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Zmn-0724 薛问天：对林益先生《0704》关于序数问题的答复.
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Zmn-0724 薛问天：对林益先生《0704》关于序数问题的答复.
【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对林益先生《Zmn-0704》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
对林益先生《0704》关于序数问题的答复.
薛问天
林益先生问；一、序数有三个身份：1、序数；2、集合；3、序型。如何区分？分别用在什么情况？三个身份属性是否相同？是否符合逻辑定义的同一律规则，可以互相替代？
【薛某答】；序数，集合，序型当然是三个不同的数学概念，不可以违犯逻辑同一律互相替代。但它们之间有密切的关系。
序数可以定义为特别的集合。可以把滿足一定条件的集合定义为序数。什么条件，可根据序数的定义，序数只包括如下的集合。空集是序数，若集合a是序数，则aU{a}是序数，若S是序数的集合，则US是序数。
什么是良序集合的序型。规定当且仅当两个良序集合之间可以建立保序的一一对应，则称此两个良序集具有相同的【序型】。序数和序型的关系是，序数可以唯一地确切地表示序型。
林益先生问；二、按照集合的性质，元素存在无序性。同一个集合的元素之间没有顺序之分。那么同一个集合的不同方式的表示是可以证明它们都是相等的集合，是否它们的序数、序型也一定相等，如果不相等，是否符合逻辑同一律规则？
【薛某答】；不是【按照集合的性质，元素存在无序性】，而是集合中的元素可以无序，但也可以有序，元素有序的集合称为有序集合，或序集。
集合的相等是根据外延公理，只要元素相同就认为是相等(相同)的集合。同它的【表示方式】无关，关键看表示的【结果】。因而同一个集合完全可以用不同方式的表示，但表示的结果必须元素相同。无序的集合沒有序型，自然也没有相应的序数，只有良序集才有序型和序数。相同的集合可以因序的定义不同形成不同的序集，具有不同的序型和序数，但集合的元素是相同。在论证中要说清楚，不违犯同一律。
林益先生问；三、任何良序集是否是有序集，良序集否是都有序数和序型？
【薛某答】；良序集是滿足一定条件的全序集。这个条件是任何非空子集都有最小元素存在。自然良序集都是有序集。可以严格证明，良序集都有序型，和相应的表示其序型的序数。
林益先生问；四、如果不可数集的集合是存在的，是否也存在序数和序型？如果存在，不可数集的序数、序型是什么？如何表示？比如康托尔认为区间[0,1]是不可数集，基数认为是ℵ1，而且是良序集，它的序数是什么？序型是什么？如何表示？
【薛某答】；如果此不可数集合是良序集，自然有序型和相应序数。不可数的序型可以用大于或等于ω1的序数来表示.
[0,1]的实数集合按照原有的序不是良序集。但是在承认选择公理的条件下，可以证明能另外建立一个良序，它就肯定有序型，相应的序数是大于等于ω1，而小于ω2。至于具体是哪个，我不知道是否有人作过研究，当然这同另外建立的良序有关。
林益先生问；
【薛某答】；所有的可列集即可数集合，当然可以同自然数一一对应。因为这就是可列(可数)集合的定义。如果不能同自然数一一对应，就不能叫可列(可数)集合。林益先生所写出的这些序数，按照序数乘幂运算的定义，都可证明是可列序数。也就是说，这些序数所表示的集合，都是可列的，即可同自然数集建立一一对应。当然不会是【有穷序列】，而是可数无穷序列。这里要注意的是，我们说的是一一对应並不是保序的一一对应。例如我们说ω+ω={0,1,2,...,ω,ω+1,ω+2,...}同ω={0,1,2,...}的一一对应，就不能按原来序数的顺序对应，必须打乱ω+ω中原來的序才能同集合ω建立一一对应，这个一一对应不保序。所以我们说它同自然数建立一一对应，并不是按原来序数的顺序同自然数建立保序的一一对应。也就是说不是按林益所写的这个顺序同自然数建立一一对应。因为这是不可能的。这个一一对应并不保持原来的序 。至于对应关系式怎么表达并不重要，只要证明可表达就行了。当然是证明可表达的。你要对这种表达的细节感兴趣，也可作具体的研究。问题是研究出来有何用，我们需要的是证明可以表达，可以一一对应。
林益先生问；
【薛某答】；林益先生，我们叙述数学，概念一定要精确，我们说两个集合A和B是相同的集合，写成A=B，必须滿足条件，它们的元素相同。所以你写的A=ω是不对的。如果能一一对应，应该说A和ω等势，写成 |A|=|ω|=|ω+1|=...。而不是A=ω=ω+1...。
林先生说【A表示集合，集合也可以表示成序数和序型；】是不确切的。应该这么说，如果一个集合A是良序集，则A有序型，这个序型可用序数a表示。或说A的序型是序数a表示的。
严格地讲有序集应写成＜A,く＞，其中A表示集合，く表示元素的序关系。如果序在上下文中清楚就可不写被省略掉，但是读者应清楚这里还有序关系。例如序数ω，它所代表的集合{0,1,2,...}是有序关系的集合。因为大家都知道就省略不写。但我们必须清醒，两个有序集的相等必须不仅集合相等，而且序关系还要相同。因为有序集＜A,く＞，是由两部分构成的，一个是集合A，一个是元素的序关系く。因而你用等号把这些序数等同起来也是不对的。只是它们的势相同，集合不相同而且序关系也增加了多出来的元素的序关系，不完全相同。
林益先生问；七、我是一个中学老师兼编程，每一个学生都根据入学年分班级和在班级里给定的位置都有一个学号，就如身份证号一样，实际就是学生在学校里的序号，与学生一一对应，并唯一确定，当然都是有限的；对应无穷集合里的元素，是否也可以存在唯一确定的序号呢？序号是否也可以称为序数呢？
【薛某答】；回答是肯定的，完全可以。任何无穷集合A都有基数，选定义此基数的序数ωμ。ωμ是序数，是由小于它的序数构成的集合。因而集合A可以同ωμ建立无遗漏无重复的一一对应，从而集合A的每个元素都可以由ωμ中的序数唯一对应。当然你可以将此序数称为A中元素的序号。
林益先生问；八、在康托尔的原著中和介绍康托尔理论的书中,从来没有见过关于不可数集合的序数的表示实例，是否不存在不可数集合的序数？如果存在就敬请薛问天老师帮助介绍一下，十分感谢。
【薛某答】；不能说【从来没有见过关于不可数集合的序数的表示实例】。在序数理论中就有。令所有可数序数的类是ω1，可以严格证明ω1是集合，以及ω1=Uω1。即ω1是序数的集合的并集，这就按照序数的定义证明了ω1是序数，而且可证ω1是不可数的集合。因为如果ω1可数，就有ω1∈ω1。而已证明ω1是集合，不能出现这种情况。这就证明了ω1是不可数无穷序数。不可数无穷序数是严格证明推理出来的，怎么能提出【是否不存在不可数集合的序数？】不仅推出存在ω1，还推出存在ω2，w3，...等。而且推论证明了对任何序数μ都有ωμ存在。
要知道人的认知过程包括两部分，一个是感性的，一个是理性的，而理性认知中重要的就是逻辑推理。因而对逻辑推理的结果，要有充分和足够的认识。正确的逻辑推理不是上帝，不是唯心，而是科学。逻辑推理是经过人类長期的实践验证的科学规律。因而要承认正确的逻辑推理的结果。
参考文献
返转到
zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
https://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1311606.html
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