博文

Zmn-0738 薛问天：李鸿仪先生的错误在于他的【可列完】同数学上的【可数(可列)】是完全不同的概念。评《0736》

已有 1469 次阅读 2021-11-20 13:20 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0738 薛问天：李鸿仪先生的错误在于他的【可列完】同数学上的【可数(可列)】是完全不同的概念。评《0736》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对李鸿仪先生《Zmn-0736》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

李鸿仪先生的错误在于他的【可列完】同

数学上的【可数(可列)】是完全不同的概念。评《0736》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，人人都知道论证中的推理必须正确，不能有隐含假定。这不是反证法的问题，任何正确的逻辑推理，都不允许使用隐含假定。问题是李鸿仪先生对康托尔定理证明所质疑的，他认为的隐含假定并不存在。所以这才是要讨论的关键问题。

二，李鸿仪先生认为在康托尔的证明中，用到了这个根据，他认为这是隐含假定。他说【康托的证明中，确实存在着根据 “可以全部列出（实数）”这个“主张” 而给出的“定好就不许改”这一隐含规则。】

而且还给出了命题1和相应的证明。

【命题1 康托对角线证明成立的必要条件是在可数假定下，实数是可以全部列完的。

证明如果在可数假定下，无法列完实数，那么，用对角线法找出一个还没有列出的实数就很正常，并没有形成任何矛盾，反证不成立。所以，能够将实数全部列完，是康托对角线证明能够成立的必要条件。证毕。】

其实这并不是稳含的假定，这是可以由实数可数这个假定严格推导出来的。关键是怎么理解【可以全部列出】，【可以全部列完】这个概念。

如果按照正常的数学定义来理解。在数学上可列和可数是一个概念，只是翻译名词不同而已。按照严格的数学定义，一个集合称为是可数的(可列的)，是指它能同自然数建立一一对应。什么是一一对应，那就是集合的元素可以无重复无遗漏的同自然数建立双射。也就是说只要是可数的(可列的)，就是元素全部可以同自然数双射。集合的每个元素都有一个自然数作为它的标号，形成一个以自然数为标号的无穷序列。这个序列是无重复无遗漏地包含集合的全部元素，这个集合的所有元素可以由以自然数作标号的无穷序列全部包含。而这正是康托证明中所用到的。可见按照正规的数学定义，在假定【实数是可数的】条件下，完全可以推出【实数是可全部列完的】。

也就是说如果按照正常的数学定义来理解可数(可列)，以及相应的【可全部列完】是指这个实数集合可以由以自然数作标号的无穷序列全部列完。显然在这样的理解下，李鸿仪先生所提出的命题1是正确的。康托尔定理的证明用到了这点，这沒有问题。

三，然而在按照正常的数学定义来理解可数(可列)，以及相应的【可全部列完】下，李鸿仪先生所列的命题2和命题3则是完全错误的。

【命题2 可数假定下，不可能列出[0,1）内的全部实数。】

【命题3：不可能列出全部自然数。】

道理很简单，既然假定实数可数，实数集合能同自然数建立一一对应。那就是全体实数可以无重复无遗漏的同自然数建立双射。也就是说每个实数都有一个自然数作为它的标号，显然这个以自然数为标号的无穷序列，无重复无遗漏地包含全部实数。即这个实数集合可以由以自然数作标号的无穷序列全部包含，因而【可全部列完】。

当然所有自然数更是全部都在它自己的自然数序列之中，被序列全部包含，同样【可全部列完】。

而李鸿仪先生所给的命题2和3的证明却完全是错误的。命题2证明的错误是，在实数可数假定下，推出了矛值，只能得出实数不可数，而不能说明、在实数可数假定下，推不出这个实数集合可以由以自然数作标号的无穷序列全部包含。

命题3证明的错误在于，自然数集合的元素被它自己构成的无穷序列全部包含，并不意味着就存在【最后列出的自然数加1，又得到一个新的自然数。】自然数集合根本就不存在这个最大的自然数。

四，这里的关键是对【可全部列完】的理解和定义。刚才讲了，按正常的数学理解，【可全部列完】是指可同自然数建立一一对应，无重复无遗漏的双射，是指这个集合的所有元素可以由以自然数作标号的无穷序列全部包含。

关键是李鸿仪先生没有对【列出】【可以完全列出】按正式数学的定义去理解，而是给出了他自己想出来的【定义】。他说

【这里，所谓列出，是指在纸上，计算机的屏幕或内存中，或人的脑海中，给出某一个实数的具体数值（例如3.14159......）或其符号（例如π）的过程。】

为区别起见，我们把李鸿仪先生的【列出】，用【列(李)出】来表示，

显然李鸿仪先生的【可列(李)】的要求是极不恰当和极不合理的，我们知道人的感观是非常有限的，无穷的对象根本不可能全部呈现在你面前。实数是无穷小数，这无穷个位的数不可能全部呈现在你面前，不要说全部实数，就是一个无穷小数，你都列(李)不出来它所有的位数值，你写出3.14159...，你写全了吗？没有。按照你的理解任何实数都是不可列(李)的，符号表示也不够，符号只有可数无穷多个，而实数是不可数的。因而任何无穷的对象根本不可能全部呈现在你面前。

由于无穷集合的所有元素不可能全部呈现在你面前，同理也不可能全部【在纸上，计算机的屏幕或内存中，或人的脑海中，】给出。所以按李鸿仪所理解的【可列(李)】，任何无穷集合都是不可列(李)的。

但是要知道，人类很聪明并不像你这样，我们承认实数这个无穷小数的存在，并不要求它是这种可列(李)的，不是要求它的位数值全部都呈现在你面前，而是只要求存在一个函数，对任何n，第n位an是存在的确定的即可。只是用推理推出存在一个函数，就承认这个实数的存在。显然在李鸿仪先生的不合理不现实的可列(李)的理解下，实数集合是不可列(李)的。自然数有无穷个，不可能完全地全部地都呈现在你面前，显然自然数集合也是不可列(李)的。也就是说，在【可列(李)】的解释下，命题2(李)和命题3(李)沒有问题。根本不需要证明，这是自明的，但是只能表示为；

【命题2 (李) ，在实数可数假定下，不可能列(李)出[0,1）内的全部实数。】

【命题3(李)：不可能列(李)出全部自然数。】

五，关键是按李先生的【可列(李)】的解释，命题1(李)并不成立。即下述命题1(李)是错误的。

【命题1 (李)。康托对角线证明成立的必要条件是在可数假定下，实数是可以全部列(李)完的。】

理由也很简单，因为用对角线法找出的那个实数，只要证明它不在由以自然数作标号的无穷序列中出现，即可产生矛盾。因为所有的实数已假定由以自然数作标号的无穷序列全部包含。也就是说，在证明中产生矛盾，并没有要求所有实数要全部呈现在你面前，或所有实数能【在纸上，计算机的屏幕或内存中，或人的脑海中，】全部给出。所以说命题1(李)是错误的。

综上所述，在正常的可数(可列)的数学定义下，命题2和命题3是錯误的，但命题1是正确的。所以康托尔定理的证明有效。

但是在李鸿仪先生的【可列(李)】的理解下，尽管命题2(李)和命题3(李)成立。但是命题1 (李)是错识的，因而李鸿仪先生对康托尔定理的证明的质疑无效，所提出的质疑不成立。这就是我们得出的正确结论。

五，李鸿仪先生在此错误的质疑下得出如下结论【在我看来，事情就是这么简单，全世界主流数学界全部都错了，而且错得很离谱。】

实际上是李鸿仪先生的质疑错了，【而且错得很离谱。】。而不是【全世界主流数学界全部都错了，】的确是【事情就是这么简单】。

六，最后，我谈点感想。我认为李鸿仪先生，虽然对数学有一定的了解。但他对数学的逻辑的严密性，还缺乏足够的认识。数学中的任何概念，都要有严格的定义。而且这些定义只能用数学和逻辑的语言。只能用到已经有严格定义的概念。因而数学的任何概念都有一个定义链，把概念归溯到未加定义的原始概念。原始概念由公理规定它的属性。例如可数可列，这些概念在数学上都有非常严格的定义。而李先生不顾这些定义，用自然语言去描述，例如什么在纸上，电脑和人脑等。只能说这是一种直观的描述和说明，而不能算作是数学的定义。对这些描述当然也可以作些直观的讨论，判断它的错误。但严格讲，这都算不上严格的数学论证，只是一种议论。要知道数学上的可数和可列，它的定义中用到的一一对应，双射等概念都有非常严格的定义。我认为李鸿仪先生，他毕竟不是学数学的专家，他对数学的高度的逻辑严密性，还缺气足够的理解和认识。他在文后的一些议论都很空洞，没有讲具体指的是什么，所以就不在此评论了。这是我总的看法。

参考文献