Zmn-0722 范秀山： 驳“线段是由无数个点组成的”

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驳“线段是由无数个点组成的”

范秀山

　　一个 1 米长的线段——

　　是由 1 个 1 米长的线段构成的；

　　也是由 10 个 0.1 米长的线段构成的；

　　也是由 100 个 0.01 米长的线段构成的；

　　也是由 1000 个 0.001 米长的线段构成的；

　　也是由 10000 个 0.0001 米长的线段构成的；

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　　也是由 10ⁿ 个 10^-n 米长的线段构成的；

　　以此类推可知：线段是由有限多更小的线段构成的。

　　由于：

　　10ⁿ 的极限是 ∞，

　　10^-n 的极限 0，

　　我们不能说：1 米长的线段是由无穷多个（∞）没有大小的点（0）构成的。

　　很明显：中学数学课本中的定义“线段是由无数个点组成的”是错误的。

　　认为“线段是由有限多更小的线段构成的”正确者，承认“一尺之捶，日取其半，万世不竭”，等于承认潜无穷，坚持 0.999… ﹤ 1。

　　认为“线段是由无限多没有大小的点构成的”正确者，否认“一尺之捶，日取其半，万世不竭”，等于承认实无穷，坚持 0.999… = 1。

　　在这个问题上，任何一个数学家，都必须明确地做出自己的选择。

　　2021.11.6

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