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Zmn-0721 薛问天:评《0694》APB先生文章的错误

已有 392 次阅读 2021-11-6 14:27 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0721 薛问天:评《0694》APB先生文章的错误

【编者按。下面是薛问天先生的文章,是对APB先生《Zmn-0694》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

评《0694》APB先生文章的错误

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-s.jpgAPB先生文章提出的意见,可以说几乎全是错误的。错误的数学根源,主要有以下几点。

⑴,沒有认识到自然数没有最大自然数,因而没有认识到无穷小数没有最末位。

⑵,不了解无穷编码数的基本知识。无穷编码数是不可数的,它分为无穷个族,族之间是不可能用+1运算到达的。无穷编码数没有最高位。

⑶,对序列的极限概念,缺乏最基本的认识。实数序列的极限有严格的定义。区间序列的极限必须考虑区间套序列。

⑷,缺乏基数运算的基本认识。要认识到,不可数个互不相交的有限或可数集合的并集是不可数的。

⑸,沒有认识到,实数中只有有穷小数有一数两码,有穷小数是可数的,它不会影响实数不可数的证明。

 

现在按APB先生提出的意见顺序,分别评论如下。

1,关于无穷小小数等定义的错误。

APB先生的基本错误就是所定义的【无穷小小数】根本不存在,实数中沒有这样的数,这纯粹是APB先生的主观臆想。自然数中没有最大自然数,先生应当承认这个最基本的业界公认的事实。因为无穷小数的位数是同自然数一一对应的。因而无穷小数是没有最末位的。无穷小小数0.0°1的最末位为1(a°表示a上有一个点,即a的无限循环)。显然这就是严重错误。因为无穷小数没有最末位,所以不可能最末位为1。

从APB先生的定义来看,无穷小小数定义为0.1的无穷乘积。而0.1的无穷乘积,按定义是部分乘积序列的极限,极限等于0,因而这个无穷小小数应等于0。但是先生把部分乘积序列的极限等于0的情况,说成是无穷乘积为【发散】。因而按照先生的定义,无穷小小数等于【发散】,根本就不是实数。

从而无穷大数定义为1-【发散】,也是毫无意义。因而先生对无穷小小数和无穷大小数的定义是错误的,毫无意义。

APB先生说他的【主观想象】来自有穷情况。当然对n位有穷小数,1=0.0...01(n位)+0.9...9(n位)。但是对无穷小数的情况是1=0.000...+0.999...。其中0.000...=0,0.999...=1。而不是APB先生想象的无穷小小数和无穷大小数。

2,关于自然数集由有穷位编码数扩展到无穷位编码数的问题,

我们知道,有穷小数0.a1a2a3...an同经左右翻转(即镜面反射)后的自然数an...a3a2a1可以严格的一一对应。也就是说自然数集同有穷小数的集合可以一一对应。那么用同样的对应方法,同无穷小数集合一一对应的集合,该是什么样的集合呢?这在数学中早有研究。这叫无穷位编码数

无穷位编码数是自然数这种有穷位编码数的扩张。它有很多有趣的性质。首先它的基数和实数的基数相同,是连续统,而不是可数无穷。另外,无穷位编码数可以分为无穷多个族,每个族的基数是可数的,而所有族是不可数的。在所定义的+1和-1 运算下,族内的数是相互可达的,但不同族间的数是+1和-1运算不可达的。对于所定义的序,有些数之间可比较大小,而有些数之间不可比较大小。不过各位全为0的无穷位编码数是最小的数,而各位全为9 的无穷位编码数是最大的数(对十进制而言)。

对无穷位数最早的研究,称为p-adic数(p-adic numbers,也有人翻译作p-进数)1897年首先由德国数学家库尔特.亨塞尔(Kurt Hensel,1861-1941)提出。他是德国马尔堡大学(University of Marburg)教授,因提出p-adic 数而成名,对数论的进展有重要贡献。

关于【无穷位编码数】的基本内容,我国郝克刚教授有几篇介绍文章,刚好在科学网上可以看到(点击量很大),大家可以参阅,我就不具体说了。

APB先生的错误在于对这种无穷编码数的基本知识缺乏了解。这种无穷编码数是不可数的。而先生却认为它是可数的,从而认为由它同实数的一一对应,【也可以证明实数集可数。】这显然是错误的。

无穷编码数有不可数无穷多个族。那些以无穷个0开头,无穷个1开头,...无穷个9开头的无穷位编码数,只是这些族中很少的一部分。从映射来讲,它只是那些单位循环小数的映射,无穷小数还有多位循环小数,还有大量的非循环小数,它们映射的无穷位编码数比APB先生所想的要复杂得多。凡开头的无穷位数相同的无穷位编码数称为同族。只有同族的数可以用+1或+1到达,而不同族的数是用+1和-1到达不了的。另外,同无穷小数沒有末位同样道理,无穷位编码数没有最高位。所以APB先生所列的有最高位的数,如

10°,11°,...,19°;20°,21°,...,29°;...。

以及什么无限偶数21°+1,无限奇数91°,都是犯了无穷位编码数有最高位的错误。

3,APB先生所说的极限理论的缺点,是他对极限的错误理解。

对当n→∞时,序列αn的极限这个概念要有正确的认识。例如当n→∞时,序列1/n→0。这在极限理论中有严格的根据定义的论证。这里沒有n→2,n→3时的极限概念。只有n=2吋1/n=1/2,n=3时1/n=1/3。这是赋值,不是求极限。所以只有n→∞时的极限,没有必要也不能改成n→N时的极限。

 APB先生说【实数序列 {an}={1,1/2,1/3,...,1/n,...} 就是以0为极限的;但是实数序列 {an}中的每一个实数 an 的绝对值都是大于0的常数,

|1/n丨>0,n=1,2,3,...。     (9)

是需要说明的;否则会造成不必要的误解,以为实数序列 {an} 中会有一个实数 an 等于0。 缺少(9)式就是已有极限理论的第一个缺点。

在极限理论中当n→∞时序列an→0,并不要求每个项【an 的绝对值都是大于0】,这很正常。完全有可能【{an} 中会有一个实数 an 等于0】。甚至不止一个,就是全部αn=0,序列{αn}={0,0,0,...}的极限等于0,一点错误都没有。这都很正常,不存在任何缺点。所谓的极限不可达,是指n不等于∞,并不是指an中没有等于极限值的项。

至于有些具体的序列如αn=1/n,具有特征【an 的绝对值都是大于0】,这是这个具体序列的属性,这同极限概念沒有关系。不具有此属性的序列仍然可以极限为0。

至于APB先生所说的极限理论的第二个错误和更多的错误,完全是出于对极限理论的错误理解。实数序列的极限是在实数范围内严格定义的概念。只有n→∞时序列极限的概念,没有n→N的序列极限概念。

不是数,从而也没有∞的演算,什么无穷大加法a+∞=+∞,(+∞)+(+∞)=+∞,无穷大乘法(+∞)(+∞)=+∞。这都不是数的演算。

另外先生把无穷位编码数作为∞,任意写出∞=3°.0,∞=5°.0,以及所作的【演算】,都是毫无意义的。在数学中没有这样的演算。这些纯属APB先生的主观臆想,这不是数学论证,而是毫无数学定义的如同梦中谚语。

4,实数集可数定理和归零证明法的错误。

APB先生证明的错误就在于他说的这两句话。他说:

所以只需证明区间 (0,10n)的全体小数是否可数。  n→∞时,10-n→0,所以最终只需证明零区间(0,0)是否可数?

这第一句话是对的。因为全体实数有可数无穷多个同区间(0,1)等势的区间和可数无穷多个端点。当证明了(0,1)中的实数可数,自然全体实数集合可数。当n是有限自然数时,(0,1)是由有限个同(0,10-n)等势的小区间和有限个端点构成。如果你能证明(0,10-n)中的实数可数,自然就证明了全体实数可数。

关键是第二句,当n是无穷,需取极限时的情形。APB先生根本不了解无穷区间序列取极限是怎么回亊。无穷区间取极限,必须是无穷区间形成区间套序列,才能取极限。这个极限点是属于套中所有区间的点。因而必须说一下APB先生的错误,这里不能用开区间,必须用半开半闭的或全闭的区间。开区间套的极限是空集没有点能属于开区间套中所有的区间。(0,10-n)形成的开区间套的极限是空集。它的极限并不是0这个点。因为0不属于此区间套中的任何区间(开区间不包含它的端点)。这里应当用[0,10-n),或[0,10-n]

那么改用[0,10-n),或[0,10-n],后是否就能证明[01]可数了呢?同样不能。我在《0672》已讲清楚,虽然[0,10-n]形成的区间套的极限是一个点,但是能形成的区间套序列却有不可数无穷多个,所以用区间套求极限的方法得到的实数是不可数无穷多个,并不能因为证明了区间套的极限是1个点就说证明了实数可数。因为在取极限的过程中,形成了不可数无穷多个区间套序列,从而极限产生了不可数无穷多个实数,不能证明实数可数。也就是说你没有证明在取极限中形成的区间套有可数个,从而你没有证明它的极限实数集合可数。这就说明APB先生的实数集可数定理和归零证明法是错误的。

5,实数集不可数定理推翻不了。

APB先生说【无限多种实数集都是可数的。 因此说实数集不可数定理是假定理。

这里先生把概念搞混了。大家所说的实数集不可数定理,其中实数集指的是全体实数集R不可数。不是指由部分实数组成的实数集不可数。他所举的可数的实数集都是R的子集。任何不可数无穷集合都有无穷多个可数的子集合。但这推翻不了整个集合是不可数的集合这个亊实。

APB先生的对康托尔定理的质疑,出于对有穷小数的一数两码0.5=0.50°=0.49°的质疑。

他说【所以康托尔的对角线法肯定会漏掉无限多个大于 0 的无穷小小数0.0°1。 因此说康托尔的对角线法根本就不能成立!!根本就不能证明实数集不可数定理!! 所以说康托尔的对角线法是假证明!!】 

我们知道一数两码只是有穷小数,而有穷小数虽有无限多个,但只是可数无穷多个。因而实数有一数两码并不影响实数不可数的证明。有些教师就直接证明实数減掉有穷小数的集合不可数,然后证明实数是不可数集合加上可数集合还是不可数集合。

至于APB先生在一数两码上又加上他的那些并不存在的无穷小小数,那纯粹是他的主观臆想,实数中肯本不存在这些数,所以这些质疑是毫无意义的。不能作为数学论证的依据。

6,APB先生对双木林先生的驳斥,根本站不住脚,毫无道理。

⑴,在有些教材中把有穷集也定义为可数集,但这只是可数有穷集的定义,并不是说有穷集可以同自然数集N建立一一对应,能同N建立一一对应的是可数无穷集。由0这一个元素组成的集合{0}可数,是因为它是有穷集,并不是因为【建立了任意多个0与自然数的一一对应】。说{0}可数,并不是说{0}能同N建立一一对应,能同N建立一一对应的是可数无穷集。{0}不是可数无穷集合。当然{1},{2}等也因为是有穷集,说它可数,但它们却不是可数无穷集。

⑵,关于极限在数学分析中有非常严格的定义。当n→∞附,序列an=1/10n→0。这个序列是0.1,0.01,0.001,...。序列中都是有穷位小数,哪里有0.0°1,0.0° 01,...,0.°°1这种乱七八糟的,定义为【发散】的,有末位的无穷小数。

里当然有矛盾,你既然说0.0°1{an},为什么又写lim0.0°1=0.0°1。既是序列的项又是序列的极限,这还不矛盾吗?

你把无穷小小数0.0°1定义为0.1的无穷乘积,而无穷乘积是部分乘积序列的极限。也就是说它是序列的极限,怎么又说0.0°1是序列中的项,这么大的矛盾还说【其实没有矛盾,我没有错!!】这能说得过去吗?

⑶,APB先生说【双木林大唱反调,胡扯什么其它区间、区间套序列、…… 】,说明他还不了解它的归零证法的错误就在于他没认识到,这里使用的极限是区间序列的极限,必须用区问套序列来求极限。区间套序列的极限是一个点没有问题,但是区间套序列却有不可数无穷多个。所以仅证明0是极限,是一个点,并不能证明区间的实数可数。因为这样的点有不可数无穷多个。错在这里当然要讨论「其它序列,区间套序列」,怎么能说这是【大唱反调,胡扯】呢?

所以说,APB先生对双木林先生的驳斥,根本站不住脚,毫无道理。

7,APB先生最后提出了要驳斥薛问天,而这些【驳斥】恰好说明了他的错误所在。

他的原文如下

Untitled-1.jpg

下面我来具体回答。

回答例10。所有的人都知道,自然数和有穷小数是实数,也知道所有的无穷小数是实数。而且知道无穷小数没有末位。APB先生不懂无穷小数没有末位,这个最简单的亊实,凭自己的主观臆想,提出来什么【无穷小小数】。竟然有最末位,如0.0°1,0.0°2,...等。他自已都将其定义为【发散】,怎么能是实数,实数中没有这些毫无意义的垃圾。

回答例11。可以把无穷乘积定义为部分乘积的极限。但这样定义后APB先生把【无穷小小数】定义为0.1的无穷乘积,因为n→∞时10-n→0,此时的无穷小小数就应等于0,可APB先生却把此时极限为0的无穷乘积说成是【发散】。这样一来,【无穷小小数】就定义成【发散】了。怎么能是实数呢?

回答例12。这个命题我㸔得清清楚楚,是个错误的论断。尽管由下面这些数

0.1,0.2,...,0.9,

0.01,0.02,...,0.99,

0.001,0.002,...,0.999,

......

形成的集合是可数无穷的。但是它只包括了所有的有穷小数。也就是说它只证明了区间(0,1)中的所有有穷小数的集合是可数的。但并未证明(0,1)中所有实数的集合可数,因为此集合中只有有穷小数,而没有无穷小数。

回答例13。这就是APB先生认识上的错误,自然数是有穷编码数,同它一一对应的是有穷位小数。就是说有穷小数的集合是可数的。但同无穷小数一一对应的是无穷位编码数,而无穷位编码数的集合是不可数的,所以所有实数的集合是不可数的。这不可能证明实数可数。

回答例14,我前面已经说了,APB先生的归零证法是错误的,取极限时,,虽然每个区间套的极限是一个点,但所有的区间套序列的个数是不可数的,从而不可数个点的集合当然是不可数的,

回答例15,怎么能说【不可数的实数集是不存在的】,不可数的实数集多的是。全体实数集就是不可数的,任何区间(a,b)中的实数集,无理数集都是不可数的无穷集合。连这么筒单的常理都不知道还要赌一下,你想想看,谁是【毛驴穿大褂,冒充大圣人。

参考文献

[1] 郝克刚: 论无穷编码的实数镜像数 沟壑满布,《统一无穷理论》难以逾越

链接地址:http://blog.sciencenet.cn/blog-506146-625639.html

[2] 郝克刚: 无穷位编码的镜像数和p-adic整数

链接地址:http://blog.sciencenet.cn/blog-506146-669710.html

[3]郝克刚: p-adic整数和p-adic数

链接地址:http://blog.sciencenet.cn/blog-506146-679027.html









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