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Zmn-0741 Thebeater：我对实数不可数的理解

已有 1720 次阅读 2021-11-22 18:46 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0741 Thebeater： 我对实数不可数的理解

【编者按。下面是Thebeater先生的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

我对实数不可数的理解

Thebeater

2021-11-22 04:26

近日来，张景中院士的来信引发了热烈的讨论，但是似乎大多数人都站在了院士的对立面，坚定地认为实数可数、或者是康托的实数不可数证明无效。我粗粗看了其中一些人的意见，有些有点道理，但是都没有触及康托证明的核心，只是在边边角角上做一些修补。

本人不才，曾经读过这个证明之后也觉得有些晦涩，但是凭我的理解重新组织了一下，让他更好读，也找出这个证明的核心。所以在这里分享一下我的见解。

本文分为两部分：一、什么叫可数或者不可数；二、实数不可数。

一、什么叫可数或者不可数

我们得首先定义清楚可数，才能谈论实数可不可数。通常教科书上都是这么定义的。

定义1.1 如果映射 f: A -> B 是单射并且是满射，那么我们叫f是一一对应。

定义1.2 如果一个集合X可以跟正整数一一对应，那么X称为可数。

定义1.3 如果不存在集合X跟正整数的一一对应，那么X称为不可数。

我这里约定一下，当我说可数的时候并没有包含有限集的情形，但是有些说法里面是包含的。希望大家不要纠结这一点，这只是本文的约定，而且显然实数是无限的嘛，所以不影响结论。

说实话，我觉得这些定义不太便于各位朋友理解，尤其是一一对应这个概念很难让大家信服。所以我来给一个新的等价的定义。

以下我们用N代指正整数全体构成的集合。

定义1.4 给定集合X。假设A是乘积集合N×X（里面的元素是形如(n,x)这样的二元对）的一个子集。如果说，任何A中的两个二元对不共用同一个正整数坐标，也不共用同一个X坐标，并且A的正整数坐标覆盖了整个N，那么我们管A叫好集合。

这里我就随便起了个名字：好集合。如果大家有更好的名字也可以推荐一下。换句话说，每个正整数都对应一个好集合里面的二元对，并且每个X中元素至多对应一个好集合里面的二元对。这其实就是单射的概念。

定义1.5.1 如果存在N×X中的一个好集合，他的第二个坐标覆盖了整个X，那么就管X叫可数。

定义1.5.2 如果任何N×X中的好集合的第二个坐标总会漏掉X中某些元素，那么就管X叫不可数。

我这里定义的可数和不可数跟通常教科书里面说的是完全一致的，但是方便讨论，我们替换成上面的定义1.5.1和定义1.5.2。

记R是实数集。那么我们可以重新叙述一下我们的问题：能不能在N×R（这可以看成是平面的一部分）中找到一个好集合，纵坐标覆盖了整个R呢？

读者可能会觉得奇怪，如果某个好集合确实漏掉了某个实数，那么像希尔伯特的旅馆那样把这个实数重新加进来不就好了吗？其实不是的，如果你这么操作了，你的好集合就不再是A，而是一个新的好集合A'，那么前面的证明你可以再走一遍，会发现A'也漏掉了一个数（必然跟A的数不同）。

事实上，你可以这么理解，可数不可数就是一个甲乙二人对弈的游戏，甲负责挑一个好集合，乙负责给甲挑刺。如果乙能找到甲漏下的数，那么我们就说乙赢了，否则甲赢了。不可数就是说，乙有必胜策略，不论甲怎么选乙总有办法，兵来将挡水来土掩。就像你跟电脑ai下棋，下着下着就输了，你不服气，想悔棋，想着我上一步不这么下说不定就赢了吧。但是ai又不傻，你换他也换啊。你换一个下法，电脑ai一样有办法赢你。

二、实数不可数

命题2.1 R不可数。

根据定义2.5.1，只需要证明实数的某个子集X不可数就够了。这是因为如果我们有一个N×R的好集合，那他一定只用某些正整数就可以盖住整个X，把这些正整数从小到大拿出来，我们就得到了一个N×X中的好集合，这就矛盾了。

而这个X怎么选呢？我们就挑X是所有十进制小数0.xxxxxxx......并且每个位置上要么是4要么是5。这样其实就避免了什么0.9循环等于1的问题啦！（当然了，本身0.9循环是等于1的，我已经在zmn-0594中详细论证过了。）也就是说，X可以看成是给每一个正整数指派了一个数字：4或者5。

我们严格按照定义1.5.2来证明命题2.1。也就是要验证，任何N×X中的好集合都会漏掉X中的某个小数。所以呢，我们取一个好集合A，然后根据A来找到被漏掉的小数。我们定义一个正整数的子集 B(A)={n∈N : (n,y)属于A并且y的第n个小数位是4}。也就是说，任取A中的一个二元对(n,y)，我们检查y的第n个小数位，如果这个位子是4，我们就把这个正整数n放进B(A)中。这个集合B(A)是正整数的子集，并且是依据A选的。因为每个n一定都是A中某个点的横坐标，所以B(A)的补集就是那些自然数n，满足(n,y)属于A并且y的第n个小数位是5的了。我们根据B(A)来造一个新的小数y(A)：既然B(A)是正整数的子集，我们就把B(A)对应的那些位置写成5，不在B(A)里面的位置写成4。举个例子，如果B(A)是{1,3,5,7,9,...}，那么y(A)就是0.54545454...；如果B(A)是{1,2,3}，那么y(A)就是0.55544444444...

我们来证明y(A)一定会被A的纵坐标给漏掉。因为如果没有的话，也就是某个点(m,y(A))要属于A。那么问题来了：y(A)的m位是什么呢？如果y(A)的m位是5，那么就意味着m在B(A)中，根据B(A)的定义，y(A)的m位应该是4才对呀。所以不可能，y(A)的m位必须是4，但是这时候m就得在B(A)的补集里面了，所以根据前面的，y(A)的m位得是5才对。都不可能的话，只有一种可能性，那就是y(A)一定被漏掉了！这就是我们要证明的。