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Zmn-0735 薛问天：问题在于根本不承认无穷集合是确定的集合，有确定的基数。评林益《0733》
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Zmn-0735 薛问天：问题在于根本不承认无穷集合是确定的集合，有确定的基数。评林益《0733》
【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对林 益先生《Zmn-0733》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
问题在于根本不承认无穷集合是确定的集合，
有确定的基数。评林益《0733》
薛问天
林益先生在《0733》中谈了【不得不表明的几点看法】，其实他的㸔法关键并不是在质疑反证法的【适宜性】，也不是在质疑康托尔对角线法的证明。林益先生的关键问题是他根本不承认无穷集合是确定的集合，不承认无穷集合有确定的基数。现按林文的顺序逐条评论如下。
一，林益先生说【认为证明区间[0,1)中实数(实际证明对象是十进制纯小数)不可数并不适宜使用反证法，与“是否承认反证法在数学推理中的有效性” 没有关系。】
实数不可数完全可以用反证法来证明，提出各种无端理由，【认为证明区间[0,1)中实数(实际证明对象是十进制纯小数)不可数并不适宜使用反证法，】自然是否认【反证法在数学推理中的有效性】。怎么说沒有关系。
二，林益先生说【如果错误使用反证法，结果必然错误， 】
林益先生质疑康托的对角线方法就是认为康托的证明错误地使用了反证法。但遗憾地是他在这里并未具体说出他认为康托尔错在哪里，怎么就错误地使用了反证法？
三，林益先生说【我与质疑者认为证明区间[0,1)中实数 (实际证明对象是十进制纯小数)不可数并不适宜使用反证法。】
关键是林益先生在这里没有讲，为什么不可数就不适宜使用反证法。
四，林益先生说【康托证明区间[0,1]的十进制纯小数不可数，十进制纯小数个数是无穷的， 可数的情况有无穷多种， 康托可数可加性定理充分证明这一点， 反证法就必须排除所有可数情况是不可能的，因此，在此用反证法是不适宜的。 】
林益先生在这里说得就不对了，可数的集合多的很，有无穷多个。但是全体实数的集合只有一个。它要么是可数集合要么是不可数集合。可数或不可数是唯一确定的。没有无穷个可数的情况。只要证明假定可数会引起矛盾，就可以确定它是不可数的。完全可以用反证法来证明。所以林益先生的论断认为对实数，【反证法就必须排除所有可数情况是不可能的，因此，在此用反证法是况不适宜的。 】是错误的。因为实数的可数情况就一种，用排中律的反证法完全可以排除，用反证法没有不适宜的问题。
五、林益先生说【无穷集合的幂集也是无穷集合， 既然都是无穷集合，就表明元素在不断延伸之中，不能完成，不能结束，元素个数在不断延伸变化中， 是趋向无穷的，无穷比较大小是没有意义的，】
林益先生的这句话，可以说把他的观点说清楚了。他的问题不是在于反证法能不能用的问题，而是他根本就不承认无穷集合是确定的集合。因为集合论的外延公理明确规定集合是由它含的元素唯一确定的。林益先生认为无穷集合【元素个数在不断延伸变化中，】 所以他根本不承认无穷集合是集合，当然他也不承认无穷集合有确定的基数，说什么【无穷比较大小是没有意义的，】也就是说他根本连全体实数是无穷集合都不承认，也不承认有可数无穷和不可数无穷这些基数，在这些基础概念都不承认的条件下，你还讨论实数集合的基数是不可数的这个康托尔定理干什么？你所质疑的不是康托尔定理的证明能不能用反证法，而质疑的是康托尔定理【全体实数的无穷集合是不可数的】表述中的【全体实数】是不是集合，以及【无穷集合】有没有【可数】和【不可数】的基数问题。连这些最基本概念都不承认，当然就谈不上【全体实数集合】【不可数】的定理和证明了。
六，林益先生说【无穷集合就是集合元素个数是趋向无穷的，不能完成，不能结束，元素个数在不断延伸变化中，是不确定的。如果集合的元素是确定的， 就表明元素不再增加也不再减少，必然是有限的。】
这段话显然是错的。无穷集合在它的形成过程中，个数在不断变化，但当无穷集合形成后，元素就确定了，不能再增加或減少。例如，我们说全体自然数的集合，它的元素是确定的，包含了全体自然数，如果元素增加，所增加的就不是自然数，按集合的外延公理的规定，集合就不是全体自然数的集合了，而成为自然数扩展以后的其它集合了。而【集合的元素是确定的， 就表明元素不再增加也不再减少，】这是所有集合(包括无穷集合)的属性。认为这是有限集合的特有属性是错误的。有限集合的特有属性是能同某自然数n={0,1,2,...,n-1}一一对应。
林益先生所说的【元素的个数完全可以按照“+1” 的延伸规则增加延伸， 这是最起码的认知。】只是说无穷集合增加一个元素后基数不变，但集合已变成另外的集合了。也就是说基数相同，但集合并不相同。
七，林益先生认为【既然是无穷，含义就是没有结束完成，】
这种对无穷的定义和理解是不正确的。因为无穷也可能是可以【结束完成的】，很筒单，例如你回家，可以把回家的路程分成无穷个路段或地点，你认为你回家所经过的这无穷个路段和地点是不能【结束完成的】吗？显然不是，这个无穷就是可以【结束完成的】。
什么是【无穷集合】？在集合论中给出了非常严格和准确的定义，【无穷集合是非有穷集合的集合】。而有穷集合定义为【能同某自然数n={0,1,2,...,n-1}一一对应的集合。】康托尔集合论的这些观点完全符合辩证唯物法原理和逻辑法则，也接受了长期实践的检验。林益先生你能具体指出你认为有问题的地方吗？不要空洞地谈，要具体说出具体的内容。你根据什么说无穷的【含义就是没有结束完成】，这符合客观事物发展规律吗？按照客观规律，你回家是可以结束完成的过程还是永远不能结束和完成？
八，在这里林益先生说了不少错话。
1，林益先生说【区间[0,1]的无穷十进制纯小数构成离散点集,可以用选择公理排成一个良序集,也必然能与自然数序列构成一一对应。 】
我上次己经指出这个断言是错的。实数这个良序集的序数是不可数序数，同它能一一对应的是不可数序数，不是可数序数，因而它不能同自然数一一对应。如果是考试，你这道题只能得0分。
2，林益先生说【集合论中没有|α|的定义,可数集合的基数康托尔定义为אo ， 康托尔定义不可数基数为 2אo，有人说是α是不可数序数， 可惜康托尔著作中没有给出α的具体表达形式，也没有不等式|ω|<|α|， 】
林益先生的序数和基数的知识确实差得太多。这里的α是实数良序集的序数，不可数良序集的序数当然是不可数的序数，它的势|α|=2אo，而且明显大于ω的势|ω|=אo，怎么能说【集合论中没有|α|的定义】，【康托尔著作中没有给出α的具体表达形式，也没有不等式|ω|<|α|，】
3，林益先生说【分数都是等分分出来的， 分点表示的数只能是分数，小数只是分数的另一种表达形式。无穷等分只表示小数的位数趋向无穷， 分点也趋向无穷，但是并不能改变分点表示数的属性，对应的小数也必然是有理数。】
林益先生这段话可能连中小学生都不如。我们都知道分数是有理数，而分数(有理数)是有穷小数和无穷循环小数。怎么能说【小数只是分数的另一种表达形式】。只能说有穷小数和无穷循环小数是分数的另一种表达形式。其它的非循环的无穷小数是无理数。如果所有的有穷小数看作是0和9的无穷循环小数，那么所有的无穷小数表示的就是实数，即有理数和无理数的总和。
4，林益先生说【十进制只是进制的一部分，十进制真分数也只是各种不同进制真分数的一部分，即十进制真分数只是有理数的一部分，因此十进制真分数的十进制小数表达形式也只是有理数的一部分。 】
林益先生在这里又说错了，不同进制的有穷小数的集合不同，它们是有理数的一部分。但分数同分子分母的进制表示无关，真分数就是区间[0,1]中的全部有理数。同进制无关。
九，林益先生说【康托尔对角线证法并不能证明区间[0,1)中纯十进制小数不可数， 康托连续统微设就必然是一个错误的伪命题。正因为如此，哥德尔不能证明它是错误的，科恩也不能证明它是正确的。认为我关于十进制纯小数的论述和连续统假设毫无关系是荒谬的。】
这句话也是错的，关于连续统假设，哥德尔不能证明它是错误的，科恩也不能证明它是正确的。只是说明它独立于ZFC公理系统，并不说明【康托连续统假设就必然是一个错误的伪命题。】。
但是，在ZFC公理系统中，康托尔对角线证法却能严格证明区间[0,1)中纯十进制无穷小数不可数。因而林益先生错误的质疑，是针对康托尔定理的基本概念（无穷集合不是确定的集合，没有确定的基数）的，显然同在承认实数这个无穷集合的基数大于自然数这个无穷集合的基数基础上提出的连续统假设，没有关系。
十，林益先生认为区间[0,1]不是由实数构成的观点，同数学业界的共识差别很大。
他并没有说出他如此认为的根据。林先生认为【点的定向运动的轨迹构成连续的线段】，其实【轨迹】就是【经过的点】构成的，说明不了线段不是由点构成的理由。在数学上直线和曲线的方程就是构成线的点的坐标所满足的方程。难道林益先生要推翻整个解析几何吗？在平面几何中我们学过任何两条直线，如果不平行就有交点，这个交点就是线上的点，如果线不是由点构成，这交点又在哪里？你怎么解拜。
林益先生说【在数学中，有a∈[0,1]和x∈[0,1] 就表示区间[0,1]不是由数构成， 】这更说不过去。x是变量可以取数a为值，正好说明区间是数的集合。当x作为函数的自变量或因变量时，区间作为定义域或值域时，区间[0,1]就是代表介于0和1之间的实数。区间代表的就是其中实数构成的集合。
林益先生说【由于[0,1]中任意一个实数都是一个确定不变的定值，只能对应一个确定的定点，能用两个点能构成连续， 因此也没有两个连续的两个实数，实数只有稠密性，没有连续性】。
看来林益先生对实数集合的稠密性和连续性这两个概念缺乏最基本的了解。每个实数都有定值，但实数又是绸密的，不是离散的，从而就不可能有【相邻】的两个实数这个概念。林益先生所提的【用两个点能构成连续】和【连续的两个实数】，这纯粹是对连续性的错误理解和要求。连续性在数学上已研究得相当清楚，有很多等价的定义，一个最简单的等价定义就是，称一个数域是连续的，当且仅当数域中任何有上界的集合都有上确界，而且上确界是此数域的数。例如有理数就不满足这个性质，所有小于π的有理数集合的上确界是π，不是有理数。所以有理数不是连续的。但是实数满足这个性质，任何实数集合的上确界都是实数。所以说实数是连续的。希望林益先生多学习有关知识，不要只拍自己的脑袋，主观臆想。
林益先生对无穷小数的理解也是错误的。他说【无穷小数表示位数在不断延伸变化中，就表明无穷小数不是确定的数值，】
要知道，无穷小数的位数并不是【在不断延伸变化中】，而是确定的有无穷个位。在数学中是用无穷小数表示确定的实数，循环无穷小数表示的是有理数，非循环无穷小数表示的是无理数，每个实数都是有确定数值的数。
林益先生接着又说无穷小数【而是值不断变化的无穷级数， 虽然其极限是一个确定的数值，但是无穷小数并不包含极限运算，因此无穷小数不能取得极限，所以无穷小数不是数。】
林益先生在这里又对【无穷级数】作了错误的理解，收敛的无穷级数并不是【值不断变化的】量，而是确定的值，它的值等于【部分和序列】的极限。值不断变化的是【部分和序列】，而不是【无穷级数】。在这里林益先生又把概念搞混了。【无穷小数】是【无穷级数】，就是有穷小数构成的【部分和序列】的极限。
林益先生最后说【我只相信符合唯物辩证法原理和逻辑法则经过严密推理符合客观事物发展规律的科学理论。】
这从理论上讲完全是正确的。关键是理论要联系实际。实际上你是否按此原理来扏行。大家看你不是只看你的宣言，还要看你的行动。明明在你回家的路上，经过无穷个点的过程是可以结束和完成的，而你却坚持无穷【不能完成，不能结束】。这难道符合客观规律吗？你既然说要坚持【经过严密推理】，但是你提出的很多与众不同的错误观点，都没讲清你的具体理由。作严密的推理，而常常是概念的混淆。例如刚才说到的把【无穷级数】同【部分和序列】的概念混淆等。你并没有真正履行你说的【经过严密推理】的理念。
参考文献
返转到
zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
https://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1312956.html
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