁>

b = <…,b_n,b_n-1,…,b₂,b₁>

称为是相等的，记作a=b,当且仅当对所有的i=1,2,…,n,…有a_i = b_i。

我们把镜像数a= <…,a_n+1,a_n,…,a₂,a₁>中第n位以前的子无穷序列<…,a_n+1>称为a的第n位前驱。把镜像数a的第n位及以后的有穷序列<a_n,…,a₂,a₁>形成的有穷位自然数称为a的低n位有穷位自然数。

定义4（镜像数同族关系）我们称两个和镜像数a和b是同族的记作a≈b，如果存在一个有穷数n，使a和b的第n位前驱完全相等。

显然可证同族关系a≈b是等价关系，即满足自反律：a≈a；对称律：若a≈b则b≈a；和传递律：若a≈b和b≈c则a≈c 。因而镜像数被同族关系a≈b划分为无穷多个等价类，即称为镜像数的族。

因为镜像数中任意两个有穷自然数总能找出一个共同的n，使它们的第n位前驱等于无穷0序列。所以说镜像数中所有的有穷自然数都是同族的。

定义5（镜像数的大小关系）设有两个镜像数:

a = <…,a_n,a_n-1,…,a₂,a₁>

b = <…,b_n,b_n-1,…,b₂,b₁>

我们称镜像数a大于镜像数b，记作a>b， 如果

1, a和b同族，并存在有穷数n使得：a和b的第n位前驱相同而且a的后n位有穷数大于b的后n位有穷数；或者

2，a和b不同族，并存在有穷数n使得：在a和b的第n位前驱中，对所有位i，有a_i≥b_i。

可以证明这样的定义镜像数的序关系不会出现歧义，关系 >满足非自反：a≯a，非对称：若a>b则b≯a，传递律：若a>b和b>c则a>c 。

从定义可知所有位全是0的镜像数<…,0,0,…,0,0>是最小镜像数，所有位全是9的镜像数<…,9,9,…,9,9>是最大镜像数。前驱所有位全是0旳族，即有穷自然数所对应的那个族是镜像数的最小的族。前驱所有位全是9旳族是镜像数的最大的族。同一族内的镜像数可以比较大小，大部分的镜像数不能跨越族比较大小，只有个别族的镜像数可以跨越族比较大小，如最小族、最大族以及满足镜像数大小关系定义的第二条的个别族之间。可见镜像数的序关系是偏序，不是全序。

四，       镜像数的加1减1操作

对于有穷位编码的有穷自然数，加1减1操作的定义是清楚的。任何一本小学算术教本都要详细地讲解如何进行十进制有穷位数的加减法，如何进位和借位。不过对于无穷位编码的镜像数加1减1操作，还需要多少做点说明。

对于有穷位数，只要不全为9，加1操作就不会溢出，只要不全为0减1操作就不会不够减。同样对于无穷位编码的镜像数，只要不是全为9的最大镜像数：<…,9,9,…,9,9 >，加1操作就不会溢出，只要不是全为0的最小镜像数：<…,0,0,…,0,0 >，减1操作就不会不够减。

定义6（镜像数的加1操作）设有镜像数a = <…,a₂,a₁>，如果不是全为9的最大镜像数：<…,9,9 >，总可以找到充分大的n，使得a的低n位有穷位数不全为9。a+1定义为这样构成的镜像数：由原a的第n位前驱不变，后续a的低n位有穷位数进行加1操作的结果。

定义7（镜像数的减1操作）设有镜像数a = <…,a₂,a₁>，如果不是全为0的最小镜像数：<…,0,0 >，总可以找到充分大的n，使得a的低n位有穷位数不全为0。a-1定义为这样构成的镜像数：由原a的第n位前驱不变，后续a的低n位有穷位数进行减1操作的结果。

定理1（加1减1操作的族封闭性）镜像数的族关于加1减1操作是封闭的。

证明很简单，因为根据上述定义，镜像数进行加1减1操作时原数的第n位前驱不变，只是对低n位有穷位数进行操作。所以在该镜像数操作前属于哪个族，操作后仍属于哪个族，不会因操作而跨越族界。

五，       结语

由自然数的有穷编码扩展为无穷位编码，所形成的实数的对称物-镜像数究竟是什么样的对象，它具有怎样的结构和性质。本文对此做了严格仔细的分析和研究。可以得出如下结论：

1，镜像数作为无穷位的编码数是单位区间[0,1]的所有实数的镜像。实数和镜像数一一对应，其势等于连续统的势：א₁。

2，镜像数被同族等价关系≈划分为无穷多个等价类，每个等价类称为一个族，每个族中有可数无穷多个镜像数。

3，无穷编码的自然数是镜像数的真子集，构成镜像数中的一个族，它是关于序关系的最小族。

4，镜像数的序关系是偏序，不是全序。同一族内的镜像数可以比较大小，大部分的镜像数不能跨越族比较大小，只有个别族的镜像数可以跨越。有最大镜像数和最小镜像数。有关于序关系的最大族和最小族

5，镜像数的族关于加1减1运算是关闭的，即同一族内的镜像数用加1减1运算可达，但族间横着加1减1运算不可逾越的鸿沟，不可达。

可见这样的无穷编码的镜像数，形成不了何教授所期望的“完整的自然数”数谱，也很难作为“统一无穷理论”的基础。这也正是我给这样的无穷编码数另起了个名字叫“镜像数”，而没有称其为“完整的自然数”的原因。

本文只是对镜像数的最初步的分析。还有一些有趣的问题有待研究。例如单位区间中任何一个实数，左右一颠倒就成为一个镜像数。在经过任意次的加1减1运算，就形成镜像数中的一个族。反过来，一个镜像数颠倒左右就成为一个实数，这个实数经过同任意的有穷小数的多次模1相加相减，就形成单位区间中实数的一个子集，这个子集的镜像就是镜像数中的族。这些相互镜像对应对研究镜像数和实数的双方不知是否有什么帮助和启发，值得进一步研究探讨。

（全文完）