无穷位编码的镜像数和p-adic整数

郝克刚

2013.3.12.

尽管我对何华灿教授提出的《统一无穷理论》并不认同。不过他提出的无穷位编码数，作为单位区间[0,1]实数集合的对称物倒还有些意思。所以才写了那篇博文“论无穷编码的实数镜像数”^[1]。文中曾说“作为单位区间实数的对称物，即它的镜像究竟是什么样的对象？在文献中我过去还真没看到过有人对此进行过研究。”

博文发表后，网友yang3于2012-12-9 发出跟帖说“对于‘作为单位区间[0,1]实数集合的对称物’，数学家们已有过研究：数论中的p-adic数，见华罗庚的《数论导引》（1979年版）第15章。不过，何华灿先生的工作与那儿的研究无关。”

看来我见识有限，是孤陋寡闻了，毕竟不是学数论的数学专业人士，需要“活到老学到老”。好在现在网络方便，很快就找到了《数论导引》^[2]的原文，还查到不少p-adic数的资料^[3等]。看了后确实是有收获，大开眼界。

p-adic数（p-adic numbers，也有人翻译作p-进数）1897年首先由德国数学家库尔特.亨塞尔（Kurt Hensel，1861-1941）提出。他是德国马尔堡大学（University of Marburg）教授，因提出p-adic 数而成名，对数论的进展有重要贡献。

我们讨论的无穷位编码的单位区间实数的镜像数，实际上就是p-adic整数。现就其最基本的概念和感兴趣的内容简述如下，同网友共享。特别是p-adic整数关于加法和乘法的定义和构成的可换环，以及对负整数的表示等。有意思的是作为无穷位编码的p-adic整数竟然可以定义除法和表示分数。这些都是我原来在讨论镜像数时所未曾涉及和未曾想到的。

1. 无穷位编码的p-adic数和p-adic整数

如果给定一个素数p，则任意正整数m可以写成p的幂级数展开式如下

其是中a_i是{0,…, p-1}中的整数。例如35的2基展开式是1·2⁵ + 0·2⁴ + 0·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰,通常简写为1000112.

类似的方法可以扩展至p的无穷幂级数展开式，这就是所谓的p-adic数，也就是说我们把用下式表达的数α称为p-adic数（p-adic numbers）。

 
其中k是某整数(不必一定是正的，也可为负)。也可简记为α=（a_i）。

如果k=0，或者说对于所有i < 0有a_i = 0，如下式所示，则称其为p-adic整数（p-adic integers）。

p-adic整数也可简记为α=（a_i）。实际上它就是我们讨论的镜像数。

显然，任何正整数（如前所示的展开式）可以看作是对于所有i >n-1有a_i = 0的p-adic整数。

2. p-adic整数的加减法定义

如果令α = (a_i) 和β = (b_i) 是两个p-adic整数，我们来定义它们的和。先用用归纳法定义由{0,…, p-1}中的数构成的无穷序列(c_i)，和由{0，1}中的数构成的无穷序列(ε_i)，即各位的进位：

ε₀ 是 0.

c_i是a_i + b_i + ε_i或a_i + b_i + ε_i − p 根据其是否属于{0,…, p-1}来决定，如果是前者，则ε_i+1 = 0 ；是后者，则ε_i+1 = 1.

我们把这样定义的(c_i) 称为α与β的和，记=作α+β=(c_i)。下面是7-adic整数加法的例子：

类似地也可用归纳法定义减法，定义α与β的差，记作α-β。例如0-1=-1

不同的是这里需要向左传递的是借位而不是进位信号。

由以上定义可知p-adic整数不仅可以表达所有的非负整数（以某位开始左边高位全是0为特征），还可以表达所有的负整数（以某位开始左边高位全是p-1为特征）。负整数的编码类似于计算机的补码，等于求反码再加1。反码是相对于p的，即a_i的反码等于p-1-a_i。。不同的是计算机位数有穷，这里位数无穷。

我们在讨论镜像数时没有想到这点，其实可以把镜像数的最大族同最小族合并成一个族，其内部可用加1、减1可达，关于加、减法关闭，该族镜像数表达所有整数（包括正负）

可以证明这样定义的加法形成阿贝尔群（abelian group）

3. p-adic整数的乘法

有了p-adic整数的加法，一个整数n同一个p-adic整数α的乘积就很容易定义为n个α相加：nα =αn =α+…+α。另外p ^k同p-adic整数α=（a_i）的乘积就是在α右边补k个0，即p ^kα=（c_i），其中c₀ =…=c_k-1=0,其余c_k+i= a_i。令

也就是说，可以这样来计算两个p-adic整数α同β的乘积。从上式的i=0开始，从i=0，1,2，…逐项计算。对每个i项先计算α乘b_i，然后乘以pⁱ（即右边补i个0）。最后从低到高逐位对这些项求和。这里要注意两点。一点是计算α乘b_i时并不是一次就将乘积αb_i的所有位都求出来（乘积有无穷位，不可能在有穷步内完成），而是计算足够位后就转去计算相对于下一个i+1的内容，待到必要时再返回来接着计算。另一点需要注意的是这里尽管是无穷项求和，但是由于是从低到高逐位对这些项求和，对于这些项的每位来说只有有穷个不为0，例如考虑第k位，对于那些i大于或等于k的项，由于补了i个0，所以所有这些项的第k位必然都等于0。这就保证了乘积计算的可行性。下面是两个p-adic整数相乘的例子。其实这同两个普通整数相乘的算法并无本质不同，只是涉及到有无穷位的计算，只要合理安排，乘积的各位可以从低到高逐位求出。

可以证明全体p-adic整数的集合，同其上的两个二元运算加法和乘法形成一可换环（a commutative ring）。这意味着，加法是可结合和可交换的，有零元（即对所有α有0+α=α）存在；乘法是可结合和可交换的，同加法满足分配律，有么元（即对所有α有1α=α）存在。

4. p-adic整数表示的某些分数

令人惊奇的是p-adic整数不仅可以表示所有的正负整数，还可以表示某些整数的倒数，即分数。我们看下例。考察7-adic整数α=…3333334.。计算2α=α+α如下：

结果2α=1，说明α=1/2。不仅如此还可以验证：

1/3=…44445

1/4=…51515152

1/5=…541254125413

1/6=…55556

1/8=…60606061

1/9=…613613613614

1/10=…620462046205

1/11=…623550431162355043116235504312

……

但是所有7的乘幂的倒数，如1/7，1/14，1/21…不在其列。容易证明所有1/pⁱ不可能是p-adic整数。原因很简单，p-adic整数乘以p，必定以0结尾，但是1作为p-adic整数是以1结尾的。

既然整数（p的乘幂除外）的倒数可以用p-adic整数表示，那么乘以整数，即可得出几乎所有的分数（以p的乘幂作分母的除外）都可用p-adic整数表示。

有穷位的编码数表示的全是整数，而无穷位的编码数在以自然的方式定义了加法和乘法后，有些编码数竟然表示的是分数，这真是我没有想到的。

5. p-adic整数的除法

可惜p-adic整数只构成环，而不能像有理数那样构成域(field)。不过可以证明，只要不用以0结尾的p-adic整数作除数，p-adic整数的除法也是有意义的。因为p-adic整数的乘法有意义，所以只要证明所有非0结尾的p-adic整数的倒数也是p-adic整数即可。

我们先求以1结尾的p-adic整数的倒数。

假定γ是任意以1结尾的p-adic整数。令α=1-γ，则α是以0结尾的p-adic整数。令β=1+α+α²+α³+…。由于α以0结尾，αⁱ以i个0结尾，所以此式虽是无穷个项求和，但从低到高逐位求和时，每位只有有穷个项不为0，这就保证β计算的可行性。

由于γβ= (1-α)β=1-α+α-α²+α²-α³+α³-…=1,所以β=1/γ，即所求之β就是γ的倒数。

假定δ是任意以d（不等于0和1）结尾的p-adic整数。求数f使df=1（mod p）。此时fδ就以1结尾。取其倒数乘以f，于是有1/δ = f/(fδ)

这就证明了任意非0结尾的p-adic整数都有一个p-adic整数作为它的倒数。同时也就给出了以非0结尾的p-adic整数作除数的p-adic整数的除法。

参考资料

[1] 郝克刚：论无穷编码的实数镜像数-沟壑满布《统一无穷理论》难以逾越  

科学网博客2012.10.24：. http://blog.sciencenet.cn/blog-506146-625639.html  

[2] 华罗庚：《数论导引》 科学出版社1957-07

[3] David A. Madore  A first introduction to p-adic numbers Revised 7th december 2000  http://www.madore.org/~david/math/padics.pdf

（全文完）