Zmn-0711 李振华：再谈集合论中的无穷小，无限基数的进一步表示。证明薛先生否定的公式。

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再谈集合论中的无穷小，无限基数的进一步表示。

证明薛先生否定的公式。

李振华

基本定义：

a:x元素a的重数是x。

A+B={x:(A(x)+B(x))|x:A(x)属于A，x:B(x)属于B}

A*B={x+y|x属于A,y属于B}。A*B={x+y:A(x)*B(y)|x:A(x)属于A,y:B(y)属于B}={x:B|x:A(x)属于A}

B^{x}={{x:y}:B(y)|y:B(y)属于B}

A^(B+C)=A^B*A^C，A^(BC)=(A^B)^C   运算律，非定义。

减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。

自然数集合定义：n={0:n}。

小错误更正。

在文章开头基本定义中：

“A*B={x+y|x属于A,y属于B}。A*B={x+y:A(x)*B(y)|x:A(x)属于A,y:B(y)属于B}={x:B|x:A(x)属于A}”

红色部分应为{x:(A(x)*B)|x:A(x)属于A}}

麻烦你把这些话回复我的文章。

集合的基数有绝对和相对之分。|{}|是绝对的0，|{0}|是绝对的1，|{0,0}|是绝对的2，而|{0,1:-1}|是相对的0，|{1}|是相对的1，|{0,1}|是相对的2。如果一个集合是数，那么它的基数是绝对的，而相对的基数，可以表示成带无穷小量的形式。

自然数集，正实数集，等等这些具体的无限集合，虽然是实无限的，但不是绝对而是相对的。绝对的无限，不就是至大无外的吗，不就是至高的吗，不就是完美，圆满的吗？

自然数集合的基数为H。

|1/{0,1,2,...}|=|{0,1:-1}|=1/H

|1/{1,2,3,...}|=|{-1,0:-1}|=1/(H-1)

|{0,1:-1}^2|=|{0,1:-2,2}|=1/H^2

|{1}|=|1-{0,1:-1}|=1-1/H

|{x}|=|{1}^x|=(1-1/H)^x。x是实数。

|{1}/{0,1,2,...}|=|{1,2:-1}|=|{1}|*|{0,1:-1}|=(1-1/H)*1/H=1/H-1/H^2

我以一个例子来说明在集合论中引入无穷小量的意义。

|{1,2,3,...}|=x

{1,2,3,....}/(0,1,2,...}={1},{0,1,2,...}-{1,2,3,...}={0}

如果不区分绝对和相对，那么有x/H=1,乘以H得到x=1*H，这里1*H是个不定运算，结果只能由外部条件决定，由于H-x=1,那么1*H=H-1。

如果区分了绝对和相对了，那么有x/H=1-1/H,乘以H就得到x=H-1。

由此可见，不区分无法由比值算出差值，区分了，可以由比值算出差值。

说{1}的基数是1对，说{1}的基数是1-1/H也对，看事物的角度不同，这里并没有矛盾。后者比前者更有意义。

例子：

求A={0,2,4,....},B={1,3,5,...}的基数

|A|+|B|=H,|A|/|B|=H/(H-1)，解这个方程组，得到：

|A|=H^2/(2H-1),|B|=(H^2-H)/(2H-1)

|A|-|B|=H/(2H-1),这是{0,2,4,...}-{1,3,5,...}的基数，也就是1/2，今天我们用另一种方法推出了这个结果。

方程中，系数，次数，常数可以是无穷大量和无穷小量，这是有意义的。

在看另一个例子：

{1,{1},{2},{3},....}的基数是x，满足方程x^(1-1/H)=x-1+1/H。

{0,x,2x,3x,....}的基数是1/(1-(1-1/H)^x)。

证明薛先生否定的公式。

我之前提出{0,1,2,...}-{x,1+x,2+x,...}的基数是x。

薛先生认为当x是无理数的时候不成立，这说明薛先生缺乏数学直觉，当然他不可能给出否定的证明，因为这是真命题，今天我就来证明这条公式。

{0,1,2,...}-{x,x+1,x+2,...}={0,1,2,...}*{0,x:-1}。把集合换成对应的基数，有：

H*(1-(1-1/H)^x)，它的极限是x。证明完毕。

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